21.3.2 菱形 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.2 菱形 数学　八年级下册 第1课时　菱形的性质 数学　八年级下册 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质：除具有平行四边形的性质还具有如下性质： ①菱形的四条边都相等； ②每一条对角线平分一组对角(菱形是轴对称图形)； ③菱形的两条对角线互相垂直 数学　八年级下册 菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半． 根据下图填一填： 数学　八年级下册 (1)已知菱形ABCD的周长是20 cm，那么它的边长是____cm； (2)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则∠BAC＝____°； (3)菱形ABCD的两条对角线长分别为24 cm和10 cm，则菱形的边长是_____cm，周长是_____cm. 5 60 13 52 数学　八年级下册 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB，∠BCD＝2∠ACD＝60°. ∴∠ABC＝180°－∠BCD ＝180°－60° ＝120°. (RJ八下P73例3·改编)如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6.(1)求∠ABC的度数； 数学　八年级下册 解：(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴AC⊥BD，BO＝DO＝3，AO＝CO. ∵∠ACD＝30°， ∴CD＝2DO＝6. ∴CO＝ . ∴AC＝2CO＝ . ∴菱形ABCD的面积为 . (2)求AC的长和菱形ABCD的面积． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C. 又∵AM＝CN， ∴△DAM≌△DCN(SAS). ∴DM＝DN. ∴∠DMN＝∠DNM. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB和BC上的点，且AM＝CN.求证：∠DMN＝∠DNM. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCE＝∠DCE，BC＝DC，AB∥CD. ∴∠AFD＝∠CDE. 又∵CE＝CE， ∴△BCE≌△DCE(SAS). ∴∠CBE＝∠CDE. ∴∠AFD＝∠CBE.　 如图，四边形ABCD是菱形，F是边AB上一点，DF交AC于点E.求证：∠AFD＝∠CBE. 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为6和8，则菱形的周长为_____；面积为_____． 20 24 数学　八年级下册 2.已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为 ( ) A．24 B．47 C．48 D．96 D 数学　八年级下册 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两顶点A，B的坐标分别是(3，0)，(0，2)，则菱形ABCD的周长是________． 数学　八年级下册 解：(1)由题意知，四边形ABCD是菱形，边长为4 cm， ∴AB＝BC＝4 cm，AC⊥BD， OA＝OC，OB＝OD. ∵∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝ ∠BAD＝60°. ∴△ABC是等边三角形． 4.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠BAD＝120°，对角线AC，BD相交于点O.求： (1)菱形的两条对角线长； 数学　八年级下册 ∴AC＝AB＝4 cm. ∴AO＝ AC＝2 cm. 在Rt△AOB中， BO＝ (cm). ∴BD＝2BO＝ cm. ∴菱形的两条对角线长分别为4 cm， cm. 数学　八年级下册 解：(2)菱形的面积＝ (cm2). (2)菱形的面积． 数学　八年级下册 5.(创新意识·核心素养)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，DB＝8，过点A作AE⊥BC于点E. (1)AE的长为________； 数学　八年级下册 ∴AE∥DF，∠AEF＝90°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝5，AD∥BC. ∴四边形AEFD为矩形． ∴EF＝AD＝5. ∴四边形AEFD的面积＝AE·EF＝24. (2)过点D作DF⊥BC，垂足为F，求四边形AEFD的面积． 解：(2)如图，∵AE⊥BC，DF⊥BC， 数学　八年级下册 6.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合． (1)求证：不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有 BE＝CF； 数学　八年级下册 ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝60°，AB＝BC，AB∥CD. ∴△ABC为等边三角形． ∴AB＝AC. ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝60°，AE＝AF. ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC. ∴∠BAE＝∠CAF. ∴△ABE≌△ACF(ASA).∴BE＝CF. (1)证明：如图，连接AC. 数学　八年级下册 (2)解：四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化． 由(1)得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值． (2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 数学　八年级下册 ∴∠BAH＝30°， ∴BH＝ AB＝2. ∴AH＝ . ∴S四边形AECF＝S△ABC＝ . ∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF. 如图，过点A作AH⊥BC 于点H. 数学　八年级下册 ∴△CEF的周长为CE＋CF＋EF＝CE＋BE＋EF＝BC＋EF＝BC＋AE. 由“垂线段最短”可知，当等边三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△CEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长最小， 为 . 数学　八年级下册 第2课时　菱形的判定 数学　八年级下册 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形． 数学　八年级下册 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. ∴∠EAD＝∠EDA. ∴EA＝ED. ∴四边形AEDF是菱形． 数学　八年级下册 证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝ BD，OC＝ AC，AC＝BD. ∴OD＝OC. ∴四边形OCED是菱形． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点D，C作AC，BD的平行线交于点E.求证：四边形OCED是菱形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6. ∵OA2＋OB2＝82＋62＝100＝102＝AB2， ∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形． 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝10，OC＝8，OD＝6.求证：▱ABCD是菱形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵DE＝BF， ∴AE＝CF. 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形． 如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形． 数学　八年级下册 证明：∵△ABC和△ADC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， AC＝AD＝CD. ∴AB＝BC＝AD＝CD. ∴四边形ABCD是菱形． 如图，两个等边三角形拼在一起．求证：四边形ABCD是菱形． 数学　八年级下册 证明：∵AC，BD互相垂直平分， ∴AB＝CB＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形． (RJ八下P75T1)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分，求证：四边形ABCD是菱形． 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD：①画2个单位长度的线段AC；②以点A，C为圆心，2个单位长度为半径画弧，分别交于点B，D；③连接AB，BC，CD，DA，BD，则∠CBD的度数是_____． 30° 数学　八年级下册 2.(RJ八下P75T2·改编)如图，将两张等宽且对边平行的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 数学　八年级下册 解：四边形ABCD是菱形．理由如下： ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴∠AEB＝∠CFB＝90°. 又∵AE＝CF，∠ABE＝∠CBF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(AAS). ∴AB＝BC.∴四边形ABCD是菱形． 如图，过A，C两点分别作AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F. 数学　八年级下册 3. (RJ八下P74例4·改编)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形． 数学　八年级下册 证明：在矩形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠AEF＝∠CFE. ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF(AAS). ∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形． 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， E，F分别为边AB，CD的中点， ∴AD＝CB，AB＝CD，∠DAE＝∠C，AE＝ AB， CF＝ CD. ∴AE＝CF.∴△ADE≌△CBF(SAS). 4.(创新意识·核心素养)如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BD，BF，AG∥DB交CB的延长线于点G. (1)求证：△ADE≌△CBF； 数学　八年级下册 (2)证明：∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴BE＝ AB，DF＝ CD. 又∵AB＝CD，∴BE＝DF. 又∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB＝90°. ∴DE＝ AB＝BE.∴四边形BEDF是菱形． (2)若四边形AGBD是矩形，求证：四边形BEDF是菱形； 数学　八年级下册 (3)若AD＝4，CD＝8，四边形BEDF是菱形，则四边形AGCD的面积为_______． (3)解：∵AD∥CB，AG∥DB， ∴四边形AGBD是平行四边形． ∴BG＝AD＝CB＝4. ∴CG＝BG＋CB＝4＋4＝8. ∵四边形BEDF是菱形，E为AB的中点， ∴DE＝BE＝AE. ∴∠EDB＝∠EBD，∠EDA＝∠EAD. 数学　八年级下册 ∴∠ADB＝∠EDB＋∠EDA＝∠EBD＋∠EAD. ∴∠ADB＋∠EBD＋∠EAD＝2∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝90°. ∴∠DBC＝90°. ∵CD＝8， ∴BD＝ . ∴S四边形AGCD＝ . 故答案为 . 数学　八年级下册 $