精品解析：安徽黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

屯溪一中2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】,所以,. 2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 3. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱的结构特征即可得解. 【详解】依题意得，且， 又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱. 4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为该三角形有两解，所以， 即，所以的取值范围是. 5. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 6. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 7. 等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】以为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，，. 设，，则，， 所以. 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值， 作出对角线及球心，所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值， 设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得， 即正方体的棱长的最小值为， 所以 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 10. 设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意求出的边长，确定点D到平面的最大距离，点D到平面的最小距离，进而得出三棱锥体积取到最大值及最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知为等边三角形且其面积为， 故，即得， 设的外接圆圆心为，设三棱锥的外接球球心为O， 因为平面，当共线且O位于之间时， 设外接圆的半径r，则， 由于平面，平面， 故，而， 故， 所以点D到平面的最大距离为，点D到平面的最小距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，最小体积为． 所以三棱锥的体积可能为或.    故选：AB． 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据余弦定理代入求解即可.选项B：根据向量的数量积以及余弦定理代入求解.选项C：根据中线长公式以及三边关系求解.选项D：根据正弦定理以及均值不等式求解即可. 【详解】对于A，因，，由余弦定理得， 整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确； 对于B， . 而，，B错误； 对于C，由中线长公式，​，则. 在△ABC中，有，且，则得，解得， 进而，即得​，故，C正确； 对于D：由正弦定理，​，​， 则等价于 ,即，即,也即(*)， 因，则​​， 故，当且仅当时取等. 即(*)成立 ,故不等式恒成立，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为________. 【答案】. 【解析】 【分析】已知正四棱锥底面边长为2，高为1，求出棱锥侧面的高，代入棱锥侧面积公式，可得答案． 【详解】正四棱锥底面边长为2，高为3， 则侧面的高， 故此正四棱锥的侧面积． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了棱锥的侧面积，棱锥的结构特征，其中根据已知求出棱锥的侧面的高是解答的关键．属于中档题． 13. 已知，是两个互相垂直的单位向量，若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【详解】设. ∵是互相垂直的单位向量，∴. 两向量夹角为钝角 且与不反向共线. 计算数量积，由得. 排除反向共线：设，则，​ 解得. 当时，夹角为（不是钝角），故应舍去. 综上，的取值范围是. 14. 若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理和余弦定理求出三角形三条边和角的正弦值，进而根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为， 对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以. 根据正弦定理得，而， 所以，化简得①. 根据余弦定理得②， ①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为. 又，所以，所以. 所以该三角形的面积为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若复数，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，根据该复数为纯虚数可求出的值，即可得出复数； （2）利用复数的除法画家复数，利用共轭复数的定义、复数的加法以及复数的模长公式可求得复数的模. 【小问1详解】 因为复数，且为纯虚数， 所以，解得，故. 【小问2详解】 ，所以， 则，故. 16. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得； （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长. 【详解】（1） 由正弦定理得： 即： （2） 由余弦定理得： 的周长 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型. 17. 在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是． （1）若，求：的最大值； （2）探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式结合基本不等式即可求解； （2）根据的关系结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 若绕旋转：斜边上的高，体积， 当时，，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最大值为． 【小问2详解】 因为， 所以， 当，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． 【小问2详解】 ① ， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ② 为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 （1）对于方程在复数集C内的根为、、，求的值； （2）已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. （3）若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 【答案】（1）11； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合已知材料有、，即可求； （2）根据已知，设及多项式相等得，进而有，即可得范围； （3）设菱形的对角线的交点为M，由题意，C为代入函数得到，结合菱形的性质及的坐标表示得到，讨论得矛盾，即可得. 【小问1详解】 将变形，已知，则方程为， 由材料得这里， 若根为，根据根与系数的关系有，， 【小问2详解】 由题有的三个实根为，设， 展开得，故， 则，又，故， 综上：当时，的取值范围为； 【小问3详解】 设菱形的对角线的交点为M点，坐标为， 先证点M为函数的对称中心，证明如下： 由题意，A，C两点关于M对称，，故C点坐标为， 将C点坐标代入函数可得， 即 即， 化简可得：， 因为有四个不同的点，所以关于m的方程有四个不同的解，故各项系数均为0， 即，解得，所以，且在上. 又因为ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，故 又，则， 所以， 即， ， ， 若，则或，即点A与点M重合或点B与点M重合，此时四边形ABCD不能构成菱形， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 屯溪一中2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为________. 13. 已知，是两个互相垂直的单位向量，若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围___________． 14. 若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若复数，求复数的模． 16. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 17. 在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是． （1）若，求：的最大值； （2）探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 （1）对于方程在复数集C内的根为、、，求的值； （2）已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. （3）若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $