北京市广渠门中学2025-2026学年第二学期期中试题高二年级数学试题

北京市广渠门中学2025-2026学年度第二学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上.在试卷上作答无效. 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的函数的极值点的个数有 A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 由确定 3. 函数在(－∞，＋∞)上(　　) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下： -1 0 1 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A. 函数有极大值 和极小值 B. 函数有极大值 和极小值 C. 函数有极大值 和极小值 D. 函数有极大值 和极小值 9. 设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 12. 从这4个数字中选出3个不同数字能组成___________个三位数． 13. 一捆树苗中有6棵松树树苗和4棵杉树树苗，松树树苗的成活率为0.9，杉树树苗的成活率为0.8，从这捆树苗中随机抽1棵种植，其成活的概率为______. 14. 已知，则_______；则_______. 15. 已知函数，，（其中），对于不相等的实数,，设，，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数,，都有； ②对于任意的及任意不相等的实数,，都有； ③对于任意的，存在不相等的实数,，使得； ④对于任意的，存在不相等的实数,，使得． 其中真命题有______．（写出所有真命题的序号） 三.解答题（本大题共6小题，共85分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点. （1）求证：； （2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，． （1）证明：； （2）若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18. 某汽车专卖店试销A，B，C三种品牌的新能源汽车，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 A品牌数量（台） 11 10 15 B品牌数量（台） 14 9 13 C品牌数量（台） 6 11 12 （1）从前三周随机选一周，若A品牌销售量比C品牌销售量多，求A品牌销售量比B品牌销售量多的概率； （2）为跟踪调查新能源汽车的使用情况，根据销售记录，从该专卖店第二周和第三周售出的新能源汽车中分别随机抽取一台．求抽取的两台汽车中A品牌的台数X的分布列和数学期望； （3）直接写出一组的值，使得表中每行数据方差相等． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 20. 已知函数，且曲线在处的切线方程为. （1）求实数与的值； （2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为； （3）比较与的大小，并加以证明. 21. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 北京市广渠门中学2025-2026学年度第二学期期中试题 高二年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上.在试卷上作答无效. 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. 32 ②. 405 【15题答案】 【答案】①④ 三.解答题（本大题共6小题，共85分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）证明：，平面，平面，则有平面， 平面，平面平面，所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 由正弦定理可得， 因为，所以，，， ，由余弦定理得，得 即； （2） 选择条件②③：均有； 【18题答案】 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 1 2 ，数学期望为； （3）（答案不唯一） 【19题答案】 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【20题答案】 【答案】（1），； （2） ，， ，设，， ，，所以在上单调递增， 即在区间上单调递增，，， 所以在区间上的值域为，且， 所以存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为. （3），证明： 设，， ，设， ，所以单调递增，，所以在上恒成立， 所以在区间单调递增，，则在上恒成立， 所以，即，即. 【21题答案】 【答案】（1） ； （2）设直线的方程为，点 ，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线， 所以直线经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $