19.1 二次根式及其性质 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1 二次根式及其性质 数学　八年级下册 第1课时　二次根式的概念 数学　八年级下册 温故知新：1．互逆运算：加⇔减；乘⇔除；乘方⇔开方． 2．基本概念：(1)平方根：正数有两个平方根，即正数a的两个平方根记作“ ”，它们互为相反数，其中，a叫作被开方数．算术平方根：正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术平方根． 数学　八年级下册 特别地，0的平方根和算术平方根是它本身，负数没有平方根． 例如：100的平方根是______，算术平方根是_____；10的平方根是_______，算术平方根是______． (2)立方根：一个数的立方根只有一个，一个数的立方根的符号和被开方数的符号一致．例如：1 000的立方根是_____，－27的立方根是_____． ±10 10 10 －3 数学　八年级下册 形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式． 下列各式中，一定是二次根式的是 ( ) A． B． C． D． B 数学　八年级下册 下列给出的各式：① ；② ；③ (h≥0，s>0)；④ ；⑤ (a≥0)；⑥ .其中是二次根式的是_____________(填序号). 小结：二次根式——含有二次根号“ ”，并且被开方数为非负数． ①③④⑤ 数学　八年级下册 解：(1)由x＋3≥0，得x≥－3. (RJ八下P2例1·改编)当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ；　　 当x≥－3时， 在实数范围内有意义． (2) ； 解：(2)由2－x≥0，得x≤2. 当x≤2时， 在实数范围内有意义． 数学　八年级下册 解：(3)由－x≥0，得x≤0. (3) ； 当x≤0时， 在实数范围内有意义． (4) . 解：(4)由x2＋1≥0，得x可取任意实数． x为任意实数， 在实数范围内都有意义． 数学　八年级下册 (RJ八下P5T1·改编)当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？(1) ；　 解：(1)由2a＋1≥0，得a≥ . 当a≥ 时， 在实数范围内有意义． (2) ； 解：(2)由a＋1≥0，得a≥－1. 当a≥－1时， 在实数范围内有意义． 数学　八年级下册 (3) ； 解：(3)由 ≥0，得a≤1. 当a≤1时， 在实数范围内有意义． (4) . 解：(4)由a＋2＞0，得a＞－2. 当a＞－2时， 在实数范围内有意义． 数学　八年级下册 (RJ八下P3T3·改编) (1)当x＝－1时， 的值是_____； (2)当a＝5时， 的值是_____． (RJ八下P3T3·改编) (1)当h＝20时， 的值是_____； (2)当m＝1时， 的值是_____． 2 3 数学　八年级下册 解：设这个长方形的长为3x cm，宽为2x cm. (RJ八下P3T1·改编)要画一个面积为30 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2，求这个长方形的长和宽． 依题意，得3x·2x＝30，则x＝ . ∴这个长方形的长为3 cm，宽为2 cm. 数学　八年级下册 解：设AB的长为x，则AB边上的高为4x. (RJ八下P5T6·改编)△ABC的面积为28，AB边上的高是AB边长的4倍．求AB的长． 依题意，得 x·4x＝28，则x＝ . ∴AB的长为 .　 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.下列式子一定是二次根式的是 ( ) A． B． C． D． C 数学　八年级下册 2.要使根式 在实数范围内有意义，则x必须满足( ) A．x≥1 B．x≥－1 C．x>1 D．x≠1 A 数学　八年级下册 3.当x____时，二次根式 有意义． 4.当x＝1时，二次根式 的值是____． 5.(RJ八下P5T3·改编)用代数式表示： (1)面积为S的圆的半径是_______； (2)面积为S且两条邻边的比为1∶3的长方形的两邻边长分别是_________，_________． ≤4 2 数学　八年级下册 6.已知 是整数，则自然数n的所有可能取值的和为 ( ) A．9 B．10 C．13 D．16 D 数学　八年级下册 7.若代数式 有意义，则x的取值范围是________． 8.(RJ八下P2思考·改编)一个大正方形的面积是一个半径为a的圆与一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_________． 3≤x<4 数学　八年级下册 9.(RJ八下P5T10·改编)一个圆柱的高为5，体积为V，求它的底面半径r(用含V的代数式表示)，并分别求当V＝5π和10π时，底面半径r的大小． 解：∵V＝πr2·h， ∴V＝πr2·5. ∴r2＝ .∴r＝ . 把V＝5π代入，得r＝ ＝1； 把V＝10π代入，得r＝ ＝ . 数学　八年级下册 第2课时　二次根式的性质 数学　八年级下册 已知 ，则a＋b的值为 ( ) A．－1 B．1 C．5 D．6 已知 ，则a＝____，b＝_____． 小结： 是常见的非负数． 2 －3 C 数学　八年级下册 (RJ八下P4例2·改编)计算： (1) ； 解：原式＝2. (2) ； 解：原式＝0. 数学　八年级下册 (3) ； 解：原式＝ ． (4) . 解：原式＝22× ＝4×5 ＝20. 数学　八年级下册 解：原式＝1.7. (RJ八下P5T2·改编)计算： (1) ； (2) ； 解：原式＝32× ＝9×2 ＝18. 数学　八年级下册 (3) ； 解：原式＝0.2. (4) . 解：原式＝(－7)2× ＝49× ＝14. 数学　八年级下册 解：原式＝7. (RJ八下P4T2·改编)化简： (1) ； (2) ； 解：原式＝ . 数学　八年级下册 (3) ； 解：原式＝ ＝10. (4) . 解：原式＝ ＝ . 数学　八年级下册 解：原式＝0.3. (RJ八下P4T2·改编)化简： (1) ； (2) ； 解：原式＝ ＝ . 数学　八年级下册 (3) ； 解：原式＝ ＝ ＝ . (4) . 解：原式＝ ＝－π. 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.计算： ＝ ( ) A．8 B． C． D．－8 A 数学　八年级下册 2.若 ，则a＋b的值是 ( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 B 数学　八年级下册 3.计算： (1) ＝_______； (2) ＝______． 6 数学　八年级下册 4.化简： (1) ； 解：原式＝62× ＝36×2 ＝72. (2) ； 解：原式＝ ＝ ＝6. 数学　八年级下册 (3) ； 解：原式＝ ＝0.9. (4) . 解：原式＝ . 数学　八年级下册 5.若二次根式 ＝5，则a的值是 ( ) A． B． C．5 D．±5 D 数学　八年级下册 6.化简：(1) ＝________； (2) ＝_________． 7.(RJ八下P5T9·改编)已知 是整数，则自然数n的值为______________________． 17或16或13或8或1 数学　八年级下册 8.(核心素养·应用意识)已知x2＋ ＝10x－25，求x，y的值． 解：∵x2＋ ＝10x－25， ∴x2－10x＋25＋ ＝0， 即(x－5)2＋ ＝0. ∴x－5＝0，y＋1＝0， 解得x＝5，y＝－1. 数学　八年级下册 $