第9章 图形的相似 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)
2026-06-01
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教辅
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似这一单元核心知识，涵盖成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似变换等考点，通过“刷中考”“刷章测”分类整合真题与章节测试题，结合知识框架图和关键点拨，帮助学生构建完整的相似图形知识网络。
其亮点在于注重数学核心素养培养，如结合风筝制作、杠杆原理等现实情境培养数学眼光，通过相似三角形判定的分类讨论训练数学思维，以规范的解析步骤和错题警示提升数学语言表达能力。分层设计的中考真题与章测题满足不同学生需求，助力教师精准把握复习重点，有效提升学生知识巩固效果。
内容正文：
数 学
八年级下册 LJ
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第九章 图形的相似
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全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
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中考
考点1 成比例线段
1.【2025四川成都中考】若，则 的值为___.
4
【解析】， ，故答案为4.
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考点2 平行线分线段成比例及其推论
（第2题图）
2.【2024黑龙江哈尔滨中考】如图，在四边形 中，
，点在上，交于点 ，若
，，则 的长为( )
A
A.6 B.3 C.5 D.9
【解析】 在四边形中，，，， ，
即， .故选A.
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3.【2025青海中考】如图，在中，，且，，则 的
值是__．
（第3题图）
【解析】，， ，
，故答案为 ．
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考点3 相似多边形
4. 传统文化【2025甘肃中考】“儿童散学归来早，忙趁东风放
纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列
入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活
动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如
195
图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为 ，如果小风筝两
条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为_____ ．
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【解析】 小风筝两条对角线的长分别为和， 小风筝两条对角线长
的和为 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、
小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两
条对角线长的和小风筝两条对角线长的和， 大风筝两条对角线长的和
，故答案为195．
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考点4 相似三角形的判定与性质
5.【2025河北中考】如图,在五边形中，,延长, ,分别交直线
于点,.若添加下列一个条件后，仍无法判定 ,则这个条件是
( )
D
A. B. C. D.
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【解析】
选
项 分析
A ,, ,
, ,故A不符合题意
B ,, ,
,故B不符合题意
C ,, .由A可知
,故C不符合题意
D 根据，再结合已知条件不能证明 ,故D符合题意
故选D.
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6.【2025吉林长春中考】将直角三角形纸片 按如图方式折叠两次
再展开，下列结论错误的是( )
D
A. B.
C. D.
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【解析】 ,.由折叠可得，， ，
， ，故A正确，不符合题意.易得
，，， ，
，， ，故B正确，不符合题意.
，，， ，
，， ，故C正确，不符合题意.由
上知., 易得 ,
，，， ，故D错
误，符合题意，故选D.
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（第7题图）
7.【2025山东威海中考】如图，的中线，交于点 ，连
接 ．下列结论错误的是( )
B
A. B.
C. D.
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【解析】因为，为的中线，所以,分别为, 的中点，所以
，，所以易得，所以 ，所以
，故A选项不符合题意．因为，所以易得 ，
所以，所以 ，故B选项符合题意．因为
,所以,所以，所以 ,故C选项
不符合题意．因为，所以易得，所以 ，故D
选项不符合题意．故选B.
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关键点拨
根据,为的中线判断出是的中位线，从而得到 ,
是解题的关键．
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（第8题图）
8.【2025江西中考】如图， 是面积为1的等边三角形，
分别取，，的中点得到；再分别取 ，
，的中点得到 ；…,依此类推，则
的面积为( )
C
A. B. C. D.
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【解析】由题知，点，，分别是，，的中点，所以 ，
，，，, ,所以易得
，则.又因为 的面积为1，所以
的面积为.同理可得，的面积为， 的面积为
，， 所以的面积为 .故选C.
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关键点拨
依次求出,, 的面积，发现规律即可解决问题
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9.【2025山西中考】
如图，在四边形中，, ,,,点在边 上，
,连接,且.点在的延长线上，连接.若 ,则
线段 的长为___.
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【解析】如图，延长交的延长线于，过点作于 ，
则， ，
， ，
,，， ，
.，， ，
， 四边形 为矩形,
，，. 在 中，
, ， ,
.，，,故答案为 .
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10.【2025四川成都中考】如图，在中，点在边上，点关于直线
的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线 交
边于点 .
图（1）
图（2）
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【特例感知】
（1）如图（1），当时，点在延长线上，求证： ；
【证明】由轴对称的性质得， 四边形 是平行四边
形，，， ，
，， ，
.又， .
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【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，，求 的长；
【解】， ，
，， ，
，.由轴对称的性质得 四边形 是平
行四边形，，， 易得， ，
，解得，， .
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思路分析
根据全等三角形的性质可得，从而得到 ，结合题中条件可证明
，从而得到， ，再由轴对称的性质得
，证出，可得，即可推出 的长.
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【拓展延伸】
（3）如图（2），当时，点在边上，若，求 的值.
（用含 的代数式表示）
【解】如图，延长，交于点 .
设，,，，， ，
，， ，即
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， 易得，，即，
四边形是平行四边形， ，
， ，
，
，， .又
，，，即 ，
， 易得，， ，
，.又， 易得
， .
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考点5 相似三角形的应用
11. 跨学科综合【2025四川内江中考】阿基米德曾说过：“给我一个支点，
我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长
度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠
杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力
臂，阻力臂，，则 的长度是( )
B
甲
乙
A. B. C. D.
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【解析】，，， 易得，.
，，，， ．故选B.
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考点6 位似变换
（第12题图）
12.【2025四川眉山中考】如图，在 的方形网格中，每个小
正方形的边长均为1，将以点 为位似中心放大后得到
，则与 的周长之比是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 小正方形的边长均为1， ，
， 将以点 为位似中心放大后得到
，，相似比为，与的周长之比是 ，
故选B.
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（第13题图）
13.【2025浙江中考】如图，五边形, 是
以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点, 的坐标
分别为,.若的长为3,则 的长为( )
C
A. B.4 C. D.5
【解析】 点,的坐标分别为,, ,
五边形，是以坐标原点 为位
似中心的位似图形，
, ，故选C.
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关键点拨
根据位似图形的性质得到 ，即可求解．
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14.【2025安徽中考】
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建
立平面直角坐标系，的顶点和 均为格点
（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为 和
．
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（1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点 的坐标；
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【解】如图所示，点即为所求，点坐标为 .
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（2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为 ，
请在所给的网格图中画出 ．
【解】如图所示， 即为所求.
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章测
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知，满足，则 的值为( )
A
A. B. C.1 D.2
【解析】，，， .故选A.
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2.【2024山东东营质检】如图，在由边长为1的小正方形组
成的网格中有与相似，则 的度
数为( )
D
A. B. C. D.
【解析】,， ，
，，， ，
， ，
.故选D.
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3.【2025广东深圳模拟】透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表
现物体的立体感和空间感．如图是运用透视绘制的一个图案，已知
，，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】，.， ，故选A.
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（第4题图）
4.如图，在矩形中，，，点在 边上，
，交的延长线于点.若，则线段 的长为
( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 四边形为矩形， ,， ，
， ， ，
.，，.在中，,, 由
勾股定理得， .故选B.
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关键点拨
证明，根据勾股定理求出 ,根据相似三角形对应边成比例求出
，从而可得 .
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（第5题图）
5.【2024山东淄博期末】如图，在正方形中， 是等边
三角形，，的延长线分别交于点，，连接， ，
与相交于点.给出下列结论： ；
； ，其中正确的是( )
D
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
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【解析】是等边三角形， ，
.在正方形中， ,
， ， ,
， ，
，
， ，故①正确.
，且易知 ， .在
中，设， ， ，由勾股定理易得
，， ，故②错误
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， ，
，，， ，
故③正确.故选D.
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关键点拨
掌握等边三角形、正方形的性质及相似三角形的判定与性质是解题关键.
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（第6题图）
6.【2024山东东营调研】如图，点是正方形的边 的黄金
分割点，且，以为边作正方形，延长交 于
点，连接交于点，连接，则 的值为( )
D
A.1 B. C. D.
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【解析】 四边形是正方形， 点是正方形
的边的黄金分割点，且，. 四边形 是正方形，
，， 易证， ，
，
， 四边形 是矩
形， ，
.
故选D.
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二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
（第7题图）
7. 传统文化【2025山东泰安期末】《周髀算经》中记载
了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲
尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立
放，可测量物体的高度．如图，点，， 在同一水平线上，
3.5
【解析】 ，，， .
,,, ，
,故答案为3.5．
，与相交于点．测得, ,
,则树高_____ .
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50
8.【2025江苏盐城质检】如图，在矩形中，，分别是， 的中点．若
矩形与矩形相似，则 ______．
（第8题图）
【解析】设,则 矩形与矩形相似， ，
，,．故答案为
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9.【2024山东泰安调研】如图所示，已知 ，那么添加下列一个条件后，能
判定 的是________（填序号）.
①②③
；；； .
（第9题图）
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【解析】，，即 .①若
，则，故①正确；②若，则 ，
故②正确；③若，则，故③正确；④由 ，不能判定
，故④错误.故答案为①②③.
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（第10题图）
10.如图，直线与轴、轴分别交于， 两点，
与是以点 为位似中心的位似图形，且相似比为
，则点 的坐标为_______________.
或
【解析】 直线与轴、轴分别交于， 两点，令
可得，令可得， 点和点 的坐标分
别为，与是以点 为位似中心的位似图形，且相似比
为，，即，，， 当点 在第
一象限时，的坐标为；当点在第三象限时，的坐标为 .故答案
为或
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（第11题图）
11.如图，矩形的边长，对角线 ，
动点从点出发，沿以的速度向点 匀速运动，同时
动点从点出发，沿以的速度向点 匀速运动.若
与相似，则运动的时间为__________ .
1.5或2.4
【解析】 ,, ,
.由题意得，， .若
，则有，即，解得；若 ，
则有，即，解得.综上所述，当或时，
与 相似. 故答案为1.5或2.4.
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易错警示
题目中并未明确相似三角形的对应边，所以本题需要分类讨论
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三、解答题（本大题共3小题，共50分）
12.【2024山东淄博校级期末】 在平面
直角坐标系中的位置如图所示.
（1）在图中画出沿 轴翻折后得到的
；
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【解】如图， 为所作.
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（2）以点为位似中心，在第一象限内画出与（1）中的 位似的
，使它与的相似比为 ；
【解】如图， 为所作.
（3）在（2）所作的图中，点的坐标为______，与 的周长比是
_____，与 的面积比是_____.
【解析】点的坐标为沿轴翻折后得到 ，
与的相似比为，与
的相似比为，与的周长比为，面积比为 .故答案为
，， .
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13. 【2025河北石家庄期末】如图（1），在中，点是 的边
上的一点．#1
图（1）
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图（2）
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（1）如图（2），请判断他们的说法的正误，并说明理由.
【解】小星和小红的说法正确，小亮的说法错误.理由： ，
，， 小星的说法正确.， ，
， 小红的说法正确.由， 不能证明
， 小亮的说法错误.
关键点拨
有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角
形不一定相似.
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（2）若，，，求 的长．
【解】，，，解得或 （舍去），
经检验，是分式方程的解， ．
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14.在四边形中，的平分线交于，延长到使， 是
的中点，交于，连接 .
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（1）当四边形 是矩形时，如图（1），求证：
① ；
【证明】 四边形是矩形， ， 平分
， ， ，
，. ，
， .
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② .
【解】连接，过点作于点 ,如图（1）.由①得
, 点是 的中点，
,,, ,
，，
， ，
，， .
，， .
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（2）当四边形 是平行四边形时，如图（2），（1）中的结论都成立.请给出
结论②的证明.
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【解】过点作于点，连接，过点作 于点
，如图（2）.∵四边形是平行四边形， ，
，平分 ，
，， ，
， ，
，,,.又为 的中
点，，， ，
，， ，
.，， .
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