甘肃张掖市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 张掖市高二下学期数学期中卷，聚焦导数、向量、统计概率、立体几何核心知识，通过宋文化研学、温度认同调查等情境设计，考查数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达规律的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数几何意义、向量运算、函数单调性、相关关系|基础概念辨析，如第4题图像判断相关关系| |多选题|3/18|导函数应用、统计结论、立体几何判定|能力分层，如第9题导函数图像分析单调性极值| |填空题|3/15|全概率公式、面面夹角、函数零点|综合计算，如第12题全概率公式求迟到概率| |解答题|5/77|导数极值与最值、独立性检验、立体几何证明与线面角、函数单调性与证明、概率分布|情境化与综合应用，如第16题温度认同独立性检验，第19题宋文化研学概率统计|

高二数学期中考试参考答案 1、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B D B C A 2、 多选题 题号 9 10 11 答案 BC AD ABD 三、填空题 12．（或者） 13． 14． 四、解答题 15．解（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以 6分 （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 13分 16．解（1）依题意可知，女性用户共有200人， 认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； 10分 （2）由（1）得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人， 故抽取2人至少有1名女性的概率为. 15分 17．解（1）因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 7分 （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 18．解（1）若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； 3分 （2），定义域为， ，        当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； 9分 （3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为；             当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，；        当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 17分 19解（1）记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””， 由古典概型的概率公式可得. 3分 （2）由题意可知，，，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 10分 （3）设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布， 则，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由表格中的数据可知，，，， 因为， 即，故. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 张掖市第二中学2025-2026学年高二下学期 数学期中考试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是函数的导函数，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知向量，，满足，则的值为（    ） A．2 B．-2 C． D． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．②③ C．② D．①③ 5．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 6．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．45% B．40% C．30% D．22.5% 7．向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 10．下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 13．如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________. 14．已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 16．（本小题满分15分）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点，求证：． 19．（本小题满分17分）开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. (1)求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； (2)如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. (3)该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张掖市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡班级： 姓名： 考场号： 座位号： ┌ ┐ 贴条码区域 └ ┘ 注意事项： 1、选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂:$ 错误填涂:%^&* 缺考标记:` 第一部分 客观题（请用2B铅笔填涂） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 12 A B C D 三、填空题 （12） （13） （14） 此区域禁止答题 此区域禁止答题 四、解答题 15．（13分） 16．（15分） 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 17．（15分） 19．（17分） 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $