11.3 课时2 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制·新教材)

该初中数学课件聚焦第十一章“三角形的证明及其应用”，核心覆盖等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质及反证法应用，通过“刷基础-刷提升-刷素养”分层设计，以各地期末真题为导入，搭建从等腰三角形性质到特殊三角形应用的学习支架。 其亮点在于融合推理能力与几何直观，如通过山东日照调研题中三角尺与等边三角形的角度计算培养逻辑推理，结合反证法技巧总结强化数学思维。分层题目适配不同学情，学生可提升问题解决能力，教师能直接利用真题解析与分层设计优化教学。

数 学 七年级下册 LJ 1 2 3 第十一章 三角形的证明及其应用 4 3 等腰三角形 课时2 等边三角形的判定与含 角的直角三角形的 性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等边三角形的判定与性质 1.【2025安徽芜湖期末】根据下列条件，不能得到等边三角形的是( ) C A.有两个角是 的三角形 B.有一个角是 的等腰三角形 C.有两个角相等的等腰三角形 D.腰长和底边长相等的等腰三角形 【解析】有两个角是 的三角形，那么第三个角也是 ，故是等边三角形， 故A选项不符合题意；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故B选项不符 合题意；有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故C选项符合题意； 腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第2题图） 2.【2024山东日照调研】如图， 是等边三角形，两个锐角都 是 的三角尺的一条直角边在上，则 的度数为( ) D A. B. C. D. （第2题图） 【解析】如图.为等边三角形， .又 ， ．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第3题图） 3.【2024山东东营调研】如图，已知 ，为 边上一 点，，为线段的中点，以点为圆心，线段 长为半 径作弧，交于点，连接，则 的长是___． 5 （第3题图） 【解析】连接 ，如图.由题意可得 ， 是等边三角形， ，， ．故答案为5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2025山东德州期中】如图，在中，，点在边 上，连接 ，，是延长线上一点，且，，连接 ． （1）求 的度数； 【解】，， ， ，， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）求证： 为等边三角形． 【证明】,， 易证,， 为等 腰三角形，平分， ， 为等边三角形． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 含 角的直角三角形的性质 （第5题图） 5.【2024河北唐山二模】如图，在等边中， ， ，，则 ( ) B A.1 B.2 C. D. 【解析】是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （第6题图） 6.如图，在中， ， ， 是斜 边上的高，，那么 的长为( ) C A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】， ， ， ， ， ，， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 7.【2025江西鹰潭期中】如图，在等边中，点，分别在边， 上， 且，过点作，交的延长线于点 ． （1）求 的度数； 【解】是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形.在 中， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （2）若，求 的长． 【解】 ， ， ， 是等边三角形，.在中， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 知识点3 反证法的应用 8.【2024山东青岛质检】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角 不大于 ”时，首先应假设这个直角三角形中( ) A A.两个锐角都大于 B.两个锐角都小于 C.两个锐角都不大于 D.两个锐角都等于 【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时， 应先假设两个锐角都大于 ．故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 技巧总结 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论 证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题的结论成立. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 9.【2025河南周口商水期末】用反证法证明：等腰三角形的底角必定 是锐角．已知：如图，在中，．求证：， 必为锐 角． 【证明】假设，都不是锐角，即， 为直角或钝角. ，.当，都是直角，即 时， ，这与三角形内角和定理相矛盾;当, 都是钝角， 即 时， ，这与三角形内角和定理相矛盾. 综上所述，假设不成立，， 必为锐角． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 （第1题图） 1.【2025河北唐山期末，中】如图，在 中， ， ，点是边 上的任意一点，则 的长不可能是( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 （第1题图） 【解析】如图，过点作于 ， ， .在 中，， ，则 .根据垂线段最短可知,的最小值为6， 的长不可能 是5，故选A． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 思路分析 过点作于,根据等腰三角形等边对等角的性质求得 ， 然后根据直角三角形中 的角所对的直角边等于斜边的一半求得 ，再根 据垂线段最短可知 的最小值为6，即可解题． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第2题图） 2.【2025广东深圳期中，中】如图， ， 平分 ，且．若点，分别在射线，上，且 为等边三角形，则满足上述条件的 有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 （第2题图） 【解析】如图，过点作于，于 ,连接 平分，于，于 ， ， ， ， ， 此时 是等边三角 形．当沿方向移动，沿方向移动，使得 时，连接 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 , ．在 和 中， , ,是等边三角形．由此可得，当沿方向移动，沿 方向移动时，存在无数个满足条件的等边．同理可得，当沿 方向移 动，沿方向移动时，也存在无数个满足条件的等边 ．综上，满足条件 的 有无数个．故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.［较难］如图， ，点在射线上，且，点在射线 上. 若是锐角三角形，则 的取值范围是___________. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】如图，过点作，垂足为，，交于点 . 在中，， ， , .在 中，， ， ,.当点在和 之间时，是锐角三角形，的取值范围是 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 思路分析 当点在射线上运动时， 的形状可能是钝角三角形、直角三角形或锐角 三角形．画出相应的图形，根据三角形的变化，构造含 角的直角三角形，即 可得到 的取值范围． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 4.【2025福建龙岩期末，较难】如图，一面镜子斜着固定在地面 上， ，点为距离地面的一个光源，射出的光线经过镜面 处反 射到地面点（即），当光线经过的路径长为时， 的长为 ______． （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】如图，作点关于的对称点，过点作 于 点，交于点，则 ，过点 作于， 易知 ， 由题意得 思路分析 作点关于的对称点，过点作于点，交于点 ，得出 ,过点作于 ，根据题意推出 为等边三角形即可求解． . 又 ， ，是等边三角形， ， ，故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 5.【2025陕西西安期中，中】已知在中，是的中点，是 延长线上 的一点，连接， ． 图（1） 图（2） （1）如图（1），若 ， ，，试判断与 的 位置关系，并说明理由； 【解】.理由： ， ， ， ，，是等边三角形.是 的中点， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）过点作，交延长线于点，连接 ，如图（2）所示，若 ，，试说明： ． 【解】，是的中点， .又 ，， ， ，.又， ， 是等边三角形，，， ．又 ， ，， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力［难］如图，在等边三角形中，点是边 上一定点， 点是射线上一动点，以为一边作等边三角形，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【问题解决】 如图（1），点与点重合，求证： . 【证明】和是等边三角形，， ， ，，即.在 和 中，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 【类比探究】（1）如图（2），点在边上，求证： ； 【证明】如图（1），在上截取，连接 是等边 三角形， ，是等边三角形， ， 是等边三角形，， ， ， . 在和中， ，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）如图（3），点在边的延长线上，请探究线段，与 之间存在怎 样的数量关系，直接写出你的结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 【解】线段，与 之间的数量关系是 是等边三角形， .过点 作，交的延长线于点 ，如图（2）所示. ， ， ， 为等边三角形，， 为等边三角 形，， ，.在和 中，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $