甘肃张掖市第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 该试卷覆盖高一下学期向量、解三角形、统计与复数等核心知识，通过动态几何（矩形动点向量）、文明城市竞赛统计分析等情境化问题，检测数学思维与数据应用能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量投影、百分位数、复数几何意义|第8题矩形动态向量问题，发展几何直观| |多选题|3/18|向量共线判定、解三角形多解性|第11题结合三角形边角关系，考查推理能力| |填空题|3/15|随机数表抽样、向量分解|第12题实际抽样情境，培养数据意识| |解答题|5/77|分层抽样、角平分线计算、条件开放题|第16题统计直方图分析关联现实问题，第19题三选一条件设计，提升创新意识|

2025—2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷参考答案 1．【答案】D【详解】，即，则. 2．【答案】D 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19，所以众数与第60百分位数之和为. 3．【答案】A 【详解】由于，，所以，解得， 所以，，则，所以.故选：A. 4．【答案】B 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影为：.故选：B 5．【答案】D 【详解】由，得，所以，解得， 所以. 6．【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 7．【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 8．【答案】D 【详解】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 9．【答案】ABD 【分析】先化简，再计算即可； 【详解】 选项A：，故正确； 选项B：，故正确； 选项C：，实部为，虚部为，故错误； 选项D：在复平面对应坐标为，在第四象限，故正确； 故选:ABD 10.【答案】BD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，若，不一定平行，故A错； 对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且， 故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可得，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确 故选：BD 11．【答案】BCD 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 12．【答案】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 13．【详解】如图： 因为，，所以，. ， 所以，，所以. 14.【详解】由题意，. 15．【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； 16．【答案】(1)； (2)众数、平均数分别为； (3). 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为， 可得，解得. （2）由频率分布直方图可得众数等于最高小矩形中点横坐标； 样本平均数为. 即样本成绩的众数为，平均数为. （3）先计算三组数据的频数： 对于：，：， 又：， 三组频数比为，抽取个样本时， 则的抽取个数为：. 即成绩在分的应抽取份. 17．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解； （2）利用面积方法和三角形的面积公式计算. 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 18．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解； （2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，，所以， 所以； （2） ， 又，所以. 19．【答案】(1)选①②③，答案均为 (2) 【详解】（1）选①，由， 可得， 因为及正弦定理，可得， 所以，整理得， 则，因为，所以； 选②，由，可得， 即， 因为，可得，所以，即； 选③，由，由正弦定理得， 即， 即， 整理得， 因为，可得， 即，因为，所以. （2）由，可得， 故， 所以周长， 又由，可得， ， 又因为是锐角三角形，所以， 即，解得， 可得，所以， 所以， 所以的周长的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中考试请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡班级： 姓名： 考场号： 座位号： ┌ ┐ 贴条码区域 └ ┘ 注意事项： 1、选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂:$ 错误填涂:%^&* 缺考标记:` 第一部分 客观题（请用2B铅笔填涂） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 12 A B C D 三、填空题 （12） （13） （14） 此区域禁止答题 此区域禁止答题 四、解答题 15．（13分） 16．（15分） 17．（15分） 19．（17分） 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中考试试卷 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．1 B． C． D． 2．一组数据为10，14，16，16，19，20，40，50，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 3．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C． D．10 4．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影为（    ） A． B． C． D． 5.已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 6．已知，，....，的平均数为3，标准差为2，则，，.....，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 7．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（    ） A．的共轭复数 B． C．复数的实部与虚部相等 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 10.下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 11．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（   ） A．若为钝角三角形，则 B．若，则 C．若，，，则有两解 D．，则为等腰三角形或直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 13．在中，点满足．若，则_______. 14．若，则__________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。 15（13分）．设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若，求向量与的夹角的余弦值； 16（15分）．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数和平均数； (3)若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？ 17．（15分）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 18．（17分）若，，且，． (1)求和； (2)求及． 19．（17分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. (1)求； (2)若，求锐角的周长的取值范围. 期中试卷·数学 第1页，共4页 期中试卷·数学 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $