陕西2026年中考数学第25题二次函数大题专题训练

陕西中考25题二次函数大题专题训练 1.如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已 知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 2．游乐场的一种游乐项目（图1）在运行过程中游客可以用水枪向中间的动物模型喷水，某位游客在玩该项目时，某次用水枪喷水时水流的运动路径如图2中的抛物线形状，水流从水枪口点射出，在与水枪口点的水平距离为2m时达到最高点，点到水平地面的距离，已知水枪口点到水平地面的高度，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若水池中央水台的部分截面可以看作是长为2m、宽为1m的矩形（即，），在台面的中点处有一座高为的海马模型（宽度忽略不计），请你通过计算判断水枪此次喷出的水流是否会击中该海马模型． 3．打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 4．背景：某校八年级在美术课上，围绕“社会公益”主题，进行了招贴画设计．如图为王芳同学设计的招贴画． 素材一：王芳先画出菱形，对角线交于点O，且，． 素材二：考虑到实际需要，招贴画边缘与菱形的四边要留出一定距离．将以上和以下部分均设计为抛物线形状，先过距离A、C、D三点分别为的E、F、P（E、F、P分别在的延长线上）三点绘制抛物线L，且为抛物线L的对称轴，再以为对称轴在下方作抛物线与L对称，抛物线交的延长线于点Q． 素材三：以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．过点A作的垂线，分别交抛物线L、于点M、，过点C作的垂线，分别交抛物线L、于点N、，计划沿、书写两列艺术字（宽度忽略不计），并予以装饰美化． (1)求图中抛物线L、的函数表达式； (2)求书写的这两列艺术字的总高度． 5．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 6．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 7．某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 8．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 9．蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 10．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 11．某广场遮雨棚的顶棚由抛物线和组成，立柱、、均与地面所在直线垂直，垂足分别为、、，且米，米，抛物线的最高点与的距离为米，点、分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)现要在抛物线的点处和抛物线的点处各安装一盏照明灯（大小忽略不计），点在抛物线对称轴的左侧，点在抛物线对称轴的右侧，且点、关于轴对称，若点到的距离为米，求、之间的距离． 12．一个长，宽的矩形包装纸片上印有5个完全相同的抛物线型图案，每个抛物线型图案的高恰好是矩形的宽，最左边和最右边的两个抛物线分别经过矩形纸片的一个顶点，这5个抛物线型图案之间的间距均为（如图①），取左边两个抛物线图案，以BC的中点为坐标原点建立如图②所示的平面直角坐标系，G为图②左侧抛物线的顶点． (1)求图②中左侧抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)根据需要，沿矩形纸片的对称轴将它裁剪成两块（图①中的虚线为裁剪线），裁剪线与相邻两条抛物线分别交于E，F两点，试求的长 13．问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示．外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决：如图3，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时矩形的面积． 14．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 16．一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞、、以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是、、、，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞、关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点、分别在、上，点、分别在、上，点、到的距离均为12米．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 17．某数学兴趣小组对水滑道中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图．如图2，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，点B与水面的距离为，水滑道最低点C与水面的距离为，点C到点B的水平距离为． (1)求水滑道所在抛物线的函数表达式； (2)如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点D与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点B成中心对称，此人腾空飞出后的落地点D是否在安全范围内？请说明理由． 18．“大老碗”有浓郁的陕西特色，“纳四海宾朋，融八方来客”，简约、凝重、大气、深沉、厚重，千年的积淀在这一只“大老碗”里得到了充分的交汇和融合．如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，其截面图如图2所示，瓷碗深度为，碗口宽为，碗底高为，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），以碗底的中点O为原点，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求碗体的抛物线解析式； (2)若用碗盛面汤后与碗口相距（即距离），求面汤表面的宽度． 19．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，且．点是线段上一动点（点不与点，点重合），过作轴的垂线交抛物线于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)当与相似时，求此时的面积． 21．如图，某影视基地由于场景需求，搭建了一座门洞，门洞的外轮廓形状为抛物线，以门洞外轮廓正中央的竖直线为对称轴还分别制作了两个形状为抛物线与的造型．已知抛物线的形状相同，且为拋物线的顶点，为抛物线与的交点，抛物线与分别经过A，B两点，满足，其中，点到AB的距离为，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数表达式． (2)求出拋物线与两个顶点之间的距离． 22．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由 23．自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值 24．如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线．、分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷水装置，喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流呈抛物线状），用于浇灌林场内种植的植物．当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点到的水平距离为米．已知米，米，米，点在上．以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水流所在抛物线的函数解析式； (2)若在距离喷水装置水平距离为米位置的斜坡上有一棵高为米的小树苗，小树苗与轴垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到 ． 25．为优化城市形象，提高生活品质，某景观步行大道两边种植了大量不同品种的月季供市民观赏．景观步行大道的起点是一座近似抛物线的花篮拱门，其横截面如图所示．已知花篮拱门的最高点距离地面的高度为米，拱门地面宽度为米．现以的中点为原点，拱门对称轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)为营造梦幻氛围，管理部门计划在拱门内临时搭建一个矩形支架，用来架设花灯装饰，方便市民夜间观赏．已知支架三边所用材料为米（边位于地面，无需支架），求支架左侧落地点到拱门端点的距离． 26．冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离 参考答案 1．(1) (2)他能刷到正上方的玻璃隧道，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E，首先求出，，然后求出，得到，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下： 如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E 根据题意得，， ∴ ∴ ∴将代入 ∴ ∴ ∴他能刷到正上方的玻璃隧道． 2．(1) (2)水枪此次喷出的水流会击中该海马模型． 【分析】（1）根据题意设抛物线关系式为，将代入求a，则水流所在抛物线的函数表达式可求； （2）由题意得到海马模型的最高点距离地面，把横坐标3代入解析式，求出对应函数值，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得水流所在抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为． 设水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得，解得， ∴水流所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：水枪此次喷出的水流会击中该海马模型． 理由：由题意，，则点D的坐标为， ∵C为的中点， ∴点的坐标为， ∵处有一座高为的海马模型 ∴海马模型的最高点距离地面． 当时，． ∵， ∴水枪此次喷出的水流会击中该海马模型． 3．(1) (2)不在观赏区安全范围内 【分析】（1）利用顶点式设抛物线方程，代入已知点求出系数； （2）根据平移规律写出新抛物线方程，求出落地点后，算出安全区域距离，与比较即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的坐标为， 则抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入可得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式为， 当，则，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故与表演台中心的水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 4．(1)抛物线L的函数表达式为；抛物线的函数表达式为； (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出A、C、D的坐标，进而得到点E和点P的坐标，利用待定系数法求出抛物线L的函数表达式，进而可求出抛物线的函数表达式； （2）根据（1）所求求出这四个点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在菱形，对角线交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线L的函数表达式为，则，解得， ∴抛物线L的函数表达式为； 设点是抛物线上的一点，则点是抛物线L上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，，则， 当时，，则； 在中，当时，，则， 当时，，则， ∴， ∴． 答：书写的这两列艺术字的总高度为． 5．(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 6．(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 7．(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 8．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 9．(1) (2)供暖设备所占的面积为 【分析】（1）由题意得点，点，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出，点P的纵坐标为1.1，点M的横坐标为，然后把和分别代入解析式求出，，得出，．然后根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为． ∴点， ∵大棚的跨径， ∴点． 设蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点E到保温墙的距离为，， ∴，点P的纵坐标为1.1． ∵， ∴点M的横坐标为， 当时，； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）． ，． ∴供暖设备所占的面积为． 10．(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 11．(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）由题意得点、坐标，利用抛物线上纵坐标相等的两点确定对称轴，结合顶点高度得到顶点坐标，设顶点式代入点求出二次项系数，即可得函数表达式，再根据抛物线和抛物线关于轴对称得到抛物线的二次项系数及顶点坐标，代入顶点式即得表达式； （2）先由点到轴的距离确定点的纵坐标，代入抛物线解析式，并结合对称轴位置求出横坐标，再根据轴对称性得到点坐标，最后计算两点间的距离即可． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与的距离为米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称，所在直线为轴， ∴抛物线和抛物线形状相同，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离为米，即，代入表达式得： ， 解得或， ∵点在抛物线对称轴的左侧，对称轴为， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴，即、之间的距离为． 12．(1)； (2)． 【分析】（1）先求得，抛物线的顶点，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入，求得，再根据轴对称的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，抛物线的顶点， ∴设图②中左侧抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴图②中左侧抛物线的表达式为； （2）解：将代入， 得， 解得，， ∴， ∵E，F两点关于轴对称， ∴， ∴ 13．(1)的表达式为；的表达式为 (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由题意可设，则，根据边的长为，得到方程，求解，即可求解，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由对称性可得，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； 由对称性可得，抛物线的顶点为， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线： 抛物线： 由题意可设，则， ∵边的长为， ∴， 解得或 ∴， ∴ ∴， ∴ 14．(1)， (2)或或 【分析】（1）令，解方程即可； （2）首先求出直线，求出，然后由平行四边形的性质得到，，设，然后分两种情况讨论，分别表示出点D的坐标，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得，， ∴，； （2）解：∵直线与抛物线交于点， ∴ ∴ ∴直线 ∵， ∴ ∵以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形 ∴， ∴设 当点D在点E左边时， 将代入得， 解得或 ∴，或， ∴点的坐标为或； 当点D在点E右边时， 将代入得， 解得或 ∴，（舍去）或， ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 15．（1）；（2）该石头能飞越水鸭；（3） 【分析】本题考查了二次函数图象和性质及应用，抛物线与轴的交点，已知自变量求函数值，待定系数法求二次函数的解析式，通过代入法求解未知参数，比较抛物线上某一点的高度与障碍物的高度，判断能否飞越是解题的关键． （1）根据点在x轴上，将代入求出点坐标，接着把点代入求出即可求解； （2）先求出当时上点的坐标为，通过比较的大小判断石头能否飞起鸭子； （3）将代入得，然后将，代入得，解不等式确定的取值范围． 【详解】解：（1）点在x轴上，且在抛物线的图象上， ∴当时，在抛物线，得， 整理得，， 解得 ，， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）该石头能飞越水鸭，理由如下： 当时，在抛物线中， ， ∴水鸭所在点的坐标为， ∵， ∴该石头能飞越水鸭； （3）将代入得， 整理，得 将代入，得， 把代入上式，得， 由时，得，， ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，求出桥洞所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线，将代入，即可得到答案； （2）由于点、到的距离均为12米，当时，求出，，得到，根据对称性可知，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，， ，即， 的长为40米，桥洞、关于轴对称， ，即， 桥洞最高点到湖面的距离为5米， 顶点坐标的横坐标为，纵坐标为； 设抛物线， 将代入， ， 桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由于点、到的距离均为12米， 当时，， ， 当时，， ， ， 根据对称性可知，， 故； 17．(1)； (2)此人腾空飞出后的落地点在安全范围内，理由见解析． 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）由题意得抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的关系式为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令代入可得，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为， 设水滑道所在的抛物线的关系式为， 把代入可得解得， ∴水滑道所在的抛物线的关系式为； （2）解：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内．理由如下： 由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称． ∵，， ∴抛物线的顶点坐标的纵坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 设抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， ∴抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得，解得(舍)． ∵腾空点B与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点D与水池边缘的安全距离不得少于，而， ∴此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 【点睛】正确理解题意，求出水滑道所在的抛物线的关系式为，抛物线所在的抛物线的关系式为是解题的关键． 18．(1)碗体的抛物线解析式为 (2) 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，，，对称轴直线为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴碗体的抛物线解析式为； （2）解：， ∴， ∴， 解得，， ∴． 19．(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 20．(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，再代入抛物线可得答案； （2）先求出点，再求出直线的关系式，然后设点，可得点，进而表示出，接下来作，交于点E，由，根据勾股定理得，再根据已知条件得，，当和相似，分两种情况：当时，可得，即可求出m的值，最后根据得出答案；当时，可得，同理求出m的值，求出面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点． 设直线的关系式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的关系式为． 设点， ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴． 过点P作，交于点E， ∴， ∴， ∴， 则． ∵， ∴ ∴． 当和相似，分两种情况： 当时， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 当时， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 21．(1) (2)抛物线与两个顶点之间的距离为2米 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出的解析式，即可求出抛物线的顶点坐标，然后根据对称轴求出抛物线的顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线的函数表达式为． ， ∴点的坐标为． 将点代入所设的函数表达式得，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解∶由于抛物线的形状相同， 故设抛物线的函数表达式为． ， ，即． ∵抛物线经过点， ∴将其代入抛物线中得解得． ∴抛物线的函数表达式为，则其顶点坐标为． 又抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与的顶点距离为， ∴抛物线与两个顶点之间的距离为2米 22．(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求出的值，即可得到答案； （1）由题意得消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，令可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 将点代入， ， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：不能 理由：由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令， ， 消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过， 水流不能到达处． 23．(1)抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 24．(1)或； (2)喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （）由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，然后利用待定系数法求解析式即可； （）先求出直线的函数解析式为，将分别代入和，求出的值，然后作差比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，（米）， ∴点的坐标为， 设水流所在抛物线的函数解析式为， 将、代入上式，得， 解得， ∴水流所在抛物线的函数解析式为或； （2）解：由题意可得点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗． 25．(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）解：小明在这次投掷中得到了满分，理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 24．(1)7.6米 (2) 【分析】（1）根据段的抛物线最低点到y轴的距离为．设抛物线的解析式为．把，代入，解方程组即可得抛物线的解析式，根据中心对称得段的抛物线的顶点坐标为，即得段的抛物线的函数解析； （2）根据小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求出小华在斜坡上的落点高度为，代入段的抛物线的函数解析式，解方程即得答案． 【详解】（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴C坐标为． ∵， ∴B坐标为． ∵段的抛物线最低点到y轴的距离为． ∴设抛物线的解析式为． 依题意，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ∵段的抛物线与段的抛物线关于点成中心对称， ∴段的抛物线的顶点坐标， ∴段的抛物线的函数解析式：． ∴飞行过程中最大高度为7.6米． （2）∵小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为， ∴小华在斜坡上的落点高度为， 令解得，（舍去）． 答：落点到的水平距离是． 学科网（北京）股份有限公司 $