精品解析：广东佛山市顺德区第一中学外国语学校2023-2024学年下学期七年级小达人数学试卷

七年级下第一次数学小达人挑战 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ） A. 10 B. C. 20 D. 2. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A. B. C. D. 3. 将一副三角板按如图放置，点A，C，B共线，直线，则（　　） A. B. C. D. 4. 不论,为任何实数， 的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 5. 设实数满足，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 75 7. 对于数，符号[]表示不大于的最大整数．例如，[3.14]=3，[-7.59]=-8，则关于的方程的整数根有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 若不论取什么实数，关于的方程（、常数）的解总是，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 有一列数：，，…，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子：的值为（ ） A. 6 B. 27 C. －6 D. －27 10. 设有理数都不为0，且，则的值为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定 二、填空题（每题5分，共40分） 11. 将自然数按下列三角形规律排列，则第7行的各数之和是________． 12. 若，，则________． 13. 若，则________． 14. 若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对． 15. 在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 16. 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是 _______cm3. 17. 如图，光线经过平面镜反射时，入射角=反射角．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当是的一半时，________° 18. .设M=2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为_____. 三、解答题（每题10分，共40分） 19. A，B，C，D四个足球队进行循环比赛（即任意两队将要作赛），赛了若干场后，A，B，C三队的比赛情况如下： 场数 胜 负 平 入球 失球 A队 2 0 2 0 3 6 B队 2 1 0 1 4 3 C队 3 2 0 1 2 0 D队（答案）： 请在以上空格处填入正确的数字． 20. 问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 21. 对于任意一个三位数，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数为“桃园数”．例如：，因为，所以112是“桃园数”；，因为，所以253不是“桃园数”； （1）判断459，615是否是“桃园数”？说明理由； （2）对于“桃园数”，去掉个位上的数字得到的两位数记为，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为，若能被24整除，求所有的． 22. 多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算， 可用竖式除法如图： 所以除以， 商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空）： （1）________； （2）能被整除，则________，________． （3）被除后的余数是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下第一次数学小达人挑战 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知kx为二倍底数乘积，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴kx＝±2×2x×5＝±20x， ∴k＝±20， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解． 2. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、， ，故不符合题意； B、当时，无法判断，故符合题意； C、，，故不符合题意； D、，，故不符合题意； 故选：B． 3. 将一副三角板按如图放置，点A，C，B共线，直线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点G，根据题意可得，进而可得，进而根据平行线的性质以及三角板中的角度计算即可求解． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 不论,为任何实数， 的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 【答案】A 【解析】 【详解】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3， 不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3， 故选A. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式． 5. 设实数满足，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，幂的乘方逆运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ，，， ． 故选：C． 6. 已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，原式，不是常数； （2）当时，原式，不是常数； （3）当时，原式，不是常数； （4）当时，原式，不是常数； （5）当时，原式，不是常数； （6）当时，原式，不是常数； （7）当时，原式，不是常数； （8）当时，原式，不是常数； （9）当时，原式，不是常数； （10）当时，原式，不是常数； （11）当时，原式，是常数； （12）当时，原式，不是常数； （13）当时，原式，不是常数； （14）当时，原式，不是常数； （15）当时，原式，不是常数； （16）当时，原式，不是常数． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是弄清绝对值的性质以及具有分类讨论的意识． 7. 对于数，符号[]表示不大于的最大整数．例如，[3.14]=3，[-7.59]=-8，则关于的方程的整数根有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由可得4≤＜5，解不等式组求出x的整数解即可得答案． 【详解】∵符号[x]表示不大于x的最大整数，， ∴4≤＜5， 去分母得：28≤3x+7＜35 解得：7≤x＜， ∴不等式组的整数解有7、8、9，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解符号[x]的定义，正确列出不等式组是解题关键． 8. 若不论取什么实数，关于的方程（、常数）的解总是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入中，化简得到，因为原方程解总是，k的值对方程没有影响，所以得到，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解总是 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故选：A 【点睛】本题考查方程的解的意义，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键． 9. 有一列数：，，…，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子：的值为（ ） A. 6 B. 27 C. －6 D. －27 【答案】A 【解析】 【分析】本题可分别求出、3、时的情况，观察它是否具有周期性，再把2021代入求解，再将化解为，进行求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，； 周期为3； ， 所以， 即， ， ， ， 当时， 原式， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了找规律的题目，求代数式的值，解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键． 10. 设有理数都不为0，且，则的值为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由，则，然后代入化简即可得出答案． 【详解】解：由，则， 代入： = = ． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，难度一般，关键是把分别变形为的形式． 二、填空题（每题5分，共40分） 11. 将自然数按下列三角形规律排列，则第7行的各数之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得第行最后一个数为，第一个数为，则第7行的最后一个数为，第一个数为，求和即可． 【详解】解：由图知， 第1行数字为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， 第4行最后一个数为， ∴第行最后一个数为，第一个数为， ∴第7行的最后一个数为，第一个数为， ∴第7行的各数之和是：． 12. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：，， ， ∴，即， ． 13. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题利用赋值法，令，代入已知等式，等式右边即为所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令代入原式， ， 整理得：， ∴． 14. 若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对． 【答案】24 【解析】 【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可． 【详解】解：如图所示 观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对．B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角．C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对．D和E有2对；D和F有2对．E和F有2对．共有2×12=24对． 故答案是：24． 【点睛】本题主要考查三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键． 15. 在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【解析】 【分析】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【详解】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 16. 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是 _______cm3. 【答案】60 【解析】 【分析】结合图形，知水的体积不变，从而根据第二个图空着的部分的高度是2cm，可以求得水与空着的部分的体积比为4：2=2：1．结合第一个图中水的体积，即可求得总容积． 【详解】解：由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7-5=2（cm）， 从而水与空着的部分的体积比为4：2=2：1． 由第一个图知水的体积为10×4=40， 所以总的容积为40÷2×（2+1）=60（cm3）． 故答案为60. 【点睛】此题的关键是有理数混合运算的应用，能够有机地把两个图形结合起来，求得水与空着的部分的体积比． 17. 如图，光线经过平面镜反射时，入射角=反射角．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当是的一半时，________° 【答案】 【解析】 【分析】利用光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，所以，根据三角形内角和定理可知，则可求；在四边形中，利用四边形内角和为，且列方程计算即可． 【详解】解：如图： 根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等， ∴， ∴，， ， ， ， 在四边形中， ，， ， ， ． 18. .设M=2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为_____. 【答案】5 或 14或-10 【解析】 【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可． 【详解】解：2n是乘积二倍项时2n+28+1=28+2•+1=， 此时n=4+1=5， 28是乘积二倍项时，2n+28+1 =2n+2•+1=（27+1）2， 此时n=2×7=14， 1是乘积二倍项时，2n+28+1 =（24）2+2•24•2-5+（2-5）2=（24+2-5）2， 此时n=-10， 综上所述，n可以取到的数是5、14、-10， 故答案为5，14，-10 【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键． 三、解答题（每题10分，共40分） 19. A，B，C，D四个足球队进行循环比赛（即任意两队将要作赛），赛了若干场后，A，B，C三队的比赛情况如下： 场数 胜 负 平 入球 失球 A队 2 0 2 0 3 6 B队 2 1 0 1 4 3 C队 3 2 0 1 2 0 D队（答案）： 请在以上空格处填入正确的数字． 【答案】 场数 胜 负 平 入球 失球 A队 2 0 2 0 3 6 B队 2 1 0 1 4 3 C队 3 2 0 1 2 0 D队（答案）： 3 1 2 0 8 8 【解析】 【分析】根据循环比赛规则，总胜场等于总负场，总平场数为偶数，所有队总进球等于总失球，结合已知A、B、C三队的数据，逐步推导各队对阵情况和比分，得到D队的数据. 【详解】根据题意，A、B、C三队3胜2负，则D队胜的场数比负的场数少1， 故D队比了1场或3场， 又平的场数为偶数，故D队平0场， C队比了3场，与A队比胜，A队与C队比分为，与B队比平，比分为， 若D队比了1场，只能是和C队，且D负C胜，且C队与D队比分为， 则A队与B队比，A队负B队胜，比分为， 综上，A队与B队比失球4个，与C队比失球1个，共个，与题干矛盾； 若D队比了3场，则胜1场负2场， 故A队与C队比，比分为，A队失球1个， A队与D队比，A队入球3个，失球个，D队入球5个，失球3个， B队与C队比，比分为， B队与D队比，B队入球4个，失球3个，D队入球3个，D队失球4个， C队与D队比，比分为，D失球1个， 综上，D队入球失球个， 故D队场数：3，胜：1，负：2，平：0，入球：8，失球：8． 20. 问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 【答案】问题情境； 问题情境2:； （1）； （2）如图5，，理由是： 设，，则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 问题情境1：过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得出：； 问题情境2：过点作，再由平行线的性质即可得出结论； ②，③根据①中的方法可得出结论； 问题迁移： （1）如图4，根据角平分线定义得：，，由问题情境1得：，再根据四边形的内角和可得结论； （2）设，，则，，，，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论； （3）同（2）将3倍换为倍，同理可得结论． 【详解】解：问题情境 如图2，，理由是： 过作， ，， ∴， ，， ， 即， 故答案为：； 问题情境2： 如图3，，理由是： 过点作， ∵， ∴， ，， ， 即； 故答案为：； 问题迁移： （1）如图4，、分别是和的平分线， ，， 由问题情境1得：， ， ， ， ； （2）略 （3）如图5，设，， 则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 21. 对于任意一个三位数，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数为“桃园数”．例如：，因为，所以112是“桃园数”；，因为，所以253不是“桃园数”； （1）判断459，615是否是“桃园数”？说明理由； （2）对于“桃园数”，去掉个位上的数字得到的两位数记为，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为，若能被24整除，求所有的． 【答案】（1）459是“桃园数”， 615不是“桃园数” （2）P的值为314、336、358、628 【解析】 【分析】（1）根据“桃园数”定义判断即可； （2）设“桃园数”的百位上的数字是a，十位上的数字是b，表示出p、m、n判断即可． 【小问1详解】 因为，所以459是“桃园数”； 因为，所以615不是“桃园数”； 【小问2详解】 设“桃园数”的百位上的数字是a，十位上的数字是b，则个位上的数字是， ∴ ∴ ∵能被24整除， ∴是6的倍数 ∴a、b同是偶数或同是奇数，且a是3的倍数 ∵a、b、a+b分别在百位、十位、个位上 ∴ ∴或6或9 当时，，此时b的值可以是1、3、5 对应的P的值为314、336、358； 当时，，此时b的值可以是2 对应的P的值为628； 当时，，由于，此时b不存在 综上，P的值为314、336、358、628． 【点睛】本题考查新定义运算，理解“桃园数”的定义并正确的设未知数表示各个数是解题的关键． 22. 多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算， 可用竖式除法如图： 所以除以， 商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空）： （1）________； （2）能被整除，则________，________． （3）被除后的余数是多少？ 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用竖式计算即可； （2）列竖式计算，根据整除后竖式计算结果为零，得到二次项系数，一次项系数，常数项合并为零，从而得到方程求解即可； （3）列竖式计算，可得余式为，化简即可得余式为1． 【小问1详解】 解：利用竖式计算： 【小问2详解】 解：利用竖式计算： 则且， 解得： ， 把代入即得： 解得； 【小问3详解】 解：利用竖式计算： 余式为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $