山东淄博市淄川区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制）

山东省淄博市淄川区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）。 1．（4分）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）如图，在矩形AOBC中，点C的坐标为（1，3），则AB的长为（　　） A．3 B． C． D．4 3．（4分）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）若，则m与n的值不可能是（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝8，n＝2 C． D．， 5．（4分）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 6．（4分）已知菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D． 7．（4分）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个数为x，则可得方程为（　　） A．x（x﹣2）＝168 B．x（x+2）＝168 C．x（x﹣1）＝168 D．（2x﹣1）（2x+1）＝168 8．（4分）下列关于x的方程必有实数根的是（　　） A．x2+mx+6＝0 B．x2+6x+m＝0 C．x2+mx﹣6＝0 D．x2+6x﹣m＝0 9．（4分）如图，这是一块面积为120m2的矩形空地，已知该空地的长宽之比为3：2，现要在空地的四角开发面积均为5m2的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（　　） A．100m2 B．75m2 C．40m2 D．20m2 10．（4分）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+2（m+1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．且m≠±2 B．m≠±2 C． D． 11．（4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．8cm 12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH的四个顶点均在正方形ABCD的边上．已知AE＝a，AF＝b，若，则|b﹣a|等于（　　） A． B． C． D． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）。 13．（4分）写出一条菱形具有而矩形不具有的性质　 　 ． 14．（4分）等式“”中，括号内应填入 　 　 ． 15．（4分）方程（x﹣2）2＝2025的较小实数根为　 　 ． 16．（4分）已知实数a，b满足，则关于x的方程x2+ax+b＝0根的情况是：　 　 ． 17．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝4a，点E在BC上，BE＝2a，∠BAD＝120°，点P是BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为　 　 ． 18．（4分）如图是6×6的正方形网格，已知小正方形的边长为1，则格点△ABC边AB上的高是　 　 ． 19．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF的值为 　 　 ． 20．（4分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为　 　 ． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）。 21．（18分）（1）计算： ①； ②（2）（）﹣（）2； （2）已知，，求x2+xy+y2的值； （3）若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值． 22．（18分）解方程： （1）3（x+2）2﹣9＝0（直接开平方法）； （2）2x2+3x+1＝0（配方法）； （3）5t2﹣1＝﹣3t（求根公式法）． 23．（7分）如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 24．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，过点A作直线AM∥CD，过点C作直线CN∥AB，两直线AM，CN相交于点E．试判断四边形ADCE的形状，并加以证明．（自己画图并完成解答） 25．（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 26．（12分）如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，点P是BC边上一动点，且PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F． （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明； （2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，PEMF变为正方形，并证明． 山东省淄博市淄川区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 1、 精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D A A C A C C D B D 1．（4分）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、﹣16＜0，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、x2≥0，x2+2＞0，所以是二次根式，故此选项符合题意； D、当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 2．（4分）如图，在矩形AOBC中，点C的坐标为（1，3），则AB的长为（　　） A．3 B． C． D．4 【分析】根据勾股定理求出OC，根据矩形的性质得出AB＝OC，即可得出答案． 【解答】解：连接OC，AB，过C作CM⊥x轴于M， ∵点C的坐标是（1，3）， ∴OM＝1，CM＝3， 由勾股定理得：OC， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC， ∴AB， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AB＝OC是解此题的关键． 3．（4分）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的加减法则计算并判断即可． 【解答】解：与不是同类二次根式，无法运算，则A不符合题意， 6与6不是同类二次根式，无法运算，则B不符合题意， 2（1）＝22，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（4分）若，则m与n的值不可能是（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝8，n＝2 C． D．， 【分析】把m、n的值分别代入化简计算即可判断． 【解答】解：A、当m＝9，n＝2时，，，不相等，故此选项符合题意； B、当m＝8，n＝2时，，，相等，故此选项不符合题意； C、当m，n时，，，相等，故此选项不符合题意； D、当m，n，，，相等，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（4分）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【解答】解：x（x+2）＝5（x﹣2）， 方程整理得：x2﹣3x+10＝0， 则a＝3． 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6．（4分）已知菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D． 【分析】根据题意，求出菱形的两条对角线长，进一步求出菱形的面积，最后求出正方形的边长即可． 【解答】解：由x2﹣6x+8＝0得， （x﹣2）（x﹣4）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 所以菱形的两条对角线长为2和4， 则菱形的面积为：， 即正方形的面积为4， 所以正方形的边长为2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及菱形的性质，熟知菱形的性质及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 7．（4分）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个数为x，则可得方程为（　　） A．x（x﹣2）＝168 B．x（x+2）＝168 C．x（x﹣1）＝168 D．（2x﹣1）（2x+1）＝168 【分析】由较大的偶数为x，可得出较小的偶数为（x﹣2），结合两个连续的偶数乘积为168，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵较大的偶数为x， ∴较小的偶数为（x﹣2）． 根据题意得：x（x﹣2）＝168． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（4分）下列关于x的方程必有实数根的是（　　） A．x2+mx+6＝0 B．x2+6x+m＝0 C．x2+mx﹣6＝0 D．x2+6x﹣m＝0 【分析】求出各选项中方程的根的判别式Δ的值，取能确定Δ≥0的选项即可． 【解答】解：A．Δ＝m2﹣4×1×6＝m2﹣24， ∵m2﹣24的正负无法判断， ∴无法确定关于x的方程x2+mx+6＝0的解的情况，选项A不符合题意； B．Δ＝62﹣4×1×m＝36﹣4m， ∵36﹣4m的正负无法判断， ∴无法确定关于x的方程x2+6x+m＝0的解的情况，选项B不符合题意； C．Δ＝m2﹣4×1×（﹣6）＝m2+24， ∵m2≥0， ∴m2+24＞0，即Δ＞0， ∴关于x的方程x2+mx﹣m＝0有两个不相等的实数根，选项C符合题意； D．Δ＝62﹣4×1×（﹣m）＝36+4m， ∵36+4m的正负无法判断， ∴无法确定关于x的方程x2+6x﹣m＝0的解的情况，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 9．（4分）如图，这是一块面积为120m2的矩形空地，已知该空地的长宽之比为3：2，现要在空地的四角开发面积均为5m2的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（　　） A．100m2 B．75m2 C．40m2 D．20m2 【分析】设矩形空地的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式得3x•2x＝120，求出x的值，从而求出矩形的长、宽，再求出小正方形的边长，即可求出蹦床乐园的长与宽，再求其面积即可． 【解答】解：设矩形空地的长为3xm，宽为2xm， 根据题意得3x•2x＝120， 6x2＝120， x2＝20， x（负值舍去）， 即矩形空地的长为m，宽为m， ∵小正方形的面积是5m2， ∴小正方形的边长是m（负值舍去）， ∴蹦床乐园的长为m，宽为m， ∴蹦床乐园的面积为m2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的应用，正确计算是解题的关键． 10．（4分）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+2（m+1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．且m≠±2 B．m≠±2 C． D． 【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ≥0，即可求出m的取值范围，要注意m2﹣4≠0，再令方程为一元一次方程，进行解答． 【解答】解：当方程（m2﹣4）x2+2（m+1）x+1＝0为一元二次方程时，m2﹣4≠0，即m≠±2， ∵关于x的方有实数根， ∴Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣4）＝8m+20≥0， 解得m， ∴m且m≠±2， 当方程（m2﹣4）x2+2（m+1）x+1＝0为一元一次方程时，m2﹣4＝0且2（m+1）≠0，则m＝±2， 综上，m的取值范围是m． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握根的判别式和注意分类讨论是解题的关键．要对一元一次方程和一元二次方程分别讨论解答． 11．（4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．8cm 【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可． 【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm， ∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合， ∴DF＝D′F， 在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2， ∴x2＝62+（8﹣x）2， 解得：x． 故选：B． 【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键． 12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH的四个顶点均在正方形ABCD的边上．已知AE＝a，AF＝b，若，则|b﹣a|等于（　　） A． B． C． D． 【分析】依题意得AD＝1，，证明△AFE和△DEH全等得AF＝DE，由此得AD＝a+b＝1，进而得a2+b2+2ab＝1，在Rt△AEF中，由勾股定理得a2+b2＝EF2，由此得2ab，然后根据（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab即可得出|b﹣a|的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为1， ∴AD＝1，∠A＝∠D＝90°， ∴△AEF是直角三角形， ∵四边形EFGH是正方形，且S正方形EFGH， ∴，EF＝HE，∠FEH＝90°， 在Rt△AEF中，∠AFE+∠AEF＝90°， ∵∠DEH+∠AEF＝180°﹣∠FEH＝90°， ∴∠AFE＝∠DEH， 在△AFE和△DEH中， ， ∴△AFE≌△DEH（AAS）， ∴AF＝DE， ∵AE＝a，AF＝b， ∴AD＝AE+DE＝AE+AF＝a+b＝1， ∴（a+b）2＝12， ∴a2+b2+2ab＝1， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2， ∴a2+b2， ∴2ab＝1， ∴2ab， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab， ∴|b﹣a|． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及完全平方公式的应用，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）。 13．（4分）写出一条菱形具有而矩形不具有的性质　对角线互相垂直　 ． 【分析】菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等． 【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定垂直（只有矩形是正方形时，对角线才会垂直）； 故答案可以是：对角线互相垂直． 【点评】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等． 14．（4分）等式“”中，括号内应填入 　6　 ． 【分析】根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 【解答】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则． 15．（4分）方程（x﹣2）2＝2025的较小实数根为　﹣43　 ． 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程求解，得出较小的实数根即可． 【解答】解：由题知， （x﹣2）2＝2025， 则x﹣2＝±45， 所以x1＝﹣43，x2＝47， 即该方程较小的实数根为﹣43． 故答案为：﹣43． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 16．（4分）已知实数a，b满足，则关于x的方程x2+ax+b＝0根的情况是：　没有实数根　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a＝2，b＝4，再根据根的判别式判断即可． 【解答】解：∵a＝23， ∴3b﹣12≥0且4﹣b≥0， ∴b＝4， ∴a＝2， ∴a＞0， ∴关于x的方程为x2+2x+4＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0， ∴没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点评】本题考查了根的判别式和二次根式有意义的条件，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 17．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝4a，点E在BC上，BE＝2a，∠BAD＝120°，点P是BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为　2a ． 【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为AP+PE，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝BC＝4a， ∴四边形ABCD是菱形， ∴点A，C关于BD对称，连接AE交BD于点P，则PE+PC＝PE+AP＝AE， 根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABE＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， 又∵BE＝EC， ∴AE⊥BC， ∴AE＝2a， 故答案为2a． 【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解． 18．（4分）如图是6×6的正方形网格，已知小正方形的边长为1，则格点△ABC边AB上的高是　　 ． 【分析】由勾股定理求出AB的长，再利用割补法求出△ABC的面积，设△ABC边AB上的高为h，然后由三角形面积公式即可得出答案． 【解答】解：由勾股定理得：AB3， △ABC的面积为：3×43×32×14×1， 设△ABC边AB上的高为h， ∴3h， 解得：h， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，利用等积法求三角形的高是解题的关键． 19．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF的值为 　　 ． 【分析】连接OP，过点A作AH⊥BD于点H，由矩形性质得OA＝OC＝OB＝OD，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD＝13，再由三角形面积公式得AH，然后S△POD+S△POA＝S△OAB得OD•PEOA•PFOD•AH，进而得PE+1PF＝AH． 【解答】解：连接OP，过点A作AH⊥BD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD，∠BAD＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，AD＝12，AB＝5， 由勾股定理得：BD13， 由三角形面积公式得：S△ABDBD•AHAD•AB， ∴AH， ∵S△POD+S△POA＝S△OAB， ∴OD•PEOA•PFOD•AH， ∵OA＝OC＝OD， ∴PE+1PF＝AH． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，理解矩形的性质，灵活利用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 20．（4分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为　　 ． 【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′＝105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′＝OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，继而可求得∠AOB′＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案． 【解答】解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E， 根据题意得：∠BOB′＝105°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB，∠AOB∠AOC∠ABC120°＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OB＝OA＝2， ∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝2， ∴OE＝B′E＝OB′•sin45°＝2， ∴点B′的坐标为：（，）． 故答案为：（，）． 【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）。 21．（18分）（1）计算： ①； ②（2）（）﹣（）2； （2）已知，，求x2+xy+y2的值； （3）若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值． 【分析】（1）①利用二次根式的除法法则及性质计算后再算加减即可； ②利用二次根式的性质，平方差及完全平方公式计算后再算加减即可； （2）根据已知条件求得x+y及xy的值，然后将原式变形后代入数值计算即可； （3）利用夹逼法估算的大小后求得a，b的值，然后代入原式计算即可． 【解答】解：（1）① ＝32 ； ②（2）（）﹣（）2 ＝（2）（23）﹣（3+618） ＝8﹣9﹣21﹣6 ＝﹣22﹣6； （2）已知，， 则x+y＝4，xy＝4﹣5＝﹣1， x2+xy+y2 ＝（x+y）2﹣xy ＝42+1 ＝17； （3）∵4＜7＜9， ∴23， 则a＝2，b2， a2+b2 ＝22+（2）2 ＝4+7﹣44 ＝15﹣4． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，估算无理数的大小，完全平方差，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22．（18分）解方程： （1）3（x+2）2﹣9＝0（直接开平方法）； （2）2x2+3x+1＝0（配方法）； （3）5t2﹣1＝﹣3t（求根公式法）． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）3（x+2）2﹣9＝0， 3（x+2）2＝9， （x+2）2＝3， 则x+2， 所以； （2）2x2+3x+1＝0， x2， x2， （）2， 则x， 所以； （3）5t2﹣1＝﹣3t， 5t2+3t﹣1＝0， Δ＝32﹣4×5×（﹣1）＝29＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法、解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法、直接开平方法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 23．（7分）如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 【分析】设水渠的宽为xm，挖过水渠后的6个矩形小块可以拼成长为（92﹣2x）m，宽为（60﹣x）m的矩形，据此列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设水渠的宽为xm， 由题意得：（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6， 整理得：x2﹣106x+105＝0， 解得：x1＝1，x2＝105（不符合题意，舍去）， 答：水渠的宽为1m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，过点A作直线AM∥CD，过点C作直线CN∥AB，两直线AM，CN相交于点E．试判断四边形ADCE的形状，并加以证明．（自己画图并完成解答） 【分析】由AM∥CD，CN∥AB，判定四边形ADCE是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质推出AD＝CD，判定四边形ADCE是菱形． 【解答】解：如图，四边形ADCE是菱形，理由如下： ∵AM∥CD，CN∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CDAB， ∴AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定，直角三角形斜边的中线，关键是掌握菱形的判定方法，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 25．（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）先计算出Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）分类讨论：当b＝c时，Δ＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， ∴△ABC的周长＝2+2+1＝5； 当b＝a＝1或c＝a＝1时， 把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1， 方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ∴△ABC的周长为5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系． 26．（12分）如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，点P是BC边上一动点，且PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F． （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明； （2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，PEMF变为正方形，并证明． 【分析】（1）若AD＝2AB，加上M点为AD的中点，则AB＝AM＝DM＝CD，于是可判断△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，易得∠BAC＝90°，然后利用∠PEM＝∠PFM＝90°可判断四边形PEMF为矩形； （2）若P点为BC的中点，则MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，根据角平分线的性质得PE＝PF，然后根据正方形的判定方法可判断矩形PEMF变为正方形． 【解答】解：（1）矩形ABCD的长与宽满足AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．理由如下： ∵AD＝2AB，M点为AD的中点， ∴AB＝AM＝DM＝CD， ∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形， ∴∠AMB＝45°，∠DMC＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥MC，PF⊥BM， ∴∠PEM＝∠PFM＝90°， ∴四边形PEMF为矩形； （2）当P点运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．理由如下： ∵P点为BC的中点， ∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线， ∴PE＝PF， ∴矩形PEMF变为正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．也考查了矩形的判定于性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $