11.4　直角三角形课件 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级下册

4　直角三角形 第1课时　勾股定理与互逆命题 知识点1 勾股定理 直角三角形_________________等于___________． 知识点2 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的_______等于_____________，那么这个三角 形是直角三角形． 符号语言：如图，在△ABC中， ∵__________， ∴△ABC是直角三角形． 两直角边的平方和 斜边的平方 平方和 第三边的平方 a2＋b2＝c2 知识点3 互逆命题与互逆定理 1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的___________分 别是另一个命题的___________，那么这两个命题称为互逆命 题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为 它的逆命题．例如，原命题：两直线平行，同位角相等；逆命 题：同位角相等，两直线平行． 条件和结论 结论和条件 2．互逆定理：如果一个定理的_______经过证明是_______，那 么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理． 【注意】 (1)任何一个命题均有逆命题．(2)原命题是真命题时，逆命题不 一定是真命题．(3)不是所有的定理都有逆定理． 逆命题 真命题 考点1 勾股定理 典例1 [2024·防城区期中]《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝2寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是( ) A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸 思路导析 设BF为x寸，则BD＝(x＋1)寸，DF＝10寸，根据勾股定理列方程求解即可． 变式1 [2025·惠州期末]如图1是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为13，AE的长为5，则小正方形的边长EF为( ) A．7 B．6 C．5 D．12 变式2 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD， AB＝5，CD＝ ，则BC2＋AD2＝___． 38 考点2 勾股定理逆定理 典例2 如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E，F分别 是BC，CD边上一点，且BE＝1，CF＝2，则图中的直角三角形 有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 思路导析 根据已知可得CE，DF，根据勾股定理可得AF2，AE2， EF2，根据勾股定理的逆定理，可判断△AFE的形状，从而可得 直角三角形的个数． 变式1 如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中， 有三条线段a，b，c(线段端点都在格点上)，以这三条线段为 边能否组成一个直角三角形？答：_____(填“能”或“不能”)． 不能 变式2 如图是一块试验田，已知CD＝3 m，AD＝4 m，AB＝13 m， BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块试验田的面积． 考点3 互逆命题与互逆定理 典例3 [2025·惠东县期末]下列命题的逆命题不成立的是( ) A．两直线平行，内错角相等 B．三边对应相等的两个三角形全等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若a＝b，则b2＝a2 思路导析 根据已学知识逐一判断即可． 变式1 [2024·泰山区期末]已知下列命题： ①若a2＜b2，则a＜b ②若a＋b＝0，则|a|＝|b| ③三个内角相等的三角形是等边三角形 ④底角相等的两个等腰三角形全等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式2 下列定理中，没有逆定理的是( ) A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两个底角相等 C．全等三角形的周长相等 D．等边三角形的三个角都相等 变式3 写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题； (4)原命题和逆命题都是假命题． 解：(答案不唯一) (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是对顶角； (3)等边三角形是锐角三角形； (4)如果a是质数，那么a是奇数． eq \r(13) 解：如图，连接AC， ∵CD＝3 m，AD＝4 m，∠ADC＝90°， ∴AC＝eq \r(CD2＋AD2)＝eq \r(32＋42)＝5 m. 在△ABC中，AC＝5 m，AB＝13 m，BC＝12 m， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴这块试验田的面积＝S△ABC－S△ACD＝eq \f(1,2)×5×12－eq \f(1,2)×3×4＝24 m2. $第2课时　“HL”定理 知识点1 “HL”定理 定理：_____和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 符号语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． 斜边 【注意】 “HL”只适合直角三角形，不适合一般的三角形，判定两个直角三角形全等，也可以用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”． 考点“HL”定理 典例 [2025·渭南期中]如图，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，BC＝5 cm，在AC上取一点E， 使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝ AB，若EF＝12 cm，求AB的长． 思路导析 利用“HL”判定△ABC≌△FCE，得EF＝AC，再利用勾股定理求AB即可． 解：∵EF⊥AC， ∴∠FEC＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC和Rt△FCE中， ∴Rt△ABC≌Rt△FCE(HL)， ∴AC＝FE＝12 cm， 变式1 [2025·高州期末]如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是( ) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 变式2 如图，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3， 一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射 线AX上运动，问：当AP＝_____时，才能使以点P，A，Q为顶点 的三角形与△ABC全等． 3或6 变式3 [2025·雁塔区期末]如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝ ∠D＝90°，AC＝DE，点B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝ FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE. 证明：∵BE＝FC， ∴BE＋EC＝FC＋EC，即BC＝FE. ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABC和△DFE为直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DFE中， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). ∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF（或AC＝DF），)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FC，,BC＝CE，)) ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝13(cm)． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝FE，,AC＝DE，)) $