甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过梯度化题型设计考查向量运算、导数应用及空间几何，强化数学思维与推理能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量共线、函数极值、空间对称|基础巩固与概念辨析结合，如第7题空间向量夹角范围考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|切线方程、投影向量、函数最值|突出运算能力，如第12题切线问题考查数学眼光中的几何直观| |解答题|5题/77分|空间几何证明、导数单调性讨论|综合应用导向，如第18题空间向量证垂直及面面平行，体现空间观念与数学语言表达|

高二第二学期期中考试数学参考答案 题号 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 D ⊙ AD AC 题号 11 答案 ACD 1.D 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为园=V-1)+32+2=√10，则x=0,即ā=(（-1,30)， 又a⊥b,则ab=0,即-1×3+3y=0,所以y=1, 则x+y=1 故选：D 2.C 【分析】求导，根据导数判断函数单调性与极值点，即可得解 【详解】由f问=+2x,得f)=2- ex 则当-√2<x<√时，f'(x)>0:当x<-√2或x>√2时，f'(x)<0, 故f(x)在（∞，-√）和(V2,+∞）上单调递增，在(-√2，√2)上单调递减， 所以函数f(x)的极大值点与极小值点分别为√，-√2， 则a=√2，b=-√2，所以a+b=0, 故选：C 3.A 【分析】先根据点的对称求得A和B的坐标，进而利用两点间的距离公式求得AB. 【详解】解：由题意得： 由点A与点M关于平面xOy对称，点B与点M关于x轴对称 可知：A(2,-1,-3),B(2,1,-3) 则AB=V(2-2)2+(-1-1)2+[(-3)-(-3)]=2 故选：A. 4.【答案】D 【分析】先求出f(x),通过赋值法求得'(O),代入f(x),即可得∫(O) 试卷第1页，共8页 【详解】因为f(x)=2f'(0)e-x2+3.x, 所以f'(x)=(2f'(0)e）-(x2)+(3x)=2f'(0)e*-2x+3, 令x=0,得f(0)=2f'(0)e°+3=2f(0)+3, .f"(0)=-3, 所以f(x)=-6e-x2+3x,故f(0)=-6e°=-6 故选：D. 5.B 【解析】由向量线性运算的几何含义知3亚=网+AD,AD=4C+A圆，AC=交-， AB=S8-S,即可得S亚与A,SB,SC的线性关系式 【详解】四面体SABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE, 亚-0+兮c-)=c+名亚-+名c-0+丽-画 32 6 6 1 上8+8+sC 6 故选：B 6.【答案】C 【分析】首先求出f()函数的导函数，根据f(x)在区间(0，+)上单调递增，得出a≤e 利用导数求出(y)=C的最小值，从而求出a是的最大值。 【详解】由己知可得'(x)=e-ax, 因为∫(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f"(w)≥0即ase在(0，+)上恒成立， 设()-6>0)，则x)--e x2 当x∈(0,1)时，h(x)<0,h(x)单调递减， 当x∈(1，+oo)时，h(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)2h(I)=e,所以a≤e, 即a的最大值为e. 试卷第2页，共8页 故选：C 7.【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量a=(2,-1,1),b=(m,-3,3), 若a与6的夹角是锐角，则ab=2m+3+3>0且2×(-3)=-m不成立， 所以-3<m<6或m>6. 故选：C. 8.B 【详解】设g(x)=xf(x),则g'()=3x2f(x)+x2f”(x)=x2[3f(x)+f"(x)]>0,所以g(x) 在(0，+o)上单调递增，则g(10)<g(20),即1000f(10)<8000f(20),所以f(10)<8f(20): 9.AD 【分析】对于A由不重合两直线方向向量平行可判断：对于B要考虑直线可能在面内；对 于C,直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直；对于D,由两法向量垂直可得两平面 垂直 【详解】对于A,两条不重合直线，l,的方向向量分别是： a-2a-6=(-别 则6- 2, 所以a∥b,即l∥l2,故A正确： 对于B,直线l的方向向量ā=(1，-1,2)，平面x的法向量是i=(6,4,-1), 则a.i=1×6-1x4+2×(-1)=0, 所以a⊥i,即l∥a或lco,故B错误： 对于C,直线1的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是i=(0,-1,0), 则i=五，所以正∥a,即l1a,故c错误： 对于D,两个不同的平面aB的法向量分别是i=(2,2,-1),节=(-3,4,2)， 则i.下=2×(-3)+2×4+(-1)×2=0， 试卷第3页，共8页 所以⊥B,故D正确. 故选：AD. 10.AC 【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性 【详解】对A:在区间(-3,0)上f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-3,0)是严格减函数，故A 正确： 对B:在区间(1,3)上”(x)有正有负，故B错误： 对C:在区间(0,2)上∫'(x)>0,则函数f(x)在区间(0,2)是严格增函数，故C正确： 对D:在区间(3,4)上'(x)有正有负，故D错误： 故选：AC. 11.ACD 【分析】对于A,先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可； 对于B,令f(x)=0,则可得函数的零点： 对于C,由选项A的解答过程可知，当x>时，函数f(x)为减函数，所以f(3)>f(π)>∫(4)， 而f(2)=(4),从而可得结果； 对于D,由f)<k-在0+四)上恒成立，得>+，令()=血x+ ,再利用导数求 xx 此函数的最大值即可 【详翰】数的号致了=.>0。 令f'(x)=0得x=e,则当0<x<e时，f'(x)>0,函数为增函数， 当x>e时，f'(x)<0,函数f(x)为减函数， 则当x=e时，函数取得极大值，极大值为(e)=1,故A正确， 由f(x)=0,得nx=0,得x=1,即函数f(x)只有一个零点，故B错误， 61阳)了)42沙22，由e时，画数)城证装知>fe)>0。 故f(2)<f()<∫(3)成立，故C正确， 若f()<k-上在(0，+w)上恒成立， 试卷第4页，共8页 则>血x+上 XX 设h)=血x+1,c>0), xX 二2，当0<x<1时，田>0，h()单调递增，当c>1时，1(<0 调递减， 即当x=1时，函数h(x)取得极大值同时也是最大值h(1)=1, k>1成立，故D正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数 的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键。 12.1- e 【分析】设切点坐标为(x。,。),根据导数导数的几何意义可得出关于。、a的方程组，即 可解得实数a的值 【详解】因为f(c)=ar+hnx,则了)=a+ 设切点坐标为(。，y),则满足=a,+h,①， f()=a+=1,则m,=元-1，代入①得5=%1+血，解得x,=e, x。 所以，a=1-1 赦答案为：1-】 e 13. 613 3535 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可 【详解】由题意得园=√52+12+32=V35,a.b=5×9+1×8+3×5=68, 甸星5在向量a上的投影数量为cosā，b:-- 所以1=a6-68x168 353535 故答案为： 68 35 试卷第5页，共8页 14.(-1,2] 【分析】利用导数研究函数f(x)的单调性，求出函数的极值，结合题意可得f(-)=2+a=3且 -1<m≤2，即可求解 【详解】由题意知，f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令(x)<0→-1<x<1,f(x)>0→x<-l或x>1, 所以函数f(x)在(-1，)上单调递减，在(”，-1以，+∞)上单调递增， 则f(x)的极大值为f(1)=2+a,极小值为f()=a-2,且f(-3)=a-18, 又f(x)在(-3，m上的最大值为3，无最小值， 所以f(-1)=2+a=3,解得a=1,所以f(x)=x3-3x+1, 令x3-3x+1=3,解得x=-1或x=2,所以-1<m≤2， 所以am∈(-L,2] 故答案为：(-1,2] 15.【答案】)-0 10 四 【分析】(1)利用空间向量夹角的坐标表示计算即可： (2)利用三点共线的坐标表示设OP=1OC,利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次 函数性质求最值即可 【详解】(1)由题意可知AB=OB-OA=(1,1,0),AC=OC-OA=(-1,0,2), 所以AB=V2,AC=V5,ABAC=1×(-1)+1×0+0×2=-1, AB.AC 1 则cos AB,AC= @aai0-10: (2)由题意可设0P=20C,则OP=（-32,0,42), 易知OA+OB=(-3,1,4),OA.OB=6, 所以PAPB=(OA-OP(OB-OP)=OAOB-O.(OA+OB)+OP1 =6352525-月 试卷第6页，共8页 当天}时。房，丽取得极小值4 16.【解析】（解法一） (1)证明：取DE中点N,连结AN,MN, 因为ANULCD,ABCD,所以MN业AB,所以ABMN是平行四边形， =2 =2 所以BMI∥AN,又ANC平面ADEF,BMd平面ADEF,所以BMI∥平面ADEF. (2)证明：因为BD=2√2，BC=2√5，CD=4,所以BD2+BC2=CD2,所以BD⊥BC. 因为平面ADEF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以DE⊥BC, 又BD∩DE=D,所以BC⊥平面BDE. (解法二) 因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以 DE⊥BC. 又BD∩DE=D,所以BC⊥平面BDE.因此DA,DC,DE两两垂直 如图，以D为原点，以DA,DC,DE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间 直角坐标系，则 B(2,2,0),C(0,4,0),D(0,0,0),E(0,0,2),M(0,2,1). (1)因为BM=(-2,0,1),且1=(0,1,0)为平面ADEF的一个法向量. 因此BMn=0,所以BM⊥n=0· 2 又BM丈平面ADEF,所以BMI∥平面 ADEF. (2)DB=(2,2,1),DE=(0,0,2), M BC=(-2,2,0) D 设平面BDE的一个法向量n=(x,少，z), 则 B [m.DB=2x+2y=0 n.DE=23=0 ，取x=1,得 y=-1,z=0, 试卷第7页，共8页 所以n=(1,-1,O)是平面BDE的一个法向量. 因此BC=-21,所以BC⊥平面BDE. 17.【详解】(1)f”(x)=-3x2+6x+9=-32-2x-3上-36+1)6-3)， 令f"(x)=0,得x=-1或x=3· '(x),∫(x)的情况如下： x （-0,-1) -1 （-13) 3 (3,+0) f'(x) 0 + 0 f(x) 递减 a-5 递增 27+a 递减 所以x=-1是函数f(x)的极小值点；x=3是函数f(x)的极大值点，增区间是(13)， 减区间是(-o,-1)和(3，+0)； (2)由己知f(x)的极小值为-10，即f(-1)=1+3-9+a=-10 解得a=-5, 由(1)知f(x)在[-2，-1]上递减，在[-1,2]上递增， 又f(-2)=-3，f(2)=17. 所以当x=2时，f(x)取得最大值17. 18.(1)证明见解析 (2)1 【分析】(1)以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设E(1,,O),结合DE·AD=0, 即可得证： (2)求得平面D,EC和平面B,EC的法向量为m=(2-,1,2)和=(2-y1,y。-2),结合平 面DEC⊥平面B,EC,得到m⊥，列出方程求得y。=1,即可得到答案. 试卷第8页，共8页 【详解】(1)解：以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立 的空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0),C(0,2,0),A11,0,1)B14,2,1)D10,0,1), 设E(1,,0)(0≤y。≤2)，则DE=(1,y,-1). 因为4D=(-1,0,-1),所以DE4D=(（1,y,-1)（1,0,-1)=0, 所以DE⊥AD,即DE⊥AD. (2)解：设平面D,EC的法向量为m=(,,),平面BEC的法向量为=(2，y2,2), 因为DE=(1,,-1),DC=(0,2,-1), 所以 mDE=x+o=0 ，取y=1,则m=(2-y1,2): i-DC=2y-名=0 因为B1=(0,2-yo,1),CB1=1,0,1), iEB,=(2-y,)y,+z2= 所以 0,取为=1，则n=(2-y1,-2) i.CB,=x2+22=0 因为平面DEC⊥平面BEC,可得m⊥，即mi=(2-,1,2)2-,1,y。-2)=0 所以(2-y)+1+2(y。-2)=0,解得y。=1, 故当平面DEC⊥平面BEC时，AE的长为1. 19.(1)y=x-1. (2)详解见解析. (3)证明见解析. 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解： (2)根据题意，分类讨论α的取值，即可得出对应的单调区间： (3)设)=nx-2x-少0<x<),利用导数讨论函数的单调性可得()<)=0，即可求 x+1 解。 【详解】(1)当a=1时，f)=l血x+-),定义域为(0，+o), 则f)=1-1-x),所以切线的斜率为f"0)=1,又f①)=0， 所以该切线方程为：y-0=x-1,即y=x-1: 答案第1页，共2页 (2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f0)=1+x-a=x-+1 1 x 令g(x)=x2-+1,则△=a2-4. 当a≤0或△≤0即a≤2时，f"(x)≥0恒成立， 所以函数f(x)在(0，+o)上单调递增： a>0 当△>0即a>2时， 令fW>0→0<<2-2-4或>4+N24 2 2 令f)<0→a-2-4x<+5-4, 2 2 所以函数在0,4-医马)和(a+-4,+网上单调递销，在 2 2 4-公-4，a+-4上单调递减 2 2 综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>2时，函数f)在0a-公-4)和+公-4，+网）上单调递增，在 2 2 -V-4a+V公-4)上单调递减 2 2 (3)设)=nx-2-”0<x<1), x+1 21_4-(x-1)2 则h(x)= >0, x+1)2x(x+1)2 所以函数h(x)在(0,1)上单调递增， 则()<h0=0,即nx<2-D,即证 x+1 【点睛】利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题 过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 答案第2页，共2页 民乐一中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，，若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（   ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ） A．2 B．4 C． D． 4．已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 5．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．   8．已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列选项正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．两个不同的平面的法向量分别是，则 10．题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 11．对于函数，下列说法正确的有（    ）． A．在处取得极大值 B．有两不同零点 C． D．若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的一条切线是，则实数______. 13．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 14．已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线上一动点，求的最小值． 16.（本小题满分15分） 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 17.（本小题满分15分） 已知函数 (1)求函数 的单调区间和极值点； (2)若 的极小值为 ，求函数 在 上的最大值． 18．（本小题满分17分） 如图，在长方体中，.请用空间向量知识解答下列问题： (1)求证：当点在棱上移动时，始终有； (2)点在棱上移动，当平面平面时，求的长. 19.（本小题满分17分） 已知函数，其中． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 试卷第1页，共3页 2025-2026学年第二学期高二年级质量检测·数学试卷·共4页·第1页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $