第11章 重难专题2 全等三角形的综合-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制·新教材)

该初中数学课件聚焦全等三角形综合应用，涵盖判定、性质及与动点、坐标系结合等内容。通过上海崇明区期中题等典型例题导入，衔接三角形证明基础，以例题解析、思路分析为支架，引导学生从基础到综合探究。 其亮点在于精选各地期末真题，注重分类讨论与辅助线构造，如山东济南期末题通过延长线段证全等，培养推理能力与几何直观。结合军事演习等实际情境，发展数学眼光，助力学生提升综合解题能力，为教师提供丰富教学资源与思路指导。

数 学 七年级下册 LJ 1 2 3 第十一章 三角形的证明及其应用 4 重难专 题2 全等三角形的综合 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 与全等有关的探究 1.【2025上海崇明区期中，较难】如图（1），，， ， 垂足分别为，，.点在线段上以的速度由点向点 运动， 同时点从点出发在射线上运动．点,的运动时间为（当点运动到点 处时停止，点 运动也随之停止）． 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与 是否 全等？此时线段和线段 有怎样的位置关系？请分别说明理由. 【解】当时，与全等，此时线段和线段 的位置关系是 .理由如下： 点的运动速度与点的运动速度相等，都是 ，且 ，，， ， .又，， ， .在与 中， ，.在 中， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）如图（2），若“，”改为“”，点 的运动 速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与 的值． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解】依题意得，. ， . , 当，时，，由 ， 得，解得，由，得，解得 . , 当，时，，由 ， 得，解得，由，得，，解得 . 综上所述，当与全等时，,或, . 关键点拨 分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 2.【2025山东济南期末，较难】【问题背景】 图（1） （1）如图（1），在四边形中，， ， ，，分别是，上的点，且 ， 试探究线段，， 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方 法如下：延长到点，使，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论 应是______________. 【解析】由题意得，， ， ．故答案为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【探索延伸】 （2）如图（2），在四边形中，若， ，， 分别 是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 【解】仍然成立．理由：延长到点，使，连接 . ， ，.在 和 中， ， ， . 又 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 ，．在和 中， ， . 又， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 延长到点，使，连接，即可证明 ，可得 ，,再证明，可得 ，即可解题． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 【实际应用】 图（3） （3）如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 （处）北偏西 的处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰 艇甲向正东方向以70海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏 东 的方向以90海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观 测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且 ，试求此时两舰艇之间的距离． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 【解】如图，连接，过点作于点 .由题意得 , , , ， ， ， 舰艇甲从 处向正东方向以70海里/时的速度 航行2小时至处，，（海里）， ， 舰艇乙从处沿北偏东 的方向以90海里/时的速 度航行2小时至处， ， （海里）， ， ，则由 （2）的结论可得 （海里），故此时两舰艇之间 的距离为320海里. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 3.【2025山东烟台期末，较难】在等腰中，，点，在射线 上，，过点作，交射线于点 ．请解答下列问题： 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （1）如图（1），当点在线段上，平分时，线段，， 之间存 在怎样的数量关系？ 小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长， 交于一点， 从而很快地解决了问题．请你据此写出结论并写出证明过程. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），延长 ， 交于点， ， ，， 平分 ，，即 ， ， ， ，， ， ，.又， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （2）如图（2），当点在线段的延长线上，平分 时，若 ，则 ___.（直接写出结果） 6 图（2） 【解析】如图（2），延长，相交于点 ， ，， ， ， ， ，.又 ， ，， ， 平分，，即 ， ，，， ， ，， .又 ， ，故答案为6. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （3）如图（3），当点在线段的延长线上，是 的外角平分线时，线 段，， 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 图（3） 【解】.证明如下：如图（3），延长与 相交于 点，， ， .又，， 平分，， ， ，，， ， ，， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 4.【2025山东淄博期末，较难】【问题情境】是等边三角形，点是 边 上一点，点在边的延长线上，且，连接 ． 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【猜想证明】 （1）如图（1），若点是的中点，连接，则与 的数量关系为 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【解】是等边三角形， ， 点是的中点， , ，， 是的外角，， ， ，.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （2）如图（2），当点为边上任意一点时，（1）中与 的数量关系是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 图（1） 【解】仍然成立.证明如下：过点作交于点 ，如图 （1）所示,则 ， ， 是等边三角形， ， ， ，即 ， ， ， .在 和 中， ， ，中与 的数量关系仍然成立. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【问题解决】 （3）如图（3），在（2）的条件下，取的中点，连接，， ．若 ，求 的面积． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 图（2） 【解】延长到，使，连接，取的中点 ，连 接，如图（2）所示. 点是的中点， .在 和中， ， ， ， ， ， ， ， .在和 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 ， ， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，即 ， 是等边三角形， ， , ， 是的外角， ， ， .在 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 中，， ，由勾股定理得 ， 的面积为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.【2025山东东营期末，较难】如图，，两点的坐标分别为， ，且 ，满足，点的坐标为 ． 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （1）如图（1），判断 的形状. 图（1） 【解】如图（1），过点作 于 ，， ， ，,, 点的坐标为 ， ，，为线段 的垂直平分线， ， 为等腰三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段上运动，另一动点 同时从点出发，以3个单位长度/秒的速度在射线上运动，运动时间为 秒． ①如图（2），若，直线交轴于点，当时，求 的值； 图（2） 【解】如图（2），作交于 ， ，.又 ， ，， .由（1） 得，，， ， .由题意得，，， ， 解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 思路分析 作交于，证明，则 ，根据等腰三 角形的性质及平行线的性质得，得出 ，根据线段的相等关 系列出关于 的方程，解方程即可； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 ②如图（3），若，当点运动到中点处时，连接,为 上一点， 连接，作交于点，试探究和 的数量关系，并给出证明． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 【解】．证明：如图（3），延长交于 . 图（3） ， ， , ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 .又，， ， ， ， ， ， ， .在和中， ， ． 思路分析 延长交于，先由点，的坐标得出 ，根据坐标求出 ，推出 ，结合得出 ，证出 即可得出结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 类型2 全等与一次函数的综合 6.【2025四川成都质检，较难】如图，一次函数的图象与轴交于点 ， 与轴交于点，直线交轴于点，且过中点 ． 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 （1）求,两点的坐标及直线 的函数表达式； 【解】， 当时，，当时，， ， 为的中点，.把代入，得 ，解 得， 直线的函数表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 （2）点为直线上一动点，当的面积为6时，求点 的坐标； 【解】， 当时，，， ， 点为直线上一动点， 的面积为6， 当点与点重合时，满足题意，此时；当点在点 上方时，设 .由题意得 ， 解得， . 综上可得，或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 （3）在坐标平面内找一点，使得以点,,为顶点的三角形与 全等，请 直接写出点 的坐标． 【解】或或或 .如图，当 时，，， 当点与点 重合时， 满足题意，此时.由对称的性质可知，当点与点关于 轴对称时，满足题意，此时.当 时， ,， . 过点作轴于，过点作轴于 ，则 ，，，,, ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 ，， ， ,， 点与原点重合，.易知关于 轴的 对称点也符合题意， . 综上可得，或或或 ． 易错警示 注意分当时和当 时两种情况分别求解， 不要漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $