8.6.1 直线与直线垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
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普通
- 理解空间中两条直线垂直的定义，掌握异面直线所成角的概念，会求两条异面直线所成的角，能判断两条直线是否垂直.
- 掌握等角定理及其推论，能运用其证明空间中的角相等.
- 通过将空间问题转化为平面问题的过程，体会转化与化归的数学思想；通过平移法求异面直线所成角，培养空间想象能力和逻辑推理能力.
- 异面直线所成角的定义及范围：
. - 平移法求异面直线所成角.
- 等角定理及其推论.
- 理解异面直线垂直（不一定相交）.
- 平移构造异面直线所成角时，辅助线的作法及分类讨论（角可能是锐角或钝角，但取锐角或直角）.
- 问题引入：
在平面内，两条直线垂直是指它们相交成 
角.在空间中，两条直线不相交（异面）是否也可能垂直？
观察正方体模型：棱 
与棱 
异面，但直观上它们互相垂直.
定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
注意：空间中两条直线垂直包括两种情况：
(1) 相交垂直（有公共点）；
(2) 异面垂直（没有公共点）.
- 异面直线所成角的定义：
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已知两条异面直线 
，
，经过空间任一点 
分别作直线 
，
，把 
与 
所成的锐角（或直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）.
范围：.
特别地，当 
时， 与 互相垂直.
- 辨析：
(1) 两条异面直线所成的角能否为 
？
（不能，若为 则两直线平行，不是异面.）
(2) 平移时，点 的选择是否影响角的大小？
（不影响，因为平行线的方向角不变.）
- 异面直线所成角的范围：
. - 垂直定义：相交或异面时成角 均称垂直.
- 求异面直线所成角的步骤：
(1) 平移：将两条异面直线平移至相交.
(2) 构造三角形：计算平移后两直线的夹角.
(3) 结论：取锐角或直角.
- 定理内容：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(1) 如果两个角的两边方向相同（或相反），则相等；
(2) 如果一边方向相同，另一边方向相反，则互补.
- 推论：
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
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