精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学学科检测试卷

天津市第一中学滨海学校2025-2026-2学期 期中考试高二年级数学学科检测试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校､姓名､准考证号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将I卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效祝各位考生考试顺利! 第I卷选择题（60分） 注意事项： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过函数解析式求出导函数，当求得对应导数. 【详解】因为，所以 当时， 解得. 2. 把3个不相同的书签，放入7个不同的书架中，则不同的放法有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将3个不相同的书签放入7个不同的书架中，每个书签有7种放法，根据分步乘法计数原理可知有种不同的放法. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：， A错误. 选项B：，B错误. 选项C：由商的求导法则，令，， 则，C正确. 选项D：由积的求导法则，令，， 则，与选项结果不符，D错误. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】m函数值的正负排除D，求出导函数确定函数的单调性，用排除法得正确结论． 【详解】，当时，，，排除D． 则， 单调递减，单调递增，排除BC， 故选：A. 5. 袋子中有10个大小相同的小球，其中6个白球，4个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件为第1次摸到白球，事件为第2次摸到白球， 则， 所以. 故选：D. 6. 设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 7. 在二项式的展开式中，下列说法不正确的是（ ） A. 第四项二项式系数最大 B. 常数项为240 C. 所有项的系数和为729 D. 所有项的二项式系数之和为64 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数性质可判断A；求得通项公式，令，计算可判断B；利用赋值法判断C；根据二项式系数和计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为，故B错误； 对于C，因为， 令，得，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 8. 已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算和，再根据方差公式求解 【详解】由题可知，解得， 因为，所以， 所以， 得到，故. 9. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 10. 袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】每次摸球有3种颜色可选，摸4次，结果总数（种）. 设A=“4次摸球中3种颜色都出现”，则 第一步：从3种颜色中选1种作为出现2次的颜色，有种选法； 第二步：从4次摸球中选2次摸该颜色，有种选法； 第三步：剩下2次摸另外2种颜色，有种排列方式. 因此，（种）. 于是，. 11. 设函数，若，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. e 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒成立得出条件等式，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 综上，，即. 所以，又，则， 令，则， 当时，，即单调递减；当时，，即单调递增； 所以，故的最小值为1. 12. 若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象有交点转换成方程在上有解，再通过换元，转换成方程有解，再结合，得到，进而通过在上有解，求解即可. 【详解】函数与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，则原问题等价于有解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以原问题等价于在上有解， 即在上有解， 令，则， 由得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又且， 所以，即.则的最小值为. 第Ⅱ卷非选择题（90分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上 二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项展开式的通项公式为. 令，解得，则. 故的系数为15. 14. A、B等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中A、B不相邻，则不同的排队方法有______种． 【答案】 【解析】 【分析】借助插空法计算即可得. 【详解】先排其余人，再将剩余两人插入个空位， 共有种. 15. 已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 16. 甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出事件，运用全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】记“选到甲盒子”为事件，“选到乙盒子”为事件，“摸到黑球”为事件B. 由全概率公式得， 由条件概率公式得， 故答案为：. 17. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 【答案】 ①. 36 ②. ## 【解析】 【分析】根据题意有两名志愿者去同一场馆，进而根据排列组合分组分配问题得共有（种）分配方法；再结合的可能取值为1，2，求解对应概率计算期望即可. 【详解】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者， 故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中, 故共有（种）分配方法. 的可能取值为1，2，且，， 所以. 18. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲获胜的概率， 事件表示“甲第一局获胜”，则， 所以. 故答案为：， 19. 设函数，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用求导得出的单调性，进而求解最值； （2）依题意，对任意，不等式恒成立，等价于恒成立，当最大，最小时，求出最大值，进而得到答案. 【详解】由得． 令，得， 此时单调递增，令，得，此时单调递减． 所以的最大值为． 对任意，，不等式恒成立，等价于恒成立． 当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 由题意可知，当最大，最小时，最大，所以的最大值为，所以，所以． 故答案为：；. 20. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：求导，利用导数有两个正根可得，求解即可；空2：利用空1，可得函数的单调性，可得时，函数取得极小值，由已知计算可得，根据可求结论. 【详解】空1：函数的定义域为 求导得，令，可得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根， 设两根分别为且，所以可得，解得， 所以的取值范围为； 空2：由（1）可得时，，当时，， 当时，，所以时，函数取得极小值， 所以且，即， 极小值，所以， 令，求导可得， 所以在上为减函数， 又，所以时，， 由，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，，所以， 所以的取值范围为. 故答案案为：；. 【点睛】思路点睛：函数有极值点转化为导数为0的方程的根的问题，进而可转化为函数的零点问题. 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 小明从4双鞋中，随机一次取出2只， （1）求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； （2）若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望， 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）利用组合的知识，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）根据题意确定X的取值：0，1，2；然后分别求出概率，列出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 由题可得：取出2只都不来自同一双的概率为：. 【小问2详解】 由题可知X的取值为：0，1，2， ，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 P ， 故. 22. 某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. （1）若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； （2）若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，并列出分布列与期望 【小问1详解】 设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. 23. 已知，函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【小问1详解】 函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 24. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）若，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对进行求导，再通过导数的几何意义结合点斜式即可求出； （2）通过求的二阶导数判断的一阶导数的符号，进而求出的单调性，再求出的最小值即可求出a的取值范围； （3）通过不等式将原式化为只需证，再通过化简变形得到，对进行求导，最后令，对其进行求导即可证明. 【小问1详解】 ，所以点处的切线斜率为， 又，所以切线方程为． 【小问2详解】 ， 因为在上均为增函数， 所以在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若对任意，都有，则， 所以，a的取值范围为． 【小问3详解】 设，则， 由（2）可知， 所以当时，，故， 所以 ， 所以只需证，只需证， 只需证， 只需证， 令， 则只需证． 因为， 所以令， 因为，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 故当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2025-2026-2学期 期中考试高二年级数学学科检测试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校､姓名､准考证号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将I卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效祝各位考生考试顺利! 第I卷选择题（60分） 注意事项： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 把3个不相同的书签，放入7个不同的书架中，则不同的放法有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 种 D. 种 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 袋子中有10个大小相同的小球，其中6个白球，4个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在二项式的展开式中，下列说法不正确的是（ ） A. 第四项二项式系数最大 B. 常数项为240 C. 所有项的系数和为729 D. 所有项的二项式系数之和为64 8. 已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 10. 袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，若，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. e 12. 若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（90分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上 二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 14. A、B等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中A、B不相邻，则不同的排队方法有______种． 15. 已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 16. 甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________． 17. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 18. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 19. 设函数，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 20. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 小明从4双鞋中，随机一次取出2只， （1）求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； （2）若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望， 22. 某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. （1）若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； （2）若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 23. 已知，函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上有三个零点，求的取值范围. 24. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $