8.6.1 直线与直线垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 【学习目标】 1. 理解空间中两条直线垂直的定义，掌握异面直线所成角的概念，会求两条异面直线所成的角，能判断两条直线是否垂直. 1. 掌握等角定理及其推论，能运用其证明空间中的角相等. 1. 通过将空间问题转化为平面问题的过程，体会转化与化归的数学思想；通过平移法求异面直线所成角，培养空间想象能力和逻辑推理能力. 【学习重点】 1. 异面直线所成角的定义及范围：. 2. 平移法求异面直线所成角. 3. 等角定理及其推论. 【学习难点】 1. 理解异面直线垂直（不一定相交）. 2. 平移构造异面直线所成角时，辅助线的作法及分类讨论（角可能是锐角或钝角，但取锐角或直角）. 学习任务一 空间中直线与直线的垂直关系 【合作探究】 1. 问题引入： · 在平面内，两条直线垂直是指它们相交成 角.在空间中，两条直线不相交（异面）是否也可能垂直？ · 观察正方体模型：棱 与棱 异面，但直观上它们互相垂直. · 定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么称这两条直线互相垂直. · 注意：空间中两条直线垂直包括两种情况： (1) 相交垂直（有公共点）； (2) 异面垂直（没有公共点）. 1. 异面直线所成角的定义： · 已知两条异面直线 ，，经过空间任一点 分别作直线 ，，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）. · 范围：. · 特别地，当 时， 与 互相垂直. 1. 辨析： (1) 两条异面直线所成的角能否为 ？ · （不能，若为 则两直线平行，不是异面.） (2) 平移时，点 的选择是否影响角的大小？ · （不影响，因为平行线的方向角不变.） 【自主梳理】 1. 异面直线所成角的范围：. 1. 垂直定义：相交或异面时成角 均称垂直. 1. 求异面直线所成角的步骤： (1) 平移：将两条异面直线平移至相交. (2) 构造三角形：计算平移后两直线的夹角. (3) 结论：取锐角或直角. 学习任务二 等角定理及其推论 【合作探究】 1. 定理内容： · 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (1) 如果两个角的两边方向相同（或相反），则相等； (2) 如果一边方向相同，另一边方向相反，则互补. 1. 推论： · 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. · 该推论是求异面直线所成角的理论依据（因为可以通过平移将异面直线转化为相交直线，且角度相等）. 1. 应用： · 在正方体 中， 与 两边分别平行且方向相同，所以相等. 【自主梳理】 1. 等角定理用于证明空间角相等或互补. 2. 判断相等或互补时，注意方向（同向为等，反向互补）. 学习任务三 异面直线所成角的求法（平移法） 【合作探究】 1. 直接平移法（例1）： · 在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小. · 解：平移 到 ，则 与 的夹角为 ，在 中，，，，由余弦定理：，所以 . 1. 中位线平移法（例2）： · 在正方体中， 分别为 的中点，求异面直线 与 所成角. · 解：取 中点 ，连接 ，通过中位线平移，构造三角形求解. 1. 补形平移法（例3）： · 在正方体中，求异面直线 与 所成角. · 解：补一个相同的正方体，将 平移至 等. 1. 垂直证明（例4）： · 在正方体中， 为 与 交点，求证 . · 证明：连接 ，由平行四边形得 ，所以 与 所成角等于 与 所成角.易证 ，故 . 【自主梳理】 平移法操作要点： 1. 利用平行四边形对边平行、三角形中位线性质等将异面直线平移至同一三角形内. 2. 计算所成角时，注意范围 ，若求得余弦值为负，应取补角. 3. 当角为 时，直接得到垂直结论. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若两条直线没有公共点，则它们一定平行. （ ） 1. 两条异面直线所成的角可以是 . （ ） 1. 空间中两条直线垂直，则它们一定相交. （ ） 1. 等角定理中，若两个角的两边分别平行，则这两个角一定相等. （ ） 1. 平移法求异面直线所成角时，平移后的角就是所求角. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√（但注意钝角要取补角） 【典例分析】 例1：在正方体 中，求异面直线 与 所成角的余弦值. 解：平移 至 （因为 ），则 与 相交于中心.在正方形 中，对角线互相垂直，所以 .即所成角为 ，余弦值为 . 例2：在正四面体 中， 分别为 中点，求 与 所成角的正弦值. 解：取 中点 ，连接 ，由中位线得 ，则 为所求.设棱长为 ，计算各边长度，利用余弦定理求得 ，再求正弦. 【习题巩固】 1. 在正方体 中，与直线 异面且垂直的棱有（ ） · A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 1. 在空间四边形 中，，且 与 所成角为 ， 分别为 中点，则 与 所成角的大小为（ ） · A.  B.  C. 或  D. 1. 在正方体 中， 为 中点， 为 中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 过空间一点 作与直线 成 的直线，这样的直线有（ ） · A. 条 B. 条 C. 有限条 D. 无数条 1. （选做）在四面体 中，，求 与 所成角的余弦值. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 习题巩固： 1. C（与 异面且垂直的棱： 共 条） 1. C 1. A（通过平移后可证垂直） 1. D（过一点可作无数条直线与已知直线成定角，这些直线构成圆锥面） 1. 解：正四面体对棱互相垂直，故 . 学科网（北京）股份有限公司 $