概率、数列、立体几何、圆锥曲线分类、分层专项训练-2026届高三数学二轮复习

**基本信息** 以高考高频考点为核心，按概率、导数、立体几何、圆锥曲线四大模块分层设计，通过典型例题呈现知识逻辑与解题方法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率|3题|分布列期望、递推求概率|从基础计算到数列与概率综合，体现知识迁移| |导数|2题|切线方程、单调区间、证明不等式|从几何意义到代数推理，逐步深化逻辑思维| |立体几何|3题|平行垂直证明、线面角、共球问题|从位置关系到空间度量，构建空间观念| |圆锥曲线|6题|弦长面积、范围求解、定值共线|从基础运算到综合应用，培养数学语言表达|

概率、数列、立体几何、圆锥曲线分类、分层专项训练-2026届 高三数学二轮复习 一、概率：分布列、期望问题 1．（2026·江苏镇江·模拟预测）游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【难度】0.85 【详解】（1）第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为； （2）由题意可知， ，，， 所以的分布列如下： 所以. 二、概率：递推关系求概率 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）学校餐厅每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为.而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复，记某同学第天选择类套餐的概率为. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择类套餐的人数为，求的概率分布列及数学期望. 【难度】0.66 【详解】（1），，， 所以是以为首项为公比的等比数列；，. （2）， . 分布列为 0 1 2 3 . 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为. (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求. 【难度】0.43 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， ②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故. （2）由题意得，时，第天晨跑的事件可分为两种互斥情况：其一是第天晨跑且第天晨跑，其概率为；其二是第天不晨跑且第天晨跑（这意味着第天必须晨跑），其概率为， 所以，即，则， 所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，则，，，， 所以． （3）记小明前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且，因为，且对于离散型随机变量，都有，所以 . 三、切线与单调区间 4．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间． 【难度】0.84 【详解】（1）当时，，，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），，，，由，得，由，得．的单调递增区间为，单调递减区间为． 5．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【难度】0.85 【详解】（1）由题意知，则，，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，由（1）知，令得或；令得，且，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 四、导数证明不等式 6．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 【难度】0.65 【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意，综上，实数的值为. （2）由（1）得，要证，即证对成立， 令则，令，解得或， 令，解得或，所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，所以函数的极大值为和,且，, 即对所有成立，成立. 7．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【难度】0.52 【详解】（1），求导可得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的极小值为，无极大值. （2）因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以，设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减，因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 五、平行、垂直证明，角的求解 8．（2026·江西九江·一模）如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【难度】0.85 【详解】（1）因为，所以为中点， 因为侧面是正三角形，所以，因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以 （2）根据题意，如图建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，则 ， 因为，所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 故可取， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 9．（2026·山东·一模）已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．    (1)求与所成角的大小； (2)求证：平面． 【难度】0.85 【详解】（1）  如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为， 则有 即，， 因为E，F分别是，的中点，所以 则，因， ，则，则与所成角的大小为； （2）由，可得，即， ，即，又因为平面， 所以平面. 六、空间中点共球问题 10．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆锥PO的底面直径AB和母线长都为2，C是底面圆周上一点，，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示． (1)求平面PAC与平面PBC所成角的正弦值； (2)若P，A，B，C四点都在同一球面上，求该球的表面积． 【难度】0.69 【详解】（1）由题得，，且， ，∴是等腰直角三角形，∴， 以O为原点，为x，y，z轴正方向建立直角坐标系． 则，，，，设是平面PAC的一个法向量， 则，∴，令，则，∴， 设是平面PBC的一个法向量，则，∴， 令，则，∴， 设平面PAC与平面PBC所成角为，则， ∴，则平面PAC与平面PBC所成角的正弦值为. （2）由题意得，球心在PO上，设球心为M，球半径为R， 则，，解得，则球的表面积为. 11．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上    (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【难度】0.65 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，，得， 由为的中点，得，则，所以，即， 又，平面，所以平面.    （2）连接，由（1）知平面，又平面，则， 又，平面，则平面，又平面，则， 令中点为，由（1）知， 因此，即点是三棱锥外接球球心，连接， 以为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则， 设，则， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 整理得，而，解得，所以. 七、圆锥曲线弦长、面积 12．（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【难度】0.85 【详解】（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为，所以，可得，故； （2）由（1）知，则直线，联立， 所以，可得，显然，所以，，(的横坐标分别为)，则. 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【难度】0.85 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得，故即，且， 故， 解得，故. 八、圆锥曲线范围求解 14．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程；(2)求的范围. 【难度】0.65 【详解】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，当直线l的斜率为0时，， 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，，联立，消去，得，易得，则，所以 ，因为，所以，所以，所以， 综上，，即的范围是. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 【难度】0.81 【详解】（1）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即.由，得，则，即.代入解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可设，且满足，即，.而上顶点，则，.所以当时，所以的最大值为.此时，， 所以点坐标为或. 16．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 【难度】0.85 【详解】（1）抛物线的焦点，设，， 由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得，， 所以． （2）由直线l过点，设直线l的方程为，由消去x并整理得，由，得，且，，则，所以的取值范围为． 九、圆锥曲线定值与共线 17．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【难度】0.85 【详解】（1）由题意得 ，得， 故的方程为； （2）设，则直线l的方程为，与联立，得， 则，且， 所以，故为定值． 18．（2026·福建·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，且不在轴上．当轴时，． (1)求的方程； (2)点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 【难度】0.56 【详解】（1）解法一：（1）当轴时，，所以，所以，从而，，故的方程为． 解法二：（1）当轴时，，所以或，所以①， 又②，由①②，解得，，故的方程为． （2）解法一：设，，，则，即． 又，所以，，，． 因为，，所以，， 两式相加、减，得，，又因为，， ， 所以，故三点共线． 解法二：设，则，即． (i)当直线，斜率均存在时，，，所以直线，， 由得，由得，所以，， 因为， 所以，故三点共线． (ii)当直线或斜率不存在时，根据对称性，不妨设斜率不存在，且， 此时点，，，故直线，从而， 则，， 所以三点共线．综上，三点共线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率、数列、立体几何、圆锥曲线分类、分层专项训练-2026届 高三数学二轮复习 一、概率：分布列、期望问题 1．（2026·江苏镇江·模拟预测）游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 二、概率：递推关系求概率 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）学校餐厅每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为.而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复，记某同学第天选择类套餐的概率为. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择类套餐的人数为，求的概率分布列及数学期望. 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为. (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求. 三、切线与单调区间 4．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间． 5．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 四、导数证明不等式 6．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 7．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 五、平行、垂直证明，角的求解 8．（2026·江西九江·一模）如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9．（2026·山东·一模）已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．    (1)求与所成角的大小； (2)求证：平面． 六、空间中点共球问题 10．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆锥PO的底面直径AB和母线长都为2，C是底面圆周上一点，，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示． (1)求平面PAC与平面PBC所成角的正弦值； (2)若P，A，B，C四点都在同一球面上，求该球的表面积． 11．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上    (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求． 七、圆锥曲线弦长、面积 12．（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 八、圆锥曲线范围求解 14．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程；(2)求的范围. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 16．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 九、圆锥曲线定值与共线 17．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 18．（2026·福建·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，且不在轴上．当轴时，． (1)求的方程； (2)点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $