第9章 大招专题5 相似三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)
2026-06-01
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦相似三角形判定的常考模型，通过A字型、8字型、手拉手型等母题引入，结合模型解读与子题变式，构建“具体问题-抽象模型-应用拓展”的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。
其亮点在于以核心素养为导向，通过分类清晰的模型体系培养几何直观与抽象能力，结合中考真题和质检变式题发展推理意识，解析步骤化助力模型观念形成。例如A字型分情况讨论、手拉手型旋转应用，既提升学生模型应用能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。
内容正文：
数 学
八年级下册 LJ
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第九章 图形的相似
4
大招专
题5
相似三角形判定的常考模型
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刷难关
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难关
母题学大招19 A字型
（第1题图）
1.【2024北京昌平区期中，中】如图，在中， ，
，点为中点，点在上，当为_____时，
与以点，， 为顶点的三角形相似.
3或
【解析】为中点，当 时，
，， ；当
时，，， .综上，
或.故答案为3或 .
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大招解读 A字型
正A字型 斜A字型（共角） 斜A字型（共边）
____________________
已知： ；结论：
___________________
已知： ；结
论： _____________________
已知： ；结
论：
关键点拨
先得到，再分与 两种情况讨论即可解答.
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子题练变式
（第2题图）
2.【2025山东德州质检，中】如图，将的 边
与刻度尺的边缘重合，点，， 分别对应刻度尺上
的整数刻度.已知，， ，下列结
论不正确的是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】由题意得，，，， 四边形
为平行四边形，，， ，
，，，， .
故A选项符合题意.故选A.
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母题学大招20 8字型
（第3题图）
3.【2024重庆沙坪坝区调研，中】如图，在边长为 的
菱形中， ，过点作于点 ，现
将沿直线翻折至的位置，与 交于点
，则 等于_______.
【解析】在中， ，，， 由勾股定理得，
.根据翻折性质可得，.， 易证
，.设，则，解得 ，经检
验,是分式方程的解，故答案为 .
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大招解读 8字型
正8字型 斜8字型（蝴蝶型）
__________________________
已知： ；
结论： ________________________
已知： ；
结论：
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子题练变式
4.【2025上海宝山区校级期中，中】如图，中，点，分别是， 的
中点，与交于点.若，那么 的值是_ __.
（第4题图）
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【解析】如图所示，连接 点,分别是, 的中点，
为 的中位线，
，， 易得， .
设，则，， .又
，.又， ，
，，即， ，
，.故答案为 .
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母题学大招21 手拉手型
（第5题图）
5.【2024四川成都双流区质检，较难】如图，在 和
中， ，，为
的中点，，.将绕点旋转，直线， 交
于点，连接，则 的最小值是 _________.
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【解析】如图，取的中点，连接， ，则
，， ，
. ， ，
， ，
， ，
， ，
， .又为 的中点，
.为的中点，为的中点，， 的最
小值为.故答案为 .
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大招解读 手拉手型
和共顶点 ，通过两边成比例且夹角相等或利用旋转构造等角来判定
三角形相似.常见模型如下:
AD在△ABC内且拉手线CE
和BD无交点
AD在△ABC外且拉手线CE
和BD无交点
AD在△ABC外且拉手线CE
和BD有交点
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思路分析
取的中点，连接，，则 .由题意可知，
，进而可得，所以 ，根据四边形内
角和可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半可得出的长，根据中位线定理可得 的长，由此可得结论.
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子题练变式
6.【2024陕西汉中质检，较难】如图，已知正方形的边长为2，对角线 ，
相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线
时， 的长为 _______________.
或
（第6题图）
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【解析】①当在的上方时，， 是等腰直角三
角形， 易得 .
， ，
， ，
， .
，， ，
，， .
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②当在的下方时，如图所示.同理可证 ，
.， 易得
，. ，
，， ，
，.综上所述,的长为或 .
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关键点拨
根据正方形的性质和旋转的性质，推出，得到 是解题的
关键．
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母题学大招22 一线三等角型
7.［中］如图，正方形边长为4，，分别是， 上的
两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设 .
（1）求证： ；
【证明】在正方形中，， ，
.
在中， ， ，
.
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（2）当点运动到什么位置时？求此时 的值.
【解】 ， 要使，必须有 .由
（1）知，， 当点运动到 的中点时，
，此时 .
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大招解读 一线三等角型
如图，已知，，三点共线，且 .
（1）点在线段 上:
图（1）
图（2）
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（2）点在线段 的延长线上:
图（3）
图（4）
结论： .
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子题练变式
8.［较难］如图，在中，点，分别在边，上，连接， ，且
.
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（1）求证： ；
【证明】由题图，得 .在 中，
,, ,
．
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（2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且
是等腰三角形时，求 的长.
【解】， ，
是等腰直角三角形， .
， 由勾股定理得 .
①当时， ， ，
， . 点在上运动（点不与， 重
合）, 此情况不符合题意．
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②当时，如图（1），.由（1）易证 ，
， ．
③当时，如图（2）， ， 是等腰直角三角
形. , 易得 ，即 ，
．
综上所述， 或1．
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关键点拨
当是等腰三角形时，注意分，， 三种情况进行讨论.
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母题学大招23 射影定理（子母型）
9.［中］如图，在中， ，是斜边 上的高.
（1）求证： ；
【证明】， ，
.又 ， ，
.
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（2）求证： ；
【证明】 ，，， ，即
.
（3）若，，求 的长.
【解】， ，
，，， .
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大招解读 射影定理（子母型）
基本模型 结论
_______________________________
中，
刷有所得
在任意直角三角形中过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和原
直角三角形相似 .
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母题学大招24 十字型
10.【2025河北保定期中，较难】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的
线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完
成相应的证明和计算.
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【初步发现】
（1）如图（1），在矩形中，如果交于点，交于点 ，且
,那么 _______________________________________________________
_______________________________________________________________________
__________________________________________________________ （填“ ”“
”或“ ”）；
图（1）
【解】 四边形为矩形， ，
， ，
，，.故答案为 .
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【深入探究】
（2）如图（2），在矩形中，，分别交，于点， ，
分别交，于点，，求证： ；
图（2）
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图（1）
【证明】过作于，过作于，交于 ，
如图（1）.易得，， ，
, ,
， ，
.又 ,
， .
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【尝试应用】
图（3）
（3）在（1）的条件下，如图（3），在矩形中，点,
分别在边,上，点，分别在边，上，连接 ,
,且，若，求 的值；
【解】由（1）可知，，由（2）可知， ，
.
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【联系拓展】
（4）如图（4），在四边形中，若， ，
，，直接写出 的值.
图（4）
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图（2）
【解】.过点作交的延长线于，过点 作
交的延长线于，连接 ，如图（2），则易知四边
形是矩形，，， ，
，.又， ，
，， .又
，， ，
.设，则，，
， ，解得
，.由（1）可知， .
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大招解读 十字型
如图，在矩形中，点,分别在边,上，于 .
结论： .
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