安徽芜湖市第十二中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

**基本信息** 立足高一数学期中考查，以向量、立体几何、解三角形为核心，通过露营基地规划、电视塔测量等真实情境题与柯西不等式创新题，融合数学抽象、几何直观与模型应用，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|向量共线、复数虚部、圆锥侧面积|基础概念辨析，突出空间观念| |多项选择题|3/18|复数运算、三角形重心与内心|多维度概念辨析，考查推理意识| |填空题|3/15|球表面积、电视塔高度测量|实际问题转化，体现应用意识| |解答题|5/77|露营基地面积优化、柯西不等式应用|真实情境综合应用，融入创新思维（如柯西不等式）|

1．C 【详解】因，则， 又因，则，解得. 2．D 【分析】将复数化成的形式，即可得答案. 【详解】因为 所以z的虚部为. 3．A 【分析】由两边平方可得，再利用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，即， ，即， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 4．B 【分析】先求出等边三角形边长为4，则由题意可得圆锥的底面半径为2，母线长为4，从而可求出其侧面积. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 所以等边三角形边长为4， 所以圆锥的底面半径为2，母线长为4， 所以圆锥的侧面积为， 故选：B 5．B 【分析】利用余弦定理求得，由此求得，进而求得，利用正弦定理求得. 【详解】在三角形中，由余弦定理得， 所以，由于， 所以. 在三角形中，由正弦定理得. 故选：B 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题. 6．C 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：C. 7．D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 8．B 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 9．BD 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，求出、，即可得到复数，再根据共轭复数的定义判断A，根据复数的模判断B，根据复数代数形式的运算法则判断C、D. 【详解】依题意可得，则，解得，则， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：BD 10．ACD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；B选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；C选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上；D选项，首先得到为外心，从而得到，再根据数量积的运算律即可判断. 【详解】A选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，A正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，B错误； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，C正确. D选项，设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有，又，， 则 ，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 11．ABD 【分析】根据三角形面积公式判断A，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断B，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，，又，， 所以，即， 所以，即，所以， 即，所以， 由为锐角知，故解得，故B正确； 对于C，由，可得，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图， 所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且， 令，且，则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当或时，，所以， 即的取值范围为，故D正确. 12． 【分析】先利用体积相等求出，进而可求其表面积. 【详解】设实心铁球的半径为， 由题意可知，得， 故实心铁球的表面积为， 故答案为： 13．500 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 14．20 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 15．(1)； (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 16．(1) (2) 【分析】（1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. （2）解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 17．(1)米 (2)修建观赏步道时应使得，. 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，由是钝角，得，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解. 【详解】（1）， 解得， 因为是钝角，所以， =， 故需要修建米的隔离防护栏. （2）， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 解得：， 花卉观赏区的面积为 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值为1， ， 当且仅当时取到等号，此时 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用正弦定理与三角恒等变换将花卉观赏区的面积转化为关于的表达式，从而得解. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得； （2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得； （3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由可得， 因为， 所以， 由，得，又，则. （2）如图： 由余弦定理，，因为，， 所以，又，所以. 由，得， 整理得：. （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. 19．(1)； (2)①108；②. 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）①化简为，由三维柯西不等式求解；②由三维柯西不等式有求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. （2）①由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖十二中2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷 命题人：陈晓晓 试做人：王春健 审核人：汪菁 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．6 2．若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（   ） A．i B．i C． D． 3．已知 ，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在中，在线段上，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 6．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 8．在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则BD的长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知（，），若，则（    ） A． B． C． D． 10．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则动点的轨迹一定通过的重心 B．若，，分别表示，的面积，则 C．若，则点是的内心 D．若点满足，，，则 11．在锐角中，角的对边分别为，且．则（    ） A．的面积为 B．若，则 C． D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________． 13．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 14．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 16．如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 17．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？最大面积分别为多少？ 18．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 19．在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $