精品解析：北京市第一七一中学教育集团2025-2026学年春季学期期中调研八年级 数学

北京市第一七一中学教育集团2025-2026学年春季学期期中调研初二数学 （时长：100分钟 分值：100分） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. ． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）. A. 6，7，8 B. 7，12，13 C. 3，4，5 D. 5，9，12 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 8. 如图，在中，直线． 将直线沿从点匀速平移至点，在运动过程中，直线与两边的交点分别记为点、． 设线段的长为，平移时间为则如图图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 函数的图像经过，那么_____________． 11. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式是______． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 13. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 14. 如图，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出的中点的距离，若，则两点间的距离为______m． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为______ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，则的大小为．请在轴上再找出一点，使得为直角三角形，则点的坐标为_______．（写出两个即可） 三、解答题（本题共68分，第17题每小题4分，18-21题每题4分，第22题5分，第23-25题每题6分，第26-28题每题7分）解答题要有演算过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 当时，求代数式的值． 19. 在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为的三角形； （2）在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是． 20. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 21. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）在坐标系中画出该一次函数的图象，并求这个一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 22. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E. (1)求证：△ABC为直角三角形． (2)求AE的长． 23. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：． 求作：边上的中线． 作法：如图， ①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，　　， 四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． 是边上的中线． 24. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：DF＝AB； （2）若∠FDC＝30°，且AB＝6，求AD的长． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 26. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； （2）由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 27. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点． （1）若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有______；（填写序号即可） ①；②；③；④． （2）点都在直线上，已知点的横坐标为． ①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点横坐标为3，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学教育集团2025-2026学年春季学期期中调研初二数学 （时长：100分钟 分值：100分） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）. A. 6，7，8 B. 7，12，13 C. 3，4，5 D. 5，9，12 【答案】C 【解析】 【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，不能合并，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算错误，故不符合题意； D. ，选项计算正确，故符合题意； 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数解析式判断增减性，当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：对于直线，一次项系数. ∵， ∴随的增大而增大. 已知，横坐标满足， ∴． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次函数的图像与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵y=-5x+1，其中斜率k=-5<0，常数项b=1>0， 对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限， ∴不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限． 7. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可； 【详解】解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分； B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分； C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分； D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型． 8. 如图，在中，直线． 将直线沿从点匀速平移至点，在运动过程中，直线与两边的交点分别记为点、． 设线段的长为，平移时间为则如图图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的识别，根据点在上运动，直线在之间运动，点在上运动，分析的长的变化情况即可． 【详解】解：①当点在上运动时，的长逐渐增大， ②当直线在之间运动时，的长不变； ③当点在上运动时，的长逐渐变小 故选：D． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 函数的图像经过，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，直接把代入对应的解析式中进行求解即可． 【详解】解：∵函数的图像经过， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据 “上加下减”的平移原则即可求解． 【详解】解：直线向下平移个单位长度，则解析式变为． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 13. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 14. 如图，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出的中点的距离，若，则两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 即两点间的距离是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，． 即关于的不等式的解集为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，则的大小为．请在轴上再找出一点，使得为直角三角形，则点的坐标为_______．（写出两个即可） 【答案】或或或 【解析】 【分析】设点E的坐标为，可得到，再分三种情况，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设点E的坐标为， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 解得：或3， 此时点E的坐标为或； 当时， ， ∴， 解得：， 此时点E的坐标为； 当时， ， ∴， 解得：， 此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 三、解答题（本题共68分，第17题每小题4分，18-21题每题4分，第22题5分，第23-25题每题6分，第26-28题每题7分）解答题要有演算过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 当时，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原式进行变形，再直接将代入求值即可． 【详解】解： 当时， 原式 【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为的三角形； （2）在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求. 【解析】 【分析】（1）取格点，满足，，，可得即为所求； （2）取格点，满足，，可得即为所求. 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】证明：四边形是平行四边形，  ，． ，  ，即 ． 又因为在上、在上，结合，可得 ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质，得到边与的关系：平行且相等，结合已知条件，通过线段的和差关系推导和的数量关系，同时根据与平行的性质得到和的位置关系．依据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，完成证明． 【详解】略 21. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）在坐标系中画出该一次函数的图象，并求这个一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）； （2）一次函数图象如下；． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）利用两点确定一条直线即可画出一次函数的图象，再根据函数解析式求出求出直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，两点法画一次函数图象，求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过和两点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：画一次函数图象如下，设直线与轴的交点为点，与轴的交点为点，则， ∵时，， ∴， ∴，， ∴， 即一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积为． 22. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E. (1)求证：△ABC为直角三角形． (2)求AE的长． 【答案】 (1)证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5， 又∵42+32=52， 即AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形； (2) AE的长是. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可． 【详解】（1）略 （2）证明：连接CE． ∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC=EB， 设AE=x，则EC=4-x． ∴x2+32=（4-x）2． 解之得x=，即AE的长是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 23. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：． 求作：边上的中线． 作法：如图， ①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，　　， 四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． 是边上的中线． 【答案】（1） 如图所示： （2）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：DF＝AB； （2）若∠FDC＝30°，且AB＝6，求AD的长． 【答案】 （1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠FAD＝∠BEA． ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°＝∠B． 在△ADF和△EAB中， ∴△ADF≌△EAB（AAS）． ∴DF＝AB． （2）12 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明△ADF≌△EAB即可； （2）由（1）可知,利用同角的余角相等，可求得,再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 【详解】解：（1）略 （2）,四边形是矩形 , 又∵△ADF≌△EAB DF＝AB， ∴AD＝2AB＝2×6＝12 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，熟练以上知识是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当函数过时，，然后分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入上式，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 则当函数过时，， 当时，两个函数图象交点在直线的右侧； 当时，直线与直线平行， 当且时，两个函数图象交点在直线的右侧； ∴m的取值范围为：或或． 26. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； （2）由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）全体实数； （2） 解：函数的图象，如下图所示： （3）①；②或；③． 【解析】 【小问1详解】 解：函数，根据绝对值的性质可知，x的取值范围是：全体实数，y的取值范围是：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ①观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是； ②观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是或； ③可以由平移得到，如果都小于，只能向下平移，所以． 27. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ∴， ， ， ， 即， ； （2） ①解：依题意，补全图形如图所示： ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：，证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）①依题意，补全图形即可； ②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论； ③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点． （1）若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有______；（填写序号即可） ①；②；③；④． （2）点都在直线上，已知点的横坐标为． ①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点横坐标为3，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围_______． 【答案】（1）①③ （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）的两个端点坐标分别为和，根据定义计算检验即可； （2）①根据解析式得，当时，，，待定系数法确定直线解析式为，联立，求解交点即等差点坐标为；设点，根据定义求解； ②在正方形上任取两点E，F，设线段上的点P为线段的等差点，根据等差点的定义可得点E为线段的中点或点F为线段的中点，即点P在线段的延长线或在线段的延长线上，从而得到点P在正方形的边上或在正方形的外部，根据题意可得点M，N分别在x轴、直线上，且点M在点N的左侧，然后分两种情况：当点P在y轴的左侧时，当点P在y轴的右侧时，即可求解． 【小问1详解】 解：的两个端点坐标分别为和， ①：∵， ∴是等差点； ②：∵且， ∴不是等差点； ③：∵且， ∴是等差点； ④：∵，且， ∴不是等差点． 综上所述，是线段等差点的有①③； 【小问2详解】 解：①∵点A在直线上，横坐标为， ∴， 当时， 设直线解析式为，则 ，解得， ∴直线解析式为，联立，得 ，解得， ∴交点即等差点坐标为； 设点，则或， 解得或， ∴或； ②∵点，存在实数，使得且， ∴且， ∴点以点和为端点的线段的中点， 在正方形上任取两点E，F，设线段上的点P为线段的等差点， ∴点E为线段的中点或点F为线段的中点， 即点P在线段的延长线或在线段的延长线上， ∴点P在正方形的边上或在正方形的外部， 如图，点横坐标为3，以为对角线构造正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴点M，N分别在x轴、直线上，且点M在点N的左侧， 当点P在y轴的左侧时， ∵点P在线段上且为线段的等差点， ∴，解得：； 当点P在y轴的右侧时， ∵点P在线段上且为线段的等差点， ∴，解得：； 综上所述，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $