21.3.1 矩形课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

21.3.1 矩形 数学　八年级下册 矩形的性质 数学　八年级下册 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 性质：矩形除具有平行四边形的性质，还具有四个角都是直角，对角线相等这两个特殊性质 数学　八年级下册 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. 在△ABC和△DCB 中， ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC＝DB. 【推导】如图，四边形ABCD是矩形，对角线 AC 与 DB 相交于点O.求证：AC＝DB. 数学　八年级下册 如图，在矩形ABCD中，延长BC到点E，延长CB到点F，使BF＝CE，AE，DF交于点G.求证： GE＝GF. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵BF＝CE， ∴BF＋BC＝CE＋BC. ∴CF＝BE. 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF(SAS). ∴∠E＝∠F.∴GE＝GF. 数学　八年级下册 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， OA＝ AC，OB＝ BD＝4， ∴OA＝OB. 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形． ∴AB＝OB＝4. (RJ八下P69例1·改编)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝8，求AB的长． 数学　八年级下册 (RJ八下P70T1·改编)一个矩形的一条对角线长为20，两条对角线相交所成的角中有一个为120°.求这个矩形的面积． ∴∠AOB＝60°，AC＝BD，OA＝OC， OB＝OD，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB＝ AC＝10. ∴△AOB是等边三角形． ∴AB＝OA＝10.∴BC＝ . ∴S矩形ABCD＝BC·AB＝ . 解：如图，在矩形ABCD中， ∠AOD＝120°，AC＝20. 数学　八年级下册 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 数学　八年级下册 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，若BD＝6 cm，则AC＝_______cm. 12 数学　八年级下册 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两条直角边BC和AC的边长分别为6和8，则斜边AB上的中线CD的长为_______． 5 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.如图，在△ABC中，AC⊥BC，D是边AB的中点，BD＝4，则CD的长为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．8 B 数学　八年级下册 2.写出一条矩形特殊于平行四边形的性质：　____________________________． 3.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD的度数是_______． 两条对角线相等(答案不唯一) 35° 数学　八年级下册 解：是．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AC＝BD. 又∵AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴AC＝DE. ∴BD＝DE. ∴△DBE是等腰三角形． 4.(RJ八下P70T2)如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？试说明理由． 数学　八年级下册 5.如图，矩形ABCD的面积为128 cm2，对角线AC，BD相交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，……依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为 ( ) A. 1 cm2 B．4 cm2 C．64 cm2 D．512 cm2 B 数学　八年级下册 解：∵BF，CE是△ABC的高， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°. ∵D是△ABC的边BC上的中点， ∴DE＝ BC，DF＝ BC. ∴DE＝DF. 又∵H是FE的中点，∴DH⊥EF. 6.如图，D是△ABC的边BC上的中点，BF，CE是△ABC的高，连接FE，H是FE的中点，试说明DH⊥EF. 数学　八年级下册 7.(面积法·思想方法)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC，BD相交于点O，P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为 ( ) A.　　 　 B． C． 　 　 D． C 数学　八年级下册 矩形的判定 数学　八年级下册 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，F在边CD上，CF＝AE，连接BF.求证：四边形BFDE是矩形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵CF＝AE， ∴DF＝BE. 又∵DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°. ∴四边形BFDE是矩形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，即AF∥ED. 又∵DF∥EA， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵AE⊥DC， ∴∠E＝90°. ∴四边形AEDF是矩形． 如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F.求证：四边形AEDF是矩形． 数学　八年级下册 解：它是一个矩形．理由如下： ∵两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形． (RJ八下P70情境·改编)如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别相等的前提下，若测量出对角线AC，BD的长度相等，它是一个矩形吗？为什么？ 数学　八年级下册 解：它是一个矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD. ∵∠1＝∠2，∴OB＝OC. ∴AO＝OC＝BO＝OD.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． (RJ八下P78T1)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2.它是一个矩形吗？为什么？ 数学　八年级下册 ∴∠CAB＝ ∠MAB， ∠CBA＝ ∠NBA，∠DAB＝ ∠PAB. ∵a∥b， 如图，A，B分别为直线a，b上任意一点，并且a∥b，连接AB，分别作两组同旁内角的平分线，分别相交于点C，D，求证：四边形ACBD是矩形． 证明：如图，∵AC，BC，AD分别平分∠MAB，∠NBA，∠PAB， 数学　八年级下册 ∴∠MAB＋∠NBA＝180°. ∴∠CAB＋∠CBA＝ (∠MAB＋∠NBA)＝90°. ∴∠C＝90°. ∵∠PAB＋∠MAB＝180°， ∴∠CAB＋∠DAB＝90°， 即∠CAD＝90°.同理∠D＝90°. ∴四边形ACBD是矩形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD， ∴∠HBC＝ ∠ABC，∠HCB＝ ∠BCD. (RJ八下P71例2·改编)如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形． 数学　八年级下册 ∴∠HBC＋∠HCB＝ (∠ABC＋∠BCD) ＝ ×180° ＝90°. ∴∠H＝90°. 同理∠AEB＝∠F＝90°. ∴∠HEF＝∠AEB＝90°. ∴四边形EFGH是矩形． 数学　八年级下册 数学　八年级下册 1.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 ( ) A 数学　八年级下册 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是______________________． BD＝EF(答案不唯一) 数学　八年级下册 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E是边CD的中点，∴DE＝CE. ∵△ABE是等边三角形， ∴EA＝EB.∴△ADE≌△BCE(SSS). ∴∠D＝∠C. ∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°. ∴∠D＝90°. ∴四边形ABCD是矩形． 3.如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，△ABE是等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形． 数学　八年级下册 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE. 又∵∠AEF＝∠DEB， 4.(RJ八下P71T3)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. 求证：四边形ADCF是矩形． 数学　八年级下册 ∴△FAE≌△BDE(AAS). ∴AF＝BD. ∵D是线段BC的中点， ∴BD＝CD. ∴AF＝CD. 又∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠ADC＝90°. ∴四边形ADCF是矩形． 数学　八年级下册 证明：∵AP，AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线， ∴∠CAD＝ ∠NAC，∠CAB＝ ∠MAC. 又∵∠NAC＋∠MAC＝180°， ∴∠CAD＋∠CAB＝ (∠NAC＋∠MAC)＝90°， 即∠BAD＝90°. ∵CB⊥AQ，CD⊥AP， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°＝∠BAD. ∴四边形ABCD是矩形． 5.如图，A是直线MN上一点，AP，AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线，CB⊥AQ于点B，CD⊥AP于点D.求证：四边形ABCD是矩形． 数学　八年级下册 6.(创新意识·核心素养)如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝ ，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC 于点Q，则PQ的最小值为 ( ) A． B． C． D． B 数学　八年级下册 $