21.3.3 正方形 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形 数学　八年级下册 第1课时　正方形的性质 数学　八年级下册 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 性质：正方形既是矩形又是菱形，所以它具有矩形、菱形的所有性质 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD. ∴△BCO是等腰直角三角形． (RJ八下P76例5·改编)如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△BCO是等腰直角三角形． 数学　八年级下册 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°. ∴BC＝ . ∴这块场地的面积为( )2＝800(m2)， 对角线的长为 ＝40(m). (RJ八下P76T2)如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB 上取了一点E，EC＝30 m，EB＝10 m．这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 数学　八年级下册 如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AF，AE，EA⊥AF.求证： DE＝BF. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°. ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABF＝90°＝∠D. ∵EA⊥AF， ∴∠BAE＋∠BAF＝90°. ∴∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF(ASA).∴DE＝BF. 数学　八年级下册 如图，在正方形ABCD中，E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F，BF与边CD相交于点G.求证：CG＝CE. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCG＝90°. ∴∠DCE＝90°＝∠BCG. 又∵BF⊥DE， ∴∠E＋∠CBG＝∠E＋∠CDE＝90°. ∴∠CBG＝∠CDE. 在Rt△BCG和Rt△DCE中， ∴Rt△BCG≌Rt△DCE(ASA).∴CG＝CE.　 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm，得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D′，B之间的距离为 ( ) A. 1 cm B．2 cm C． cm D． cm C 数学　八年级下册 2.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O. (1)若边长为4，则对角线长为_____，面积为______； (2)图中等腰三角形有____________________________ _________________________________________． 16 △AOB，△BOC，△COD， △AOD，△ABC，△BCD，△ACD，△ABD 数学　八年级下册 3.(RJ八下P76T2·改编)如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC＝50 m，EB＝30 m．这块正方形场地的面积为　__________，对角线长为________． 1 600 m2 数学　八年级下册 4.如图，正方形ABCD的边长为3，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF＝1∶2时，则PC＝ ( ) A． B．2 C． D． C 数学　八年级下册 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°. ∴∠DCM＝90°. ∵G，E分别是边AB，BC的中点， ∴AG＝BG＝BE＝EC. ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， 5. (RJ八下P88T15)如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF. 证明：如图，取AB的中点G，连接EG. 数学　八年级下册 ∴∠AGE＝135°. ∵CF为正方形ABCD的外角平分线， ∴∠DCF＝ ∠DCM＝45°. ∴∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝90°＋45°＝135°. ∴∠AGE＝∠ECF. ∵∠B＝∠AEF＝90°， ∴∠GAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°. ∴∠GAE＝∠CEF. 在△AGE和△ECF中， ∴△AGE≌△ECF(ASA). ∴AE＝EF. 数学　八年级下册 6.(创新意识·核心素养)如图，四边形OABC是正方形，边长为4，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(1，0)，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为_______． 数学　八年级下册 第2课时　正方形的判定 数学　八年级下册 判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形 判定2：有一个内角是直角的菱形是正方形 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∵CF⊥AD，AE⊥BC， ∴∠BCF＝∠AFC＝∠DAE＝∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是矩形． 又∵AE＝CE， ∴四边形AECF是正方形． 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE＝CE.求证：四边形AECF是正方形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°. ∴∠ABF＝90°＝∠D， ∠DAE＋∠BAE＝90°. ∵AF⊥AE， ∴∠BAF＋∠BAE＝90°. 如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AE，AF，已知BF＝DE，AF⊥AE.求证：四边形ABCD是正方形． 数学　八年级下册 ∴∠BAF＝∠DAE. 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE(AAS). ∴AB＝AD. ∴四边形ABCD是正方形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠DAB＝90°. ∴四边形ABCD是正方形． 如图，在菱形ABCD中，AC＝DB.求证：四边形ABCD是正方形． 数学　八年级下册 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD. ∵BE＝DF， ∴OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形． ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°.∴四边形AECF是正方形．　 如图，在菱形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE⊥AF，BE＝DF.求证：四边形AECF是正方形． 证明：如图，连接AC交BD于点O. 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是 ( ) A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC A 数学　八年级下册 2.如图，在矩形ABCD中，添加一个条件：___________ __________________，可使四边形ABCD是正方形． AB＝ AD(答案不唯一) 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. ∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠EAB＝ ∠DAB＝45°， ∠EBA＝ ∠ABC＝45°. 3.(RJ八下P81T14·改编)如图，矩形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形HEFG是正方形． 数学　八年级下册 ∴∠AEB＝90°，AE＝EB. ∴∠HEF＝90°. 同理可得∠H＝∠F＝90°. ∴四边形HEFG为矩形． 易得△AFD与△BHC为等腰直角三角形， ∴AF＝DF＝ AD，BH＝CH＝ BC. ∴BH＝AF. ∴BH－BE＝AF－AE，即EH＝EF. ∴四边形HEFG是正方形． 数学　八年级下册 4.(创新意识·核心素养)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BO上的一个动点，连接CP，作PE⊥CP，交AB的延长线于点E，以PC和PE为邻边作▱PEFC，对角线CE，PF相交于点G. (1)连接OG，若OG＝m，则AE＝______(用含m的代数 式表示)； 2m 数学　八年级下册 ∴∠PNB＝∠PME＝∠PNC＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，BD垂直平分AC. ∴PC＝PA，四边形PMBN是矩形，PM＝PN. ∴∠MPN＝90°. ∴∠EPM＋∠EPN＝90°. (2)求证：AP＝PE； (2)证明：如图，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N， 数学　八年级下册 ∵PE⊥CP， ∴∠CPN＋∠EPN＝90°. ∴∠CPN＝∠EPM. 在△CPN和△EPM中， ∴△CPN≌△EPM(ASA). ∴PC＝PE. ∵PC＝PA，∴AP＝PE. 数学　八年级下册 (3)解：由(2)得，四边形PMBN是矩形，PM＝PN， ∴四边形PMBN是正方形， ∴MB＝BN＝PM，∠PBM＝∠MPB＝45°. 设MB＝BN＝PM＝x，则PB＝ x. ∵P为OB的中点， ∴PO＝PB＝ x. ∴OB＝OA＝ x. (3)若P为OB的中点，求 的值． 数学　八年级下册 ∴AB＝ ＝4x. ∴AM＝AB－MB＝4x－x＝3x. ∵AP＝PE，PM⊥AB， ∴ME＝AM＝3x. ∴BE＝ME－MB＝3x－x＝2x. ∴ . 数学　八年级下册 $