8.4 《用因式分解法求解一元二次方程》课件2024-2025学年鲁教版(五四制)八年级数学下册

8.4 用因式分解法求解一元二次方程 1、连一连 知识回顾 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 原理：如果ab=0，那么a=0或b=0 一元二次方程 两个一元一次方程 转化 （1）5X2=4X 解下列一元二次方程 例1 解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0 X=0或5X-4=0 X1=0, X2= （2）X-2=X(X-2) 解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1. (3)(X+1)2-25=0 解：原方程可变形为 [(X+1)+5][(X+1)-5]=0 (X+6)(X-4)=0 X+6=0或X-4=0 X1=-6, X2=4. (4)x²+4=4x 解：原方程可变形为 x²+4x+4=0 (x+2)²=0 x+2=0 x=-2 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 温馨提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是:熟练地进行因式分解; 3.理论依据是:"若A·B=0，则A=0或B=0". 因式分解法的定义 例 小华，小丽解方程x(x-2)=x-2,谁解法是正确的？ 小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1 小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会造成丢根 一 移项------方程右边=0 二 分解因式------方程左边因式分解 三 化------一元二次方程转化为两个一元一次方程 四 解------写出方程的两个解 ．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是(　 　) A．x＝2　　　 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3　　 　D．x1＝2，x2＝－3 D 下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (1) x1=0,x2=2； (2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2,x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0,x2=1. 解下列方程。 例题 （1）5X2=4X （2）X-2=X(X-2) (3)(X+1)2-25=0 课本练习 解下列方程： （1）(X+2)(X-4)=0 （2）X2-4=0 解： X+2=0或X-4=0 ∴X1=-2,X2=4. 解： X2=4 (3）4X(2X+1)=3(2X+1) 解：原方程可变形为 4X(2X+1)-3(2X+1)=0 ∴(4X-3)(2X+1)=0 ∴4X-3=0或2X+1=0 例 ．选择合适的方法解下列方程： (1)2x2－5x＋2＝0；　 (2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)；　　 (3)3(x－2)2＝x2－2x. 分析： (1)题宜用公式法； (2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法； (3)3(x－2)2＝x·(x－2)用因式分解法． 典例讲解 例 用因式分解法解下列方程： 分析： (1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0； (2)先把右边化为0，即7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系； (3)应用平方差公式． (1)5x2＋3x＝0；　 (2)7x(3－x)＝4(x－3)；　 (3)9(x－2)2＝4(x＋1)2. 解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0， 于是得x＝0或5x＋3＝0， (2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0， 因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0， 于是得x－3＝0或－7x－4＝0， (3)原方程化为9(x－2)2－4(x＋1)2＝0， 因式分解，得[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0， 即(5x－4)(x－8)＝0， 于是得5x－4＝0或x－8＝0， 解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2， b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0， 解：(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0， 因式分解，得(1－x)(5－x)＝0， 即(x－1)(x－5)＝0，x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝5； (3)原方程变形为3(x－2)2－x(x－2)＝0， 因式分解，得(x－2)(2x－6)＝0， x－2＝0或2x－6＝0，x1＝2，x2＝3. 例3 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得， x 1= 0 , x2= （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1； 分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 解：化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). $$