11.4 课时1 勾股定理及其逆定理-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制·新教材)

该初中数学课件聚焦直角三角形的勾股定理及其逆定理，从基础概念辨析（如判断三角形是否为直角三角形）到实际应用（如点到直线距离、图形面积计算），通过“刷基础”“刷提升”分层设计，搭建从知识点理解到综合运用的学习支架。 其亮点在于融入生活情境（如学校空地分割）和跨学科问题（如蚂蚁爬行最短路径），培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过推理证明（如折叠问题中的角度计算）和数学语言表达（公式推导与几何直观），发展推理能力与应用意识。学生能提升解决实际问题的能力，教师可借助分层练习与素养题优化教学效果。

数 学 七年级下册 LJ 1 2 3 第十一章 三角形的证明及其应用 4 4 直角三角形 课时1 勾股定理及其逆定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 勾股定理及其逆定理 1.若的三边长分别为,,,下列给出的条件不能使 是直角三角形的 是( ) C A. B.，， C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】， 是直角三角形，故A不符合题意； ， 是直角三角形，故B不符合题意； ， ， ， 不是直角三角形，故C符合题意；， ， 是直角三角形，故D不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第2题图） 2.【2024河北唐山模拟】如图，在 中， ，，，则点到 边的距离为 ( ) C A.6 B.8 C. D. 【解析】过点作于 ， ， ， .由三角形面积公式可得 ，，即点到边的距离为 ．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第3题图） 3.如图，图中的小正方形的边长为1， 的三个顶点都在小正 方形的顶点上，则与 的长度和为( ) A A.12 B.16 C.7 D.5 【解析】由题图可得，由勾股定理得 ， 则与的长度和为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2024山东济宁质检】如图，的直角边在数轴上，点 表示的数为 ，以为圆心，的长为半径作弧交数轴的负半轴于点．若， ， 则点 表示的数为__________． （第4题图） 【解析】由题意得，则. 点表示 的数为，且点在数轴的负半轴上，点表示的数为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第5题图） 5.如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边 ， 则图中阴影部分的面积为___. 【解析】是直角三角形， ， ， 题图中阴影部分的面积为 ， 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.如图，学校有一块三角形空地 ，计划将这块三角形空地 分割成四边形和 ，分别摆放“秋海棠”和“天竺 葵”两种不同的花卉.经测量， ， ， ，，， . （1）求 的长； 【解】在中， ，， ， ，.故的长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （2）求四边形 的面积. 【解】连接.在中，， ，则 ， ， ，， 是直角三角形， ， 又 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点2 互逆命题、逆定理 7.【2025广东河源质检】下列命题的逆命题是真命题的是( ) D A.若，则 B.全等三角形的对应角相等 C.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D.直角三角形的两个锐角互余 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】若,则的逆命题为若，则 ，是假命题，故A不符 合题意；全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，是假命 题，故B不符合题意；如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为绝对值 相等的两个数相等，是假命题，故C不符合题意；直角三角形的两个锐角互余的逆 命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故D符合题意．故选D． 刷有所得 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论 又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题．其中一个命题称为另一 个命题的逆命题． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.【2024山东菏泽质检】下列定理中，不存在逆定理的是( ) D A.等边三角形的三个内角都等于 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等 C.等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 D.对顶角相等 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解析】等边三角形的三个内角都等于 的逆命题是三个内角都等于 的三 角形是等边三角形，是真命题，故其存在逆定理，故A不符合题意；在一个三角形 中，如果两边相等，那么它们所对的角相等的逆命题是在一个三角形中，如果两 角相等，那么它们所对的边相等，是真命题，故其存在逆定理，故B不符合题意； 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边的逆命题是三角形一个内角的平分线垂直 平分这个角的对边，这个三角形是等腰三角形，是真命题，故其存在逆定理，故C 不符合题意；对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故其不存在 逆定理，故D符合题意．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 9. 开放性试题 【2024山东济南调研】写出符合下列条件的一个原命题： （1）原命题和逆命题都是真命题； 【解】两直线平行，内错角相等（答案不唯一）． （2）原命题是假命题，但逆命题是真命题； 【解】相等的角是对顶角（答案不唯一）． （3）原命题是真命题，但逆命题是假命题; 【解】所有直角都相等（答案不唯一）． （4）原命题和逆命题都是假命题． 【解】内错角不相等，两直线平行（答案不唯一）． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.【2024山东淄博校级期中，中】如图，，是 上 异于，的一点，则 的值是( ) A A.16 B.20 C.25 D.30 【解析】过点作于点，则 , ， ，， ， ， ， ， ， ．故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 关键点拨 过点作于，在与 中，运用勾股定理可得到 ， 根据等腰三角形三线合一的性质以及线 段之间的和差关系得到 是解题的关键． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2. 【2025河南周口期末，较难】如图（1）所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图（2）所示的 几何体，一只蚂蚁沿着图（2）所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距 离为( ) D 图（1） 图（2） A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】将题图（2）所示的几何体表面（部分）展开，得到如图所 示的图形.连接,.由题意可知， 是等腰直角三角形， 是等边三角形.设交于点，当蚂蚁沿着 的路 线爬行时，距离最短.，， 垂直平分 .在中， ， ，.在 中，由勾股 定理得.在 中，由勾股定理得 . 从顶点爬行到顶点的最短距离为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.［中］已知中，，，，点是 上的一个动点， 则线段 长的最小值是_ __. 【解析】，，，, 是 直角三角形.当时，线段 最短.由三角形面积公式得 ,即,解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 4.［中］如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，网格中有一个三角形 ， 点，，在小正方形的顶点上，则____ . 45 【解析】设每个小正方形的边长均为1.如图,延长 至格点 ，连接，则 ， ，, ， 是等腰直角三角形， ， . 故答案为45. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 关键点拨 延长至格点，连接，根据勾股定理及其逆定理证明 , ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5.【2025江西吉安期末，较难】已知在平面直角坐标系中， ， ，点在轴上运动，当点与，， 三点中任意两点构成直角三角形时， 点 的坐标为_ ___________________． 或或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】 点，，在轴上，，，三点不能构成三角形, 和 能为直角三角形.设点的坐标为．若 为直角三角形，①当 时，易知点在原点处，坐标为；②当 时， ，，解得， 点 的坐标 为.若为直角三角形，①当 时，易知点 在原点处，坐标 为；②当 时，易知是等腰直角三角形. ， ， 点的坐标为．综上所述，点的坐标为或 或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.［中］小王将两张直角三角形纸片进行如下的操 作： 操作一：如图（1），已知 ，将 （1）如果，，可求得的周长为____ . 14 【解析】在中，，，根据勾股定理，得 . 由折叠知， 的周长为 .故答案为14. 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，展开后得到折痕 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）如果，可求得 的度数为____. 【解析】设 , ，则 ,即 ，解得 , .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 操作二： （3）如图（2），小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线 折叠，使 它落在斜边上，且与重合，若，，请求出 的长. 【解】在中，， ，根据勾股定理，得 ，则.由折叠知 , ，.设 ，则 ，.在 中，根据勾股定理，得 ，即，解得， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 刷素养 走向重高 7.核心素养推理能力［难］如图，在平面直角坐标系中，等腰 直角三角形的直角边在轴上，点 在第一象限，且 ，以点为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形 ，再以点为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角 形, ,以此规律，则点 的坐标是___________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】 ，，以 为直角边作等腰直角三角形 ，再以为直角边作等腰直角三角形， ， ， ，， ，，， 的位置每8 个一循环，， 点在 轴负半轴上， ， 点的坐标为 . 关键点拨 根据等腰直角三角形的性质，利用点的变化规律即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $