【内蒙古专用】 2025-2026学年人教版八年级下学期数学期中模拟试卷（二）

**基本信息** 2025-2026学年初二下学期期中数学模拟卷，聚焦二次根式、勾股定理、四边形等核心知识，通过风筝测量、《九章算术》芦苇问题等真实情境，考查抽象能力、几何直观与推理意识，实现基础巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式运算、勾股定理应用、函数概念|结合七巧板会徽情境，考查空间观念| |填空题|4/12|二次根式意义、一次函数性质、古代数学问题|融入《九章算术》素材，体现文化传承| |解答题|6/64|二次根式混合运算、平行四边形全等、矩形折叠与菱形判定|设计正方形与菱形综合探究题，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年第二学期初二年级期中模拟试卷（二） 数 学 试 题 解 析 版 （本试卷共5页，满分100分，考试时间：90分钟 ） 温馨提示: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意； B.，故此选项不合题意； C.，故此选项符合题意； D.无法合并，故此选项不合题意； 故选：． 直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的加减，正确进行二次根式的加减运算是解题关键． 2.一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设树顶端落在离树底部米，由题意得： ， 解得：． 故选：． 首先设树顶端落在离树底部米，根据勾股定理可得，再解即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 3.下列条件中，不能判定为直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. C. ：：：： D. ，， 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 【解答】 解：．，是直角三角形，故能判定是直角三角形； B.，，故能判定是直角三角形； C.，，故能判定是直角三角形； D.，不是直角三角形，故不能判定是直角三角形． 故选D． 4.下列图象不能反映是的函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：当取一个值时，不一定有唯一的与它对应的值，不是的函数，故选项A符合题意；  B.当取一个值时，有唯一的与它对应的值，是的函数，故选项B不符合题意；  C.当取一个值时，有唯一的与它对应的值，是的函数，故选项C不符合题意；  D.当取一个值时，有唯一的与它对应的值，是的函数，故选项D不符合题意；  故选：． 根据函数的概念解答即可． 此题考查函数的概念，关键是根据当取一个值时，有唯一的与它对应的值判断． 5.下列命题，其中是真命题的为(    ) A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D  【解析】解：选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选：． 根据平行四边形的判定判断选项，根据菱形的判定判断选项，根据矩形的判定判断选项，根据正方形的判定判断选项，真命题选择选项说法正确的即可． 本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 6.如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：作于， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 故选：． 作于，利用含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据等面积法表示，代入计算可得答案． 本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等面积法是解题的关键． 7.如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，为的中点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接． ，，， ， ，， 四边形是矩形， ，与互相平分， 是的中点， 为的中点， ， 时，最短，同样也最短， 当时，， 最短时，， 当最短时，． 即的最小值为． 故选：． 连接，根据矩形的判定和性质得出，根据当时，的值最小，即的值最小，利用勾股定理解答即可． 此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质得出解答． 8.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有(    ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：和都是等腰直角三角形， ，，，，， ， ，故正确； ， ， 在和中，， ≌，故正确； ，， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故正确； 在上截取，连接，如图所示： 在和中，， ≌， ， 当时，是等边三角形， 则，此时，故不正确； 故选：． 由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案． 本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若代数式有意义，则实数的取值范围是            ． 【答案】  【解析】解：代数式有意义，  ，  解得：，  故答案为：． 根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该条件是解题的关键． 10.已知点，在正比例函数的图象上，若，则        填“”或“” 【答案】  【解析】解：， 随的增大而减小， 点，在正比例函数的图象上，且， ， 故答案为：． 根据一次函数的性质解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． 11.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为      尺 【答案】  【解析】解：设水深为尺，则这根芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 即这根芦苇长为尺， 故答案为：． 设水深为尺，则这根芦苇长为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 12.如图，将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点、分别在、上若，则的长为      ． 【答案】  【解析】解：连接交于点，连接交于点，如图所示：   ， ， 四边形是正方形， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ，，， ， ， 又， 是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为：． 连接交于点，连接交于点，则，进而得，则，，再求出，证明是的中位线，得，继而得，由勾股定理得，再由勾股定理求出即可得出的长． 此题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，菱形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算． ； ； ； ． 【答案】解：原式 ； 原式 ； 原式 ； 原式 ．  【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； 先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的除法运算； 先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． 14.本小题分某校八年级班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为； 牵线放风筝的小明的身高为． 如图是放风筝的示意图，其中点、、在同一条直线上，且，，，垂足为点，请根据题意，求出风筝的垂直高度； 如果小明想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】解：在中， 由勾股定理得，， 所以，负值舍去， 所以，米， 答：风筝的高度为米； 由题意得，米， 米， 米， 米， 他应该往回收线米．  【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； 根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 15.本小题分 已知，如图，四边形是平行四边形，点、在对角线所在的直线上，． 求证：； 连接、，若，，平分，求四边形的面积． 【解析】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ≌， ； 解：如图，连接， 由知，≌， ，， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形的面积． 根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质定理得到； 如图，连接，由知，≌，得到，，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式得到结论． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交、于点、  求证：≌；  若，，，求四边形的周长． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌； ≌， ，， ， 又， 四边形的周长．  【解析】根据平行四边形的性质得出，，求出，根据推出≌；  由≌，可得，，继而求得答案． 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 17.本小题分 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． 求证：； 求证：四边形为菱形； 连接交于点，若，，求线段的长． 【解析】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折性质可得，， ， ， ； 证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 如图，连接交相交于． 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， 根据勾股定理得． 易证，可得； 易证四边形是平行四边形，即可得证； 利用面积法求出，再利用勾股定理求出． 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18.本小题分 如图，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 与的数量关系是______，与的位置关系是______； 当点在对角线的延长线上运动时． 如图，探究并写出线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； 如图，连接，，若，，求四边形的面积． 【解析】解：四边形是正方形， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ． 故答案为：，； ，理由如下： 四边形是正方形， ，，，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ； 如图， ≌， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ． 由“”可证≌，可得，，即可求解； 由“”可证≌，可得，可得结论； 利用全等三角形的性质和勾股定理可求，，的长，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求的长是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二年级期中模拟试卷（二） 数 学 试 题 （本试卷共5页，满分100分，考试时间：90分钟 ） 温馨提示: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处． A. B. C. D. 3.下列条件中，不能判定为直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. C. ：：：： D. ，， 4.下列图象不能反映是的函数的是(    ) A. B. C. D. 5.下列命题，其中是真命题的为(    ) A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 6.如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，为边上一动点， 于点，于点，为的中点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有(    ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若代数式有意义，则实数的取值范围是            ． 10.已知点，在正比例函数的图象上，若，则        填“”或“” 11.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为      尺 12.如图，将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点、分别在、上若，则的长为      ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算． ； ； ； ． 14.本小题分 某校八年级班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为； 牵线放风筝的小明的身高为． 如图是放风筝的示意图，其中点、、在同一条直线上，且，，，垂足为点，请根据题意，求出风筝的垂直高度； 如果小明想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 15.本小题分 已知，如图，四边形是平行四边形，点、在对角线所在的直线上，． 求证：； 连接、，若，，平分，求四边形的面积． 16.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交、于点、  求证：≌；  若，，，求四边形的周长． 17.本小题分 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． 求证：； 求证：四边形为菱形； 连接交于点，若，，求线段的长． 18.本小题分 如图，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 与的数量关系是______，与的位置关系是______； 当点在对角线的延长线上运动时． 如图，探究并写出线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； 如图，连接，，若，，求四边形的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $