2026年广东省广州市中考第二次模拟考数学自编练习卷

广州市中考第二次模拟考自编练习卷 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版数学七年级至九年级。 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，是有理数的是（　　） A．﹣ B． C．2.1234… D． 【答案】D 【分析】根据有理数和无理数的定义进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、﹣是无理数， 本选项错误； B、是无理数， 本选项错误； C、2.1234…是无理数， 本选项错误； D、是有理数， 本选项正确； 故选：D． 【点睛】实数分为有理数和无理数两大类．有理数指有限小数和无限循环小数；无理数指无限不循环小数．判断一个数是无理数还是有理数，要看化简后结果． 2．下列几何体中，柱体的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 本题主要考查了认识立体图形行，根据柱体、锥体、球体的形体特征进行判断即可，熟练掌握棱柱、棱锥、球的形体特征是解决此题的关键． 【详解】解：图中的几何体从左到右依次是：圆柱、圆锥、正方体、长方体、五棱柱、圆， ∴柱体有：圆柱，正方体、长方体、五棱柱，共4个， 故选：B． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 直接运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 故选D． 4．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（　　） A．x2=0 B．（x﹣3）2﹣1=0 C．（x+3）2+1=0 D．（2x﹣1）2=0 【答案】C 【详解】根据平方根的意义,负数没有平方根,所以C选项方程没有实数根,故选C. 5．某同学查询了我国五大名山的海拔，并绘制统计图以便更清楚地比较五座山的高度，那么最适宜采用的是（　　） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都可以 【答案】A 【分析】根据条形统计图，扇形统计图，以及折线统计图的特点判断即可． 【详解】解：某同学查询了我国五大名山的海拔，并绘制统计图以便更清楚地比较五座山的高度，那么最适宜采用的是条形统计图． 故选：A． 【点睛】此题考查了统计图的选择，弄清各种统计图的特征是解本题的关键． 6．直线的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点坐标直线中，看是否满足，即可判断函数图象经过的点． 【详解】A．3≠7+4，所以函数图象不经过； B．0≠7+4，所以函数图象不经过； C．7=3+4，所以函数图象经过； D．0≠3+4，所以函数图象不经过； 故答案为：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象上点的坐标，经过该图象的点可满足图象的函数关系式． 7．若，则的值为（    ） A．或3 B．1或 C．1或 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值，根据即可求解．分类讨论，两种情况即可． 【详解】解：若，则； 若，则； 故选：A 8．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为（    ） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】A 【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质△OCD是等边三角形，即可得到结论． 【详解】解：∵M、N分别为BC、OC的中点， ∴BO=2MN=10． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OB=OD=5，∠ABC=90°，CD=10 ∴△OCD是等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴∠ACB=30°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形判定与性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 9．已知RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（    ） A．2 B．2 C．4 D．2+2 【答案】B 【分析】作点C关于AB的对称点，连接,与AB交于点E，作DF于点F，则CE=，CE+DE= +DE，线段即为CE+DE得最小值． 【详解】如图，作点C关于AB的对称点，连接,与AB交于点E，作DF于点F， 则CE=，CE+DE= +DE，线段即为CE+DE得最小值． ∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4， D为BC的中点， CD=BD=BC=×4=2 CF=DF=,CC'=2CG=2×= 故选：B． 【点睛】此题考查了线路最短的问题，勾股定理，确定动点E何位置时，使DE+CE的值最小是解题的关键． 10．如图所示：二次函数（）的图象过原点，且对称轴为，给出以下四个结论：①当时，随x的增大而减小；②；③；④是方程的一个根，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线开口方向和对称轴以及与轴的交点可判断，根据抛物线与轴的交点个数与的关系可判断，根据图象确定抛物线与轴的交点，可判断，从而即可求得答案． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随x的增大而减小，故错误； ，， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个交点， 根据交点个数与的关系可得出：，即，故正确； 由图象可知和关于对称轴对称， 当时，，即是方程的一个根，故正确； 故正确的一共有3个， 故选：C． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数为______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，根据外角求出相邻内角，进而根据等腰三角形的性质求出底角即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵外角是， ∴相邻内角为， ∵等腰三角形的底角不能为钝角， ∴的内角是顶角， ∴底角度数为， 故答案为：． 12．如图，在中，是的中点，交于点，那么与的比是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质得到，进而推得，再证明，根据相似三角形的性质，即得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， E是的中点， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 13．函数中自变量的取值范围是______ . 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．    【答案】/ 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图，    作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 15．从、、1、2中任取两个数求和作为，使抛物线的开口向上的概率为________． 【答案】 【分析】由题意易得任取两个数的可能有和，和1，和2，和1，和2，1和2，进而可得的值为、、、0、1、3，然后根据抛物线的开口向上可知的值为正数，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得：任取两个数的可能有和，和1，和2，和1，和2，1和2， ∴的值为、、、0、1、3， ∵抛物线的开口向上， ∴的值为正数， ∴使抛物线的开口向上的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率及二次函数的图象与性质，熟练掌握概率的求法及二次函数图象与性质是解题的关键． 16．在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_____；点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_______． 【答案】 上； 外； 上 【分析】由于⊙C的半径为2cm，而AC=2cm，BC=4cm，则根据点与圆的位置关系的判定方法得到点A在⊙C上，点B在⊙C外；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到点C到AB的中点的距离等于AB，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得点C在以AB为直径的⊙O上． 【详解】∵⊙C的半径为2cm， 而AC=2cm，BC=4cm， ∴点A在⊙C上；点B在⊙C外； ∵点C到AB的中点的距离等于AB， ∴点C在以AB为直径的⊙O上. 故答案为:上；外；上. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.掌握点与圆的位置关系判定方法是解题的关键. 三、解答题（共9题，72分） 17．（本题6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【分析】先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后根据数轴的定义即可得． 【详解】解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 18．（本题6分）如图，在中，，是上一点，于点，于点．求证：    (1)； (2)，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件证明即可求证． （2）根据可得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ． 又，， ， ． （2），， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19．（本题6分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】把x，y的值代入方程组中得到关于m，n的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：把代入方程组，得， ①－②得：＝2， ∴的值为2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及加减法的应用，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 20．（本题8分）为铭记历史，致敬英雄，某校开展抗美援朝专题知识竞赛活动，现抽取20名同学的竞赛成绩（满分100分，得分都取整数）进行整理，得到如图所示的频数分布直方图．（图中的75～80表示，其余类推） 根据以上信息回答下列问题： (1)下列推断合理的有__________；（填写序号） ①竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上； ②竞赛成绩的众数一定不在75～80这一组上； ③竞赛成绩的众数可能在95～100这一组上． (2)求竞赛成绩的平均分．（每组中各个数据用该组的中间值代替，如75～80的中间值为77） 【答案】(1)②③ (2)分 【分析】（1）由成绩取整数：当时，有7人，所以成绩可能为： 所以至少有3人成绩相同，当时，有1人，当时，有3人，再结合众数的定义可得答案； （2）先求解20人所得的总分，再除以总人数20可得答案. 【详解】（1）解：由成绩取整数：当时，有7人，所以成绩可能为： 所以至少有3人成绩相同， 当时，有1人， 当时，有3人， ①竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上；推断不合理，不符合题意， ②竞赛成绩的众数一定不在75～80这一组上；推断合理，符合题意； ③竞赛成绩的众数可能在95～100这一组上．推断合理，符合题意； 故答案为：②③ （2）解：竞赛成绩平均数为： （分） 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，众数，中位数的含义，掌握“频数分布直方图，众数，中位数的含义”是解本题的关键. 21．（本题8分）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； (2)在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：从4张贴画任取一张共有4种情况，其中贴画“④”只有1种情况， ∴恰好抽到贴画“④”的概率是； （2）解：可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到贴画“②”和“③”的结果数有2种， ∴恰好抽到贴画“②”和“③”的概率是． 22．（本题8分）迪雅服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件． (1)请用含x的代数式分别表示方案①和方案②的费用． (2)当时，通过计算说明选择采用其中哪个方案更省钱？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)方案①的费用为元；方案②的费用为元； (2)当时，采用方案①更省钱 (3)当按照方案①购买夹克30件，按照方案②购买T恤10件时更省钱 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数的四则混合计算的实际应用： （1）根据所给的优惠方案计算即可； （2）根据（1）所求分别求出两种方案的费用即可得到答案； （3）当按照方案①购买夹克30件，按照方案②购买T恤10件时更省钱，计算出这种方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，方案①的费用为元； 方案②的费用为元； （2）解：当时，，， ∵， ∴当时，采用方案①更省钱； （3）解：当按照方案①购买夹克30件，按照方案②购买T恤10件时更省钱，理由如下： 当按照方案①购买夹克30件，按照方案②购买T恤10件时的费用为元， ∵， ∴当按照方案①购买夹克30件，按照方案②购买T恤10件时更省钱． 23．（本题9分）如图，在矩形中，，点O为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线、直线于点E，F． (1)如图1，的度数为______． (2)如图2，连接并延长交于K． ①请判断四边形的形状并说明理由． ②连接，记的面积为，的面积为，当中有一个内角的正切值为时，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2)①四边形是平行四边形，理由见解析；②，或， 【分析】（1）先说明，再证明，得到，进而求解即可； （2）①由得到，，然后证明出，结合即可证明四边形是平行四边形； ②分两种情况：第一种情况，如图3，的正切值为，即，第二种情况，如图4，的正切值为，即，利用相似基本图形相关线段长度，分别求，，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵将沿翻折至， ， ，， 是的中点， ， ， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵ ∴， ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； ②第一种情况，如图3， ∵的正切值为，即 ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ，即， ，， ， ∵， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ∴； 第二种情况：如图4， ∵的正切值为，即， 同理可得，，，， ，， ． 综上所述，当中有一个内角的正切值为时，，或，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的综合问题，正切的定义，解决此题关键在于利用相似三角形的性质求出相关线段长度． 24．（本题9分）已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标； （Ⅱ）将抛物线绕点O顺时针旋转180°得抛物线，且有点P（m，t）既在抛物线上，也在抛物线上，求m的值； （Ⅲ）当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】（Ⅰ）y＝x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，-4）；（Ⅱ），；（Ⅲ）a的值为1﹣或2+． 【分析】（1）利用二次函数的对称性，由点坐标得出点坐标，利用二次函数的交点式直接写出解析式即可，把二次函数的化成顶点式，直接求出顶点坐标； （2）先求出抛物线的解析式，把分别代入到、的解析式中得到关于的方程组，解方程组即可得出正确答案； （3）分、、三种情况讨论即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 则， 即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； ∵， ∴ 顶点坐标为． （Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0） 所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线上， 且抛物线开口向下，形状与由抛物线C相同， 于是可得抛物线的解析式为，即y＝﹣x2﹣2x+3； 由点在抛物线上，有， 由点也在抛物线上，有， ∴． 解得，． （III）①当a+1＜1时，即a＜0， 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得a＝1﹣（正值舍去）； ②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1， 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； ③当时， 则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）； 综上，a的值为1﹣或2+． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题包含了解析式的求法、顶点坐标、交点坐标以及二次函数的最值常见问题，利用了分类讨论思想，方程思想是解决本题的关键． 25．（本题12分）（1）如图1，在等腰三角形中，边上有一点，过点作于于，过点作于，利用面积证明：．    （2）如图2，在四边形中，为线段上的一点，，连接，且，求的长．    （3）如图3，在四边形中，为线段上的一点，，且，，且，请直接写出的长．    【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3） 【分析】（1）如图所示，连接，根据得到，再由即可证明； （2）如图所示，延长交于，连接，过点作于，由（1）可得，由勾股定理得，设，则，由此可得， 解得，则，即． （3）如图所示，延长交于，连接，过点作于，过点D作于M，交延长线于N，证明四边形是正方形，得到，由（1）可得，则可求出，设，则，由勾股定理建立方程，解得，则，证明，得到，证明，得到，设，则，，进而得到，解得，则，即可得到． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴；    （2）如图所示，延长交于，连接，过点作于，    ∵， ∴， ∵，， 由（1）可得， 在中，由勾股定理得， 设， 在中，，， ， 解得， ，即．    （3）如图所示，延长交于，连接，过点作于，过点D作于M，交延长线于N， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由（1）可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等角对等边等等，利用面积法证明（1）中是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市中考第二次模拟考自编练习卷 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版数学七年级至九年级。 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，是有理数的是（　　） A．﹣ B． C．2.1234… D． 2．下列几何体中，柱体的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（　　） A．x2=0 B．（x﹣3）2﹣1=0 C．（x+3）2+1=0 D．（2x﹣1）2=0 5．某同学查询了我国五大名山的海拔，并绘制统计图以便更清楚地比较五座山的高度，那么最适宜采用的是（　　） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都可以 6．直线的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（    ） A．或3 B．1或 C．1或 D．1或3 8．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为（    ） A．30° B．35° C．45° D．60° 9．已知RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（    ） A．2 B．2 C．4 D．2+2 10．如图所示：二次函数（）的图象过原点，且对称轴为，给出以下四个结论：①当时，随x的增大而减小；②；③；④是方程的一个根，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数为______度． 12．如图，在中，是的中点，交于点，那么与的比是______． 13．函数中自变量的取值范围是______ . 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．    15．从、、1、2中任取两个数求和作为，使抛物线的开口向上的概率为________． 16．在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_____；点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_______． 三、解答题（共9题，72分） 17．（本题6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 18．（本题6分）如图，在中，，是上一点，于点，于点．求证：    (1)； (2)，求的长度． 19．（本题6分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求的值． 20．（本题8分）为铭记历史，致敬英雄，某校开展抗美援朝专题知识竞赛活动，现抽取20名同学的竞赛成绩（满分100分，得分都取整数）进行整理，得到如图所示的频数分布直方图．（图中的75～80表示，其余类推） 根据以上信息回答下列问题： (1)下列推断合理的有__________；（填写序号） ①竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上； ②竞赛成绩的众数一定不在75～80这一组上； ③竞赛成绩的众数可能在95～100这一组上． (2)求竞赛成绩的平均分．（每组中各个数据用该组的中间值代替，如75～80的中间值为77） 21．（本题8分）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； (2)在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 22．（本题8分）迪雅服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件． (1)请用含x的代数式分别表示方案①和方案②的费用． (2)当时，通过计算说明选择采用其中哪个方案更省钱？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 23．（本题9分）如图，在矩形中，，点O为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线、直线于点E，F． (1)如图1，的度数为______． (2)如图2，连接并延长交于K． ①请判断四边形的形状并说明理由． ②连接，记的面积为，的面积为，当中有一个内角的正切值为时，请直接写出和的值． 24．（本题9分）已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标； （Ⅱ）将抛物线绕点O顺时针旋转180°得抛物线，且有点P（m，t）既在抛物线上，也在抛物线上，求m的值； （Ⅲ）当时，二次函数的最小值为，求的值． 25．（本题12分）（1）如图1，在等腰三角形中，边上有一点，过点作于于，过点作于，利用面积证明：．    （2）如图2，在四边形中，为线段上的一点，，连接，且，求的长．    （3）如图3，在四边形中，为线段上的一点，，且，，且，请直接写出的长．    学科网（北京）股份有限公司 $