8.3 用公式法解一元二次方程-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)

该初中数学课件聚焦八年级下册“一元二次方程”，核心涵盖求根公式、公式法解法及根的判别式。课堂导入从回顾方程一般形式切入，通过实例推导求根公式，结合解题步骤应用公式法，延伸至根的判别式，构建连贯知识支架。 其亮点是分层设计（刷基础、提升、素养），融入魔术盒、菱形边长等生活情境题，开放性试题培养创新意识，落实运算能力与推理意识。归纳总结步骤清晰，例题解析详尽，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

数 学 八年级下册 LJ 1 2 3 第八章 一元二次方程 4 3 用公式法解一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的求根公式 1.【2025山东泰安期末】在用求根公式 求一元二次方程的根时，小 慧同学正确地代入了，，，得到 ，则她求解的一元二次 方程是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得，，，， 该一元二次方程为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2024山东德州质检】用公式法解方程，其中求得 的值是____. 64 【解析】，， ， ，， .故答案为64. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 用公式法解一元二次方程 3.【2024河北张家口期末】利用公式法解一元二次方程 得到的两 个根分别为，，且，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，， . 一元二次方程的两个根分别为，，且，的值为 . 故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 进入其中，会得到一个新的实数 ，若将实数对放入其中，得到一个新数为5，则 _________ _______________. 或 【解析】根据题意，得，即， ， ，，则 . 故答案为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.用公式法解下列方程： （1） ； 【解】，，， ， ，， . （2）【2025黑龙江哈尔滨期末】 ； 【解】，，， ， , ,即， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3） . 【解】原方程可化为，， ， ，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 归纳总结 用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定，， 的值（注意符号）；②求出的值（若 ，方程无实数根）；③ 在的前提下，把，， 的值代入公式进行计算，求出方程的根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识点3 一元二次方程根的判别式 6.一元二次方程 的根的情况为( ) A A.无实数根 B.有两个不等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能判定 【解析】 ， 无实数根.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 7.若关于的方程有实数根，则 的取值范围是( ) B A. B. C.且 D.且 【解析】当，即时，方程为，解得；当 时，根据题意得，解得且 .综上所 述，的取值范围为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 8.【2025山东淄博期末】已知四边形是菱形，其两边,的长是关于 的 一元二次方程的两个实数根，则 的值为( ) D A. B. C. D.1 【解析】 四边形是菱形，,的长是关于 的一元二次 方程的两个实数根， 一元二次方程 有 两个相等的实数根.将变形为 ,则 ，即 ，解得 ．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 思路分析 根据菱形的性质可知，利用根的判别式可求出 的值． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 9. 开放性试题【2025河南郑州质检】 请写出一个关于 的一元二次方程， 并满足以下两个条件：①二次项系数为 ；②方程必须有两个不相等的实数根.这 个一元二次方程可以是______________________________________． （答案不唯一） 【解析】 方程必须有两个不相等的实数根，．又 二次项系数为， 不妨令，， 满足条件的这个一元二次方程可以是 ．故答案为 （答案不唯一）． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 10.【2025山东烟台期中】已知关于 的一元二次方程 （ 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； 【解】 一元二次方程 有两个不相等的实数根，且，且， 的取值 范围是且 . （2）求证：无论 为何值，方程总有一个固定的根． 【证明】由求根公式得 ， ，， 无论 为何值，方程 总有一个固定的根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 1.【2024山东淄博调研，中】小刚在解关于的方程 时， 将其抄成了，得到一个解是 ，则原方程的根的情况是 ( ) B A.不存在实数根 B.有两个实数根 C.有一个根是 D.不确定 【解析】把代入得， .把 代入方程 得 ， 方程 有两个实数根.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 2.［中］探讨关于的一元二次方程 总有实数根的条件，三名同 学给出结论：甲：，同号；乙：；丙： .下列说法正 确的是( ) B A.甲、乙、丙都正确 B.只有甲不正确 C.甲、乙、丙都不正确 D.只有乙正确 【解析】，.若,同号，令， ， 此时，方程没有实数根， 甲错误；若 ，即 ，，方程总有实数根， 乙正确；若 ，即， ，方程总有 实数根， 丙正确，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 3. 【2025浙江宁波期中，中】如图，在矩形中，以点为圆心， 长 为半径作弧与交于点，以点为圆心，长为半径作弧与交于点 ．设 ， ，则( ) A A.线段的长是方程 的一个解 B.线段的长是方程 的一个解 C.线段的长是方程 的一个解 D.线段的长是方程 的一个解 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】 四边形为矩形，， ， .由作法得，， ， .解方程得 ，故A符合题意； 解方程得，故B不符合题意；解方程 得，故C不符合题意；解方程 得 ，故D不符合题意．故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.【2024山东济宁质检，中】如图，点在数轴的负半轴上，点 在数轴的正半轴 上，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则 的值为 _ _____. 【解析】根据题意，得，整理，得 ， ，， ，则 ，，. 点 在数轴的负半轴上， ，即，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 5.【2024山东潍坊期末，中】已知整数满足，若关于 的一元二次方 程的根为有理数，则 的值为__________. 2或6或12 【解析】，， ， ，. ， 一元二次方程的根为有理数，为有理数. 为整 数，或25或49， 或6或12.故答案为2或6或12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 思路分析 根据一元二次方程的求根公式，求出方程的根，再根据方程的根为有理数和整数 的取值范围，进行解答即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.［中］已知关于的方程 . （1）求证：不论 取什么实数值，这个方程总有实数根; 【证明】当时，方程为一元一次方程，必有实数根.当 时，方程为一元 二次方程，， 一元二次方程有两个实数根.综上， 不论 取什么实数值，这个方程总有实数根. （2）当为何整数时，关于的方程 有两个整数根？ 【解】 方程有两个整数根， 方程为一元二次方程，即 .解，得,则 或 . 又为整数，或， 或2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 注意 当给出的方程没有说明为一元二次方程时，注意讨论二次项系数是不是0. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 刷素养 7.核心素养 运算能力【2025河北衡水质检，较难】 对于任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个 位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如： ，因为 ，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（，， 为小于10的正整数）， 请直接写出，， 所满足的关系式：_____________；判断241______（填“是” 或“不是”）“喜鹊数”. 不是 【解】是“喜鹊数”， ，即 ，，， 不是“喜鹊数”.故答案为 ，不是． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）利用（1）中“喜鹊数”中的，， 构造两个一元二次方程 与，若是方程①的一个根， 是 方程②的一个根，求与 满足的关系式. 【解】是一元二次方程的一个根， 是一元二次方程 的一个根，，， .将 两边同除以得， 可将， 看成是方程 的两个根.， 方程 有两个相等 的实数根，，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （3）在（2）的条件下，若，求出满足条件的所有 的值． 【解】，，，， ， ，，解得， 满足条件的所有 的值 为121，242，363，484． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 $