专题03 一元二次方程（考题猜想，易错压轴必刷57题19种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

专题03 一元二次方程（易错压轴必刷57题19种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元二次方程的相关概念 · 题型二 一元二次方程解的估算 · 题型三 一元二次方程的一般式 · 题型四 由一元二次方程的解求参数 · 题型五 一元二次方程的解法 · 题型六 配方法的应用 · 题型七 根的判别式 · 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 · 题型九 一元二次方程根与系数的关系 · 题型十 换元法 · 题型十一 增长率问题 · 题型十二 与图形有关的问题 · 题型十三 营销问题 · 题型十四 动态几何问题 · 题型十五 其他问题 · 题型十六 一元二次方程解法压轴 · 题型十七 一元二次方程根与系数关系压轴 · 题型十八 一元二次方程应用压轴 · 题型十九 一元二次方程新定义问题 题型一 一元二次方程的相关概念 1．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 题型二 一元二次方程解的估算 4．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 5．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 6．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 题型三 一元二次方程的一般式 7．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 9．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 题型四 由一元二次方程的解求参数 10．已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 11．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 12．若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 题型五 一元二次方程的解法 13．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 14．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 15．解下列方程 (1) (2) 题型六 配方法的应用 16．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 17．代数式的最小值是 ． 18．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 题型七 根的判别式 19．已知整式． (1)化简； (2)若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 20．关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 22．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 23．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 24．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值． (2)求此时方程的根． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 25．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 26．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 27．已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 题型十 换元法 28．已知，求的值． 29．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 30．阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 题型十一 增长率问题 31．“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 32．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 33．为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 题型十二 与图形有关的问题 34．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 35．某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用．如图．为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504米2，问小路的宽是多少米？ 36．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 题型十三 营销问题 37．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 38．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 39．随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 题型十四 动态几何问题 40．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 41．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 42．如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？    题型十五 其他问题 43．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 44．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 45．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 题型十六 一元二次方程解法压轴 46．已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 47．已知，（其中）． (1)，求y与t的函数关系式； (2)求y的最大值． 48．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 题型十七 一元二次方程根与系数关系压轴 49．阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 50．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 51．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 题型十八 一元二次方程应用压轴 52．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 53．如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 54．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 题型十九 一元二次方程新定义问题 55．定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”． (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 56．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 57．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 一元二次方程（易错压轴必刷57题19种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元二次方程的相关概念 · 题型二 一元二次方程解的估算 · 题型三 一元二次方程的一般式 · 题型四 由一元二次方程的解求参数 · 题型五 一元二次方程的解法 · 题型六 配方法的应用 · 题型七 根的判别式 · 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 · 题型九 一元二次方程根与系数的关系 · 题型十 换元法 · 题型十一 增长率问题 · 题型十二 与图形有关的问题 · 题型十三 营销问题 · 题型十四 动态几何问题 · 题型十五 其他问题 · 题型十六 一元二次方程解法压轴 · 题型十七 一元二次方程根与系数关系压轴 · 题型十八 一元二次方程应用压轴 · 题型十九 一元二次方程新定义问题 题型一 一元二次方程的相关概念 1．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故不符合题意； B、由可化简为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、当时，则方程是一元二次方程，故不符合题意； D、由可变形为，是一元二次方程，故符合题意； 故选D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 题型二 一元二次方程解的估算 4．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 5．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 6．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 题型三 一元二次方程的一般式 7．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 8．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 9．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 题型四 由一元二次方程的解求参数 10．已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 11．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，再整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系． （1）将已知的方程的根代入原方程，通过解方程求出的值． （2）把求得的值代入原方程，确定完整的一元二次方程，再利用韦达定理，根据已知根求出方程的另一个根． 【详解】（1）把代入方程， 得到． 解得； （2）将代入原方程， 方程变为， 即，这里， 设方程的另一个根为，已知一个根， ，则， 可得， 则一元二次方程的另一个根． 题型五 一元二次方程的解法 13．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可； （2）移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可． （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用配方法求解即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，； （3） 或 解得，； （4） 解得，． 14．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）方程可变为，用因式分解法即可求解； （2）将方程去分母整理得，利用公式法即可求解； （3）先移项，用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：方程可变为， ， ∴， ∴， 解得； （2）解：去分母整理得，， ，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：方程移项得，， 因式分解得，， 解得，． 15．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解： 或， 解得：； （2）解： 或 解得 题型六 配方法的应用 16．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 17．代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 18．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 题型七 根的判别式 19．已知整式． (1)化简； (2)若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】(1)； (2)此方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查的是整式的加减运算，根据根的判别式判断方程根的情况； （1）去括号，合并同类项即可； （2）由题意可得，再利用根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：当时，． ； 此方程有两个不相等的实数根． 20．关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． （2）将代入方程， 可得， 解得． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)k的值为 (2)见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键． （1）把代入方程，从而可得答案； （2）证明即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入方程得， ， 解得：， 所以k的值为． （2）证明：因为 ， 又因为， 所以不论k取何值，方程总有实数根． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 22．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有两个相等的实数根时，判别式为0是解题的关键； 根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得方程的判别式为0，即可得到关于k的方程，解方程即可. 【详解】解：根据题意可得，方程的判别式， 即， 解得：； 故选：A. 23．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 24．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值． (2)求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用根的判别式为0，即可得出的值； （2）将代入方程，然后利用完全平方公式即可得解 此题主要考查根的判别式以及完全平方公式的运用，熟练掌握，即可解题． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得：； （2）当时，代入原方程得， 解得． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 25．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 26．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，代入，可求m的值． 【详解】（1）解：根据题意得，解得． 故m的取值范围为； （2）解：根据题意得， ∵， ∴， 解得． 27．已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意得：， ∴， 解得：． 题型十 换元法 28．已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 29．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 30．阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 题型十一 增长率问题 31．“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题中的等量关系是解题的关键．设每年拨款的增长率为，则2025年的拨款是2024的拨款乘以，2026年的拨款是2025年拨款乘以，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每年拨款的增长率为， 依题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每年拨款的增长率为． 32．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系列出方程． 设平均每次降价的百分率为，根据两次降价后的价格列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不合题意值已舍去） 所以，平均每次降价的百分率为． 33．为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 【答案】 【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的解法是解题的关键． 【详解】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为． 题型十二 与图形有关的问题 34．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 35．某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用．如图．为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504米2，问小路的宽是多少米？ 【答案】小路的宽是米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽为米，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设小路的宽为米， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽是米． 36．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 题型十三 营销问题 37．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设， 则原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去， ， 即， 答：的值为 38．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元. （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， . 答：售价应降低20元. 39．随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为元/个 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键． 设这种钥匙扣的售价应定为元/个，由钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，列出等式，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为元/个， 根据题意，得， 解得，， ∵这种钥匙扣的售价不能超过元/个， ． 答：这种钥匙扣的售价应定为元/个． 题型十四 动态几何问题 40．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 41．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 42．如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？    【答案】运动秒时，能使的面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 题型十五 其他问题 43．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 44．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 45．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 【答案】问题一：7场；问题二：场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平场是场，再列出一元一次方程，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行场比赛，即可作答． 【详解】解：问题一：∵有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分， ∴负场为0， ∴设这支球队胜的场次是场，则平场是场， 依题意得， 解得 ∴这支球队胜的场次是7场； 问题二：设报名队伍为， 则， ∴（负值已舍去）， ∵把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组， ∴， 即每个小组有5支报名队伍， 则（场）， ∴（场）， ∵小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴共有支队伍进入淘汰赛， ∴淘汰赛需要进行场比赛， ∴（场）， ∴这种方案共需要场比赛决出冠军． 题型十六 一元二次方程解法压轴 46．已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 47．已知，（其中）． (1)，求y与t的函数关系式； (2)求y的最大值． 【答案】(1)； (2)的最大值为． 【分析】本题主要考查配方法的应用、函数关系式、基本不等式，熟练掌握（当且仅当时取等号）是解题关键． （1）将原式的分子和分母中的括号去掉，分子分母再同时除以得，分母再根据配方法得，最后将用替换即可解答； （2）根据基本不等式得，以此即可求得的最大值． 【详解】（1）解： ， ，， ； （2）解：， ，当且仅当，即时等号成立， ， 即的最大值为． 48．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 题型十七 一元二次方程根与系数关系压轴 49．阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 50．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 51．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 题型十八 一元二次方程应用压轴 52．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 53．如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当与的边平行时，或或或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据题意表示出，即可求解； （2）分当落在上时，当在上时，得出四边形是矩形，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）同（2）分两种情况讨论，根据题意得出或；或，建立方程解方程，即可求解； （4）根据题意，分四种情况讨论，找到等量关系，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∴ ∵在上的速度为每秒1个单位， ∴重合时， ∵在上的速度变为每秒个单位， ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示，当落在上时， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴，则 ∴ 解得： 如图， 当在上时， 同理可得四边形是矩形，，则 ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，当点落在的边上时，或 （3）解：如图所示，当在上时，设，交于点，此时 在中，，，则 ∴ ∵，则 ∴ ∴， 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去） 如图，当在上时，设，交于点，此时 在中， ∴， 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 （4）解：如图所示，当在上时，设，交于点，交于点，连接，此时 当时， ∴ ∴，则 由（3）可得， ∴ ∵，则 在中，，则 ∴ ∴ ∴ 解得： 如图所示， 时，在上时，此时 延长交于点， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时 延长交于点， 同理可得，即 ∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时，设交于点，交于点， ∵， ∴ 依题意，， ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵ ∴ 解得： 综上所述，当与的边平行时，或或或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 54．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 题型十九 一元二次方程新定义问题 55．定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”． (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)；存在， 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义． （1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”； （2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而； ②设直线上的点C坐标为，由，有且只有一个点C落在直线上，可得有两个相等实根，故，解方程即可得出的值． 【详解】（1）证明：作的中线，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为“中根三角形”； （2）解：①过B作于K，如图： ∵为的“中根线”，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的面积为； ②存在，理由如下： 如图： 设直线上的点C坐标为， ∵为的“中根线”，， ∴， ∵有且只有一个点C落在直线上， ∴有两个相等实根， 即有两个相等实根， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． 56．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 57．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． $$