精品解析： 山东省淄博市淄川区2024-2025学 年八年级下学期期中考试数学试卷 （五四制）

初三数学试题 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若与可以合并成一项，则m可以是（ ） A. 50 B. 15 C. 0.5 D. 4. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？（ ） A. 22 B. 28 C. 34 D. 40 7. 已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 8. 有以下说法：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形．其中说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是对角线上一点，延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 14. 在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有________． 15. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数___． 16. 已知，，则的值为________． 17. 已知a，b都是二次根式，且满足．请写出一对满足条件的a，b的值．你写的是________． 18. 如图将边长为10，一条对角线长16菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影部分的面积为________． 19. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 20. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 计算： （1）， （2）． 22 解方程： （1）， （2）． 23. 先化简，再求值：，其中a是的小数部分． 24. 如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片对折，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕长． 25. 把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 26. 一名运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？ 27. 如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP=EC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接AC，延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数． 28. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值． 29 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学试题 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可．最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的减法，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的减法法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 若与可以合并成一项，则m可以是（ ） A. 50 B. 15 C. 0.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 5. 若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 6. 若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？（ ） A. 22 B. 28 C. 34 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可． 【详解】解：4x2+12x﹣1147=0， 移项得：4x2+12x=1147， 4x2+12x+9=1147+9， 即（2x+3）2=1156， 2x+3=34，2x+3=﹣34， 解得：x=，x=， ∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b， ∴a=，b=， ∴3a+b=3×+（）=28， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中． 7. 已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键． 8. 有以下说法：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形．其中说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握正方形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：（1）四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； （2）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的个数为， 故选：A． 9. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：连接、 ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， 则， 依题意，， ∴，则， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 12. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EH⊥FG，交FG于点H．由翻折的性质得出AF＝AD＝6，DE＝EF．根据题意即可求出GD＝2，从而可求出AG．再根据勾股定理即可求出的长．又易证四边形GHED为矩形，即可得出GH＝DE，HE＝GD＝2．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x，最后根据勾股定理即可列出关于x的等式，解出x，即得出的长． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥FG，交FG于点H， 由翻折可知AF＝AD＝6，DE＝EF． ∵AD＝6，AD＝3GD， ∴GD＝2． ∴AG＝AD-DG＝6-2＝4． ∵FG⊥AD， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°． ∵FG⊥AD，EH⊥FG， ∴四边形GHED为矩形． ∴GH＝DE，HE＝GD＝2． 设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x， ∵在Rt△HEF中，， ∴． 解得：． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 14. 在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有________． 【答案】矩形、菱形和正方形 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 矩形、菱形和正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：矩形、菱形和正方形． 15. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数___． 【答案】答案不唯一．如：． 【解析】 【分析】由题意知：一个能直接开平方的式子就可以完成本题． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为等． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，掌握直角开平方法及互为相反数的定义是解题的关键． 16. 已知，，则的值为________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．把，代入，然后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：60． 17. 已知a，b都是二次根式，且满足．请写出一对满足条件的a，b的值．你写的是________． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法运算法则，是解题的关键．根据二次根式乘法运算法则，写出满足条件的a、b的值即可． 【详解】解：当，时，． ∴满足条件的a，b的值可以是，． 故答案为：，．（答案不唯一） 18. 如图将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出菱形的另一条对角线的长度，再求出菱形的面积，结合“赵爽弦图”的特征，得图中阴影部分的面积为，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，四边形是菱形， ∴， 则， ∴ 则， ∵将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图” ∴， 故答案为：4 19. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 20. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________． 【答案】3或或或 【解析】 【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答． 【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点， 如图，若∠ABC=90°， 则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点， 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 当AB=BC=6， 则DF=BC=3； 当AC=6， 则AB=BC==， ∴DF=BC=； 如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，AD=DF， 又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD， ∴△BAD≌△BFD（AAS）， ∴AB=BF， 当AB=AC=6， 则BC=， ∴BF=6，CF=， 在正方形ABEC中，∠ACB=45°， ∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=； 当BC=6， 则AB=AC==， 同理可得：， 综上：点D到直线AB的距离为：3或或或， 故答案为：3或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 计算： （1）， （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先将方程化为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 将方程变为一般形式为：， ，，， ， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，． 23. 先化简，再求值：，其中a是的小数部分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简，二次根式的混合运算，完全平方公式，无理数的估算，先把除法化为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算，化简得，结合a是的小数部分，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵a是的小数部分， ∴， 则． 24. 如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片对折，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长． 【答案】画图见解析； 【解析】 【分析】连接，作出的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，即为折痕；连接，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质可得，，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，即为折痕；连接； ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴由勾股定理可得，， ∵折叠后点C与点A重合， ∴，，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟记各性质是解题的关键． 25. 把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； 第二步：将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； 第三步：配方后将原方程化为形式，再用直接开平方的方法解方程． ①移项，配方即可得出，，即可得解； ②将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 26. 一名运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？ 【答案】他最多有秒完成规定动作． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，二次函数的应用，理解题意，得，解得的值，注意为正数，即可作答． 【详解】解：∵一名运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，且， ∴ 则 整理得 ∴ 则 ∴，（舍去） ∴他最多有秒完成规定动作． 27. 如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP=EC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接AC，延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）∠BGC＝45° 【解析】 【分析】（1）由矩形可得∠ABC=90°，易得∠ABP+∠PBC=90°，由AP⊥BP，可得∠ABP+∠PAB=90°，易得∠PBC=∠PAB，由AAS定理可得△ABP≌△BCE，由全等三角形的性质可得AB=BC，易得结论； （2）由△ABP≌△BCE易得AP=BE，又CF=BE，可得AP=CF，易得四边形ACFP是平行四边形，可得∠ACB=∠BGP，由四边形ABCD是正方形，AC是对角线，可得∠ACB=∠BGP=45°． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°． 即∠ABP +∠PBC=90°， ∵AP⊥BP， ∴∠ABP +∠PAB=90°， ∴∠PBC=∠PAB． ∵CE⊥BP， ∴∠APB=∠BEC=90°． ∵BP＝CE， ∴△ABP≌△BCE． ∴AB＝BC． ∴四边形ABCD是正方形． 【小问2详解】 ∵△ABP≌△BCE， ∴AP＝BE． ∵BE＝CF， ∴AP＝CF． ∵AP⊥BP，FE⊥BP， ∴AP∥CF， ∴四边形ACFP是平行四边形． ∴AC∥PF， ∴∠ACB=∠BGC． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BGC＝∠ACB＝45°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质和正方形的性质及判定，综合利用相关定理是解题关键． 28. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出的值，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当或时为等腰三角形，然后求出的值． 小问1详解】 证明：由题意可得： ， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴，，则，， 当时，为等腰三角形，则，解得， 由于，此时三角形不存在，不符合题意； 当时，为等腰三角形，则，解得， ，此时三角形存，符合题意； ∴当是等腰三角形时，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 29. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）成立；证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，，求出，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再求出，即可证明； （3）连接交于点O，连接，作于F，根据菱形性质得出，平分，根据勾股定理分别求出，，最后求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$