精品解析：北京市广渠门中学2025-2026学年第二学期期中试题高二年级数学试题

北京市广渠门中学2025-2026学年度第二学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上.在试卷上作答无效. 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 关于的函数的极值点的个数有 A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 由确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，，所以，令，得，，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于的函数的极值点的个数为0，选C． 考点：导数计算． 点评：简单题，应用，熟记导数公式．先确定“驻点”的个数． 3. 函数在(－∞，＋∞)上(　　) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】用导数判断已知函数的单调性 【详解】由，有 恒成立，在上为增函数， 故选：A. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围. 【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立， 设，， 函数在区间上单调递减，函数的值域是， 所以或. 故选：C 6. 一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】, 故选：D 7. 随机变量的分布列如下： -1 0 1 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率之和为1得到，利用期望的公式得到，两个联立算出再利用方差的计算方式算出结果 【详解】由题设可得， 所以随机变量的方差为， 故选：D． 8. 设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A. 函数有极大值 和极小值 B. 函数有极大值 和极小值 C. 函数有极大值 和极小值 D. 函数有极大值 和极小值 【答案】D 【解析】 【详解】则函数增； 则函数减； 则函数减； 则函数增；选D. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 9. 设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故， 因此在上单调递增， 所以对于任意的正数，有，即，即， 又因为，所以，结合选项可知B正确. 10. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由图象及导数的几何意义，得，而， 所以. 12. 从这4个数字中选出3个不同数字能组成___________个三位数． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列中的特殊元素优先处理，结合排列数公式和分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由于选出3个不同数字能组成的三位数中，百位上的数字不能是， 因此可以分两步完成排列，第步，排百位上的数字， 可以从这从个数字中任选个，有种选法； 第步，排十位和个位上的数字，可以从余下的个数字中任选个，有种选法； 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为. 故答案为：. 13. 一捆树苗中有6棵松树树苗和4棵杉树树苗，松树树苗的成活率为0.9，杉树树苗的成活率为0.8，从这捆树苗中随机抽1棵种植，其成活的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式，列式计算，即可的答案. 【详解】根据题意，由全概率公式，可得其成活的概率为. 故答案为：. 14. 已知，则_______；则_______. 【答案】 ①. 32 ②. 405 【解析】 【分析】利用赋值法，求；展开式两边求导数，再赋值求和. 【详解】令，则， 展开式两边求导数，， 令，则. 15. 已知函数，，（其中），对于不相等的实数,，设，，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数,，都有； ②对于任意的及任意不相等的实数,，都有； ③对于任意的，存在不相等的实数,，使得； ④对于任意的，存在不相等的实数,，使得． 其中真命题有______．（写出所有真命题的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，根据函数的单调性可判断①正确； 对于②，令，，，得，可判断②不正确； 对于③，作差，令，当时，，为单调递增函数，说明不存在不相等的实数,，使得，即成立，可判断③不正确； 对于④，，令，利用导数推出对于任意的，不为单调函数，所以必存在不相等的实数,，使得，即，可判断④正确. 【详解】对于①，因为函数为增函数，所以，故①正确； 对于②，因为， 令，，，则，故②不正确； 对于③，， 令，则， 令，则， 由，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 当时，，为单调递增函数， 因为，所以，即， 所以，即.故③不正确； 对于④，， 令，则为单调递增函数， 因为是值域为的增函数， 所以对任意实数，一定有实根，且当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以一定存在不相等的实数,，使得，即，故④正确. 故答案为：①④. 三.解答题（本大题共6小题，共85分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点. （1）求证：； （2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：，平面，平面，则有平面， 平面，平面平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，得证； （2）由余弦定理和勾股定理证明，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，则为等边三角形， 连接，则，又，有， 中，由余弦定理，得， 有，得，所以， 又平面，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量， 有，设，则，即， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 在中，． （1）证明：； （2）若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） 由正弦定理可得， 因为，所以，，， ，由余弦定理得，得 即； （2） 选择条件②③：均有； 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解，再应用余弦定理可证明； （2）若选择①：由已知求解可得不存在；若选择②：结合余弦定理计算可求；若选择③：计算边长结合正弦定理计算可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，故， ，解得， 若选择条件①：，与三角形内角和为矛盾，故选择条件①时不存在； 若选择条件②：由（1）可得，， 在中，由余弦定理可得； 若选择条件③：由， 则，结合，解得， 在中，所以， 在中，由正弦定理可得 ； 18. 某汽车专卖店试销A，B，C三种品牌的新能源汽车，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 A品牌数量（台） 11 10 15 B品牌数量（台） 14 9 13 C品牌数量（台） 6 11 12 （1）从前三周随机选一周，若A品牌销售量比C品牌销售量多，求A品牌销售量比B品牌销售量多的概率； （2）为跟踪调查新能源汽车的使用情况，根据销售记录，从该专卖店第二周和第三周售出的新能源汽车中分别随机抽取一台．求抽取的两台汽车中A品牌的台数X的分布列和数学期望； （3）直接写出一组的值，使得表中每行数据方差相等． 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 1 2 ，数学期望为； （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用条件概率的公式计算作答； （2）求出的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，求出数学期望作答； （3）利用方差的计算公式，结合题干中每组数据，将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除的数即可. 【小问1详解】 记事件为“品牌销售量比品牌多”，则， 记事件为“品牌销售量比品牌多”，则， 所以若品牌销售量比品牌多，品牌销售量比品牌多的概率为. 【小问2详解】 依题意，在第二周抽取品牌的概率为，第三周抽取品牌的概率为， 的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【小问3详解】 由方差，且表中每行方差相等，得： ，， ，， ，， 观察数据：第一组15，11，10，；第二组：14，13，9，；第三组：12，11，6，， 将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除，即， 此时，， ，于是， 所以是满足题意的一组值. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 20. 已知函数，且曲线在处的切线方程为. （1）求实数与的值； （2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为； （3）比较与的大小，并加以证明. 【答案】（1），； （2） ，， ，设，， ，，所以在上单调递增， 即在区间上单调递增，，， 所以在区间上的值域为，且， 所以存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为. （3），证明： 设，， ，设， ，所以单调递增，，所以在上恒成立， 所以在区间单调递增，，则在上恒成立， 所以，即，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，列式求解； （2）利用导数判断函数的单调性和值域，即可证明； （3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合端点值，证明不等式. 【小问1详解】 ，由切线方程可知，，， 所以，，所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【答案】（1） ； （2）设直线的方程为，点 ，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线， 所以直线经过点. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率公式求出即可. （2）设点 ，求出直线的方程及点的坐标，再设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证. 【小问1详解】 由椭圆：的下顶点为 ，得， 由的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025-2026学年度第二学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上.在试卷上作答无效. 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的函数的极值点的个数有 A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 由确定 3. 函数在(－∞，＋∞)上(　　) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下： -1 0 1 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A. 函数有极大值 和极小值 B. 函数有极大值 和极小值 C. 函数有极大值 和极小值 D. 函数有极大值 和极小值 9. 设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 12. 从这4个数字中选出3个不同数字能组成___________个三位数． 13. 一捆树苗中有6棵松树树苗和4棵杉树树苗，松树树苗的成活率为0.9，杉树树苗的成活率为0.8，从这捆树苗中随机抽1棵种植，其成活的概率为______. 14. 已知，则_______；则_______. 15. 已知函数，，（其中），对于不相等的实数,，设，，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数,，都有； ②对于任意的及任意不相等的实数,，都有； ③对于任意的，存在不相等的实数,，使得； ④对于任意的，存在不相等的实数,，使得． 其中真命题有______．（写出所有真命题的序号） 三.解答题（本大题共6小题，共85分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点. （1）求证：； （2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，． （1）证明：； （2）若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18. 某汽车专卖店试销A，B，C三种品牌的新能源汽车，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 A品牌数量（台） 11 10 15 B品牌数量（台） 14 9 13 C品牌数量（台） 6 11 12 （1）从前三周随机选一周，若A品牌销售量比C品牌销售量多，求A品牌销售量比B品牌销售量多的概率； （2）为跟踪调查新能源汽车的使用情况，根据销售记录，从该专卖店第二周和第三周售出的新能源汽车中分别随机抽取一台．求抽取的两台汽车中A品牌的台数X的分布列和数学期望； （3）直接写出一组的值，使得表中每行数据方差相等． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 20. 已知函数，且曲线在处的切线方程为. （1）求实数与的值； （2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为； （3）比较与的大小，并加以证明. 21. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $