精品解析：广东佛山市顺德区拔萃实验学校2025--2026学年七年级第一次适应性测试 数学

2025学年七年级第一次适应性测试数学 （全卷120分，120分钟内完成） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ）． A. B. 3 C. 9 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，先得出，再根据同底数幂的逆运算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列代数式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； 对于选项B，∵，∴B错误； 对于选项C，∵，∴C错误； 对于选项D，∵，∴D正确． 3. 若，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方法则、负整数指数幂及零指数幂法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 4. 小萃在“春假”期间约同学去顺峰山公园放风筝，觉得特别好玩！如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角，下列角中与构成同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可得，与构成同位角的是． 5. 下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平方差公式为，使用该公式的关键是在两个二项式中找到一组相同项和一组互为相反数的项，结果为相同项的平方减去互为相反数的项的平方． 【详解】解：A选项 原式可整理为 ，两项均相同，不存在互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合要求． B选项 原式可变形为 ，∵相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的形式，∴可以用平方差公式计算，符合要求． C选项 原式中不存在相同项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合要求． D选项 与，与都是互为相反数的项，没有相同的项，不能用平方差公式计算，不符合要求． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 7. 若可以配成一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构对比原式即可求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 与完全平方式对比， ∴， ∴． 8. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角互补和三角形的三个角的和是，可得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ． 9. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ， ，故②符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意． 10. 有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形，的边长分别为a，b，则可得，，利用完全平方公式的变形运用即可求解． 【详解】解：设正方形，的边长分别为a，b， ∵图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12， ∴，， 即， ∴， 则图②所示的大正方形的面积为． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一个角的度数为，则这个角的余角是__________度． 【答案】64 【解析】 【分析】根据余角的定义即可计算求解． 【详解】解: 这个角的度数为， 这个角的余角度数为． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两个因式的乘积与其中一个因式，根据除法的意义，计算得到另一个因式即可. 【详解】解：设所求单项式为，根据题意得：， 即， ∴． 13. 在AI智能芯片的果蝇行为轨迹分析实验中，设备记录到一次微型神经电信号的时长为0.00000084秒将0.00000084用科学记数法表示为__________秒． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式：，确定和的值即可，其中，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：对于，左起第一个非零数字为，可得，第一个非零数字前共有个零，即， 因此． 14. 若，则__________． 【答案】23 【解析】 【分析】把已知等式两边平方，再利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 15. 如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了代数式整体代换思想和三角形面积的特殊求法．长方形和直角三角形面积易得，利用长方形面积减去周围三个直角三角形面积即可求出的面积． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）①； ②利用乘法公式计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①先计算积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，再合并即可；②利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算即可； （2）先计算括号内的整式的乘法运算，再计算多项式除以单项式即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ． 【小问2详解】 解： ， 当，时， 原式． 17. 如图，已知，点在内部． （1）过作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1） 解：作图如下： （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作即可； （2）由平行线的性质及对顶角相等即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作法知， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，，用含的代数式表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为同底数的幂的形式，利用题干提供的结论即可求解； （2）由条件得，再把右边化为2为底的幂的形式，再代入即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 由题目结论知：，解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 整理得：． 【点睛】关键是把不同底数的幂化为同底数的幂． 19. 如图，已知点在上，，，垂足分别为，，点，在上，交于点，，，请说明：．请补全下面的说明过程并在括号内填上推理依据． 解：，， ，（①__________） （等量代换）， （②__________）． （③__________）， （已知）， （④__________）（⑤__________）， ⑥__________（内错角相等，两直线平行）， （已知）， （⑦__________） （⑧__________） 【答案】①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同位角相等；④；⑤等量代换；⑥；⑦同旁内角互补，两直线平行；⑧平行于同一直线的两条直线平行 【解析】 【分析】读懂推理过程，利用平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：，， ，（垂直的定义） （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一直线的两条直线平行）． 20. 阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： （1）小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】（1） （2）或或． 【解析】 【分析】（1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据定义先计算多项式的乘法运算，再分类讨论的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ， 所以平衡因子是； 【小问2详解】 解：∵①，， ②，， ③，， ∵多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式， 当是一组平衡多项式时， ∴，解得：， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得：， 综上：或或． 21. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：__________． （2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1） （2）30秒或110秒 （3）不变； 【解析】 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可求得t的值；当时，根据，可得t的值； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行； 【小问3详解】 解：设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， ∴， 即． 22. 综合与实践． 活动主题 设计一款日常的多功能椅子 素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，顺德家具更是享誉全球． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应、、和，椅腿，可绕连结点转动，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行． 素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行． 素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求． 素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下点与点之间设计成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档，椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 档位 参数 测量数据 舒适档 靠背倾角 椅面倾角 工作档 靠背倾角 椅面倾角 问题解决 （1）根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得，，延长，与地面的夹角为，求__________． （2）根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． （3）根据素材3，4，回答问题： 从舒适档调整为工作档时，椅腿于地面的夹角始终为． ①请用表示舒适档时靠背与椅腿的夹角__________． ②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背需要转过多少度？请说明理由． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 由（1）知，椅子在合拢状态时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （3）①； ②从舒适档调为工作档的过程中，靠背需要转过25度，理由如下： 工作档时如图，已知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴从舒适档调为工作档的过程中，靠背需要转过25度． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质及三角形内角和即可求解； （2）由平行线的性质及三角形内角和即可求解； （3）①根据平行线的性质得到，再根据三角形内角和即可求解； ②求出工作档时的，作差即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图4，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 略 23. 综合与探究 “数形结合”是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 【观察探究】 （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________________； 【拓展应用】根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，，且，求的值； （3）如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【总结反思】 （4）综合以上内容，结合课本知识，谈谈你对“数形结合”的认识，写一篇不少于100字的小短文． 【答案】（1） （2）3 （3）79 （4） 解：数形结合中的数是代数式或等式，形是几何图形，比如完全平方公式，左边是，用一个边长为的正方形的面积表示；右边是，边长为的正方形的面积又可表示为边长分别为与的两个正方形面积，加上两个长与宽分别是与的长方形面积，通过构造正方形得到完全平方公式；如图，构造这么一个正方形，就把三个代数式间的关系表示出来了，这就是“数形结合”的特点，是一种很重要的数学思想与方法． 【解析】 【分析】（1）利用大正方形的面积等于小正方形的面积与四个相同小长方形面积的和，即可求解； （2）利用（1）得到的结论，变形即可求得的值，从而求得； （3）设正方形、正方形的边长分别为a、b，由题意得；易得，由完全平方公式变形即可求解． （4）可根据“数形结合”的特点，结合题中例子进行分析． 【小问1详解】 解：观察图2，大正方形的边长为，阴影部分为小正方形，其边长为，长方形的长和宽分别为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，一个长方形的面积为， 由图知，大正方形的面积等于小正方形的面积与四个相同小长方形面积的和， 即； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形、正方形的边长分别为a、b， ∵的面积等于， ∴，即； ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即正方形和正方形的面积和为79； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年七年级第一次适应性测试数学 （全卷120分，120分钟内完成） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ）． A. B. 3 C. 9 D. 27 2. 下列代数式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 小萃在“春假”期间约同学去顺峰山公园放风筝，觉得特别好玩！如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角，下列角中与构成同位角的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 7. 若可以配成一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 8. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 25 D. 26 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一个角的度数为，则这个角的余角是__________度． 12. 计算：__________． 13. 在AI智能芯片的果蝇行为轨迹分析实验中，设备记录到一次微型神经电信号的时长为0.00000084秒将0.00000084用科学记数法表示为__________秒． 14. 若，则__________． 15. 如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）①； ②利用乘法公式计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，已知，点在内部． （1）过作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线交于点，请直接写出的度数． 18. 在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，，用含的代数式表示． 19. 如图，已知点在上，，，垂足分别为，，点，在上，交于点，，，请说明：．请补全下面的说明过程并在括号内填上推理依据． 解：，， ，（①__________） （等量代换）， （②__________）． （③__________）， （已知）， （④__________）（⑤__________）， ⑥__________（内错角相等，两直线平行）， （已知）， （⑦__________） （⑧__________） 20. 阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： （1）小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 21. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：__________． （2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 22. 综合与实践． 活动主题 设计一款日常的多功能椅子 素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，顺德家具更是享誉全球． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应、、和，椅腿，可绕连结点转动，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行． 素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行． 素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求． 素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下点与点之间设计成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档，椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 档位 参数 测量数据 舒适档 靠背倾角 椅面倾角 工作档 靠背倾角 椅面倾角 问题解决 （1）根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得，，延长，与地面的夹角为，求__________． （2）根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． （3）根据素材3，4，回答问题： 从舒适档调整为工作档时，椅腿于地面的夹角始终为． ①请用表示舒适档时靠背与椅腿的夹角__________． ②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背需要转过多少度？请说明理由． 23. 综合与探究 “数形结合”是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 【观察探究】 （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________________； 【拓展应用】根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，，且，求的值； （3）如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【总结反思】 （4）综合以上内容，结合课本知识，谈谈你对“数形结合”的认识，写一篇不少于100字的小短文． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $