安徽芜湖皖江中学2025-2026学年高一下学期期中模拟测试数学试卷

**基本信息** 芜湖皖江中学期中数学模拟卷聚焦向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过多题型梯度设计（如解答题第17题结合正余弦定理与面积公式、第19题周长范围探究），考查数学思维的推理能力与数学语言表达现实问题的能力，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念（第2题）、立体几何结构（第3题）|基础概念辨析，强化数学眼光的抽象能力| |多选题|3/18|三角形性质（第9题）、四心判定（第10题）|多选项设计，考查数学思维的严谨性| |填空题|3/15|向量最值（第12题）、圆锥外接球（第14题）|空间与数量关系结合，体现几何直观| |解答题|5/77|旋转体体积（第16题）、向量运算（第18题）|综合应用，从计算到探究，适配高考命题趋势|

芜湖皖江中学期中模拟测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则(    ) A. B. C. D. 2.下列说法中正确的是(    ) A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 若满足且与同向，则 D. 对于任意向量，必有 3.下列说法正确的是(    ) A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 长方体是平行六面体 C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形 D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 4.已知，为两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则等于(    ) A. B. C. D. 5.已知向量，，，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.已知，，且，的夹角为，如果，那么的值为  (    ) A. B. C. D. 7.已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则等于(    ) A. B. C. D. 8.在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：；乙：；丙：；丁：判断结果与其它三个不一样的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在中，角，，所对的边分别为，，，则正确的结论有(    ) A. 若，则 B. 若，则则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则一定是等腰三角形 10.设为所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则点是的重心 B. 若，则点是的垂心 C. 若，，则点是的内心 D. 若，则点是的外心 11.正方体的棱长为，是棱上的一个动点含端点，则的取值可以为(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为          ． 13.设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是          ． 14.一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在复平面内，复数其中为虚数单位， 若复数为纯虚数，求的值； 若复数，求的值． 16.本小题分 如图，已知等腰梯形的上底，下底，底角，现绕腰所在的直线旋转一周，求所得的旋转体的体积． 17.本小题分 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，． 求角 若，求边上的角平分线长 求边上的中线的取值范围． 18.本小题分 如图，在中，，是的中点，设，．   试用，表示； 若，与的夹角为，求． 19.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． 求； 若， 求周长的取值范围； 若为边上的中线，，求的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了复数的四则运算，共轭复数，属于基础题． 根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【解答】 解：因为，所以，即． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的模，向量的基本知识的应用，属于基础题． 通过向量的模以及向量的基本概念，判断选项的正误即可． 【解答】 解：平行向量是共线向量，所以不正确； 单位向量的模相等，方向不一定相同，所以不正确 向量不能比较大小，所以不正确 设夹角为， ， 故，所以D正确． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查棱锥、棱柱、圆台的结构特征，考查空间几何体的截面问题，属于基础题． 根据棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的定义对选项一一判断即可得出答案． 【解答】 解：对于， 底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱， 而长方体是各面为矩形的棱柱， 所以长方体是平行六面体，故B正确； 对于，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C错误； 对于，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误． 故选：． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量的坐标运算和同角的三角函数的关系，属于中档题． 先根据向量平行可得，则，代值计算即可． 【解答】 解：向量，，， ， ， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】由题意知，  即，  ，  解得． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦定理及变形，两角和与差的正弦公式，属于较难题． 利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式判断甲、乙，利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式判断丙，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式判断丁． 【解答】 解：对于甲：，由正弦定理可得， 即， 又，所以或，即或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于乙：，由正弦定理可得， 所以， 又，所以，， 所以，即， 又，所以或， 即或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于丙：，由正弦定理可得， 所以，又且， 所以，所以，即，所以为等腰三角形； 对于丁：，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 即， 所以或， 又且， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查诱导公式、正弦函数的图象与性质、正弦定理，属于中档题． 选项，由大角对大边和正弦定理进行推导；选项，由正弦定理和勾股定理逆定理进行解答；选项，根据锐角三角形得到，结合正弦函数的单调性得到，利用诱导公式进行解答；选项，得到或，所以是直角三角形或等腰三角形． 【解答】 解：因为，所以，由正弦定理得：， 所以，故A正确； 若，由正弦定理得：， 由勾股定理逆定理得：则为直角三角形，故B正确； 若为锐角三角形，则，所以，且 由于在上单调递增， 所以，即，故C正确； 若，则或， 所以或，则是等腰三角形或直角三角形，故D错误． 故选ABC． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查向量垂直的判定，考查三角形的“四心”，属于较难题． 利用有关的运算法则以及几何意义逐一判断即可． 【解答】 解：若，则， 以，为邻边作平行四边形，为的中点， 则，所以， 又，所以，故为的重心，所以A正确； 若，则， 即，即， 所以，同理，则，故为的垂心，故B正确； 在边，上分别取点，，使，，则， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，则为的角平分线， 由，所以点在角平分线上， 故点的轨迹一定通过的内心，所以C错误； 若， 则，同理有，，故为的外心，所以D正确． 故选ABD． 11.【答案】  【解析】解：由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将左图中绕翻折至与共平面如右图， 因为，， 所以当、、共线时最小， 此时为中点，，， 此时，， 则最小值为； 当与或重合时最大，最大值为． 故选：． 12.【答案】  【解析】连接，取的中点，连接，由题意知，所以，，则． 易知当点与点重合时，取得最大值，故由正方形的性质知，所以的最大值为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查向量的夹角，数量积等知识属于基础题． 根据题意得，又当时不符合题意，即可得到结果． 【解答】 解：因为的夹角为锐角， 所以，解得， 又当时，不符合题意， 所以且． 即 故答案为： ． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的侧面积公式与球的体积公式，属于基础题目． 由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积． 【解答】解：设圆锥的底面半径为，则， 则，圆锥的高， 设球半径为，由题意可得， 则， 解得， ． 故答案为． 15.【答案】解：由复数为纯虚数，得 即 解得． 若复数 则，解得．  【解析】本题考查复数的概念，不等式组的求解，属于基础题． 根据纯虚数的定义，转化为解即可． 将转化为解即可． 16.【答案】如图，作交的延长线于点，作交于点，，，， 在中，，． ，， 在中，，． 又在等腰梯形中可求得，，， 旋转后所得几何体的体积． 故所得的旋转体的体积为．   【解析】略 17.【答案】解：由  及正弦定理得  ， 即  ， 即  ， 所以  ，因为  ，所以  ． 因为  ，所以  ． 由  及余弦定理得  ，又  ，所以  ， 由  得  ， 所以  ，所以  ，解得  ． 因为为的中点，所以， 则， 因为，所以， 所以， 即边上的中线的取值范围为    【解析】本题考查正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，考查三角恒等变换，属于中档题． 根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； 根据余弦定理及已知得  ，然后利用面积分割法列方程求解即可； 利用向量加法运算及数量积模的运算得  ，利用基本不等式求解范围即可． 18.【答案】解：因为， 所以， 所以  ， 因为是的中点， 所以  ； 由知，， 所以 ，                        所以．   【解析】本题考查向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的模，属于中档题． 利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； 根据的结论，利用向量的模公式和向量的数量积公式即可求解． 19.【答案】解：法一：由正弦定理得． 从而，即， 又中，， 又，所以． 法二：由余弦定理得， 化简得， 则， 又，所以． 法一：由正弦定理得， 则，，，． 的周长为 ． 又，，故， 周长的取值范围是． 法二：由余弦定理得， 所以． ，， 当且仅当时取得等号． 又， 周长的取值范围是． 在中，由余弦定理得，即． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得． ，，． 所以．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $