解答题07 多模块综合考查8大题型（三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、导数、概率统计）（大题精做13种题型，专项训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

解答题07 多模块综合考查 （三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、导数、概率统计） 内容导航 通法锤炼 能力强化 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 题型一：三角函数与导数的综合考查 先求导，化同名，辅助角，定正负； 单调极值看零点，恒成立求最值， 不等式构造差函数，范围用放缩. 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，为的导函数． (1)若，证明：； (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 2．（2026·四川广元·二模）设函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若，，证明：. 附：. 3．（2026·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点的坐标为，以为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线是上异于的任意一点.设，弦的长与的长的比值记为. (1)求的最小值； (2)令，讨论的零点个数； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数.其中 (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论的零点个数； (3)当时，设，若，满足，证明：. 5．（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 题型二：数列与概率统计的综合考查 1、设出第次的概率状态； 2、根据“转移规则”写递推式； 3、构造数列关系求通项； 4、带入问题求解. 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 2．（25-26高三下·贵州铜仁·月考）小明与小红进行一场比赛，其中小明作为守擂方，原始积分为2分，小红作为攻擂方，比赛规则如下： ①每局比赛中，若攻擂方获胜，则守擂方减1分；若守擂方获胜，则守擂方加1分；若平局，则守擂方分数不变，每局比赛的结果相互独立． ②当守擂方的积分变为0分时，判定攻擂方赢；当守擂方积分变为3分时，判定守擂方赢，无论攻擂方赢或者守擂方赢，比赛终止．已知每局比赛中小明胜、负、平的概率依次为． (1)若，求小明连输2局比赛终止的概率； (2)若，求第3局比赛结束后，比赛终止的概率； (3)若，，，已知经过k局后比赛终止，且，，记这k局比赛中小明胜了2局的概率为，则当取得最大值时，求k的值． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 4．（2026·吉林·三模）某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次. (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值. 5．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. (1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； (2)在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； (3)比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当时，). 6．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 题型三：数列与导数的综合考查 1、构造函数，求导证明不等式； 2、对赋值，得到“通项不等式”； 3、累加求和； 4、化简得出结论. 1．（2026·河南·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)证明：（为自然对数的底数）. 2．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 3．（2026·四川德阳·二模）已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． (1)当时，求； (2)若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 4．（2026·辽宁朝阳·一模）已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 题型四：立体几何与数列的综合考查 1、识图：抓“重复结构”，找到前后两个几何体之间的比例关系； 2、算第一个量：求首项； 3、找递推关系：定公差或公比； 4、套用数列公式进行求解. 1．（2026·湖南·一模）在空间中，从原点引出三条射线，，，其两两之间的夹角均为．设空间点列：在上，且．在上，且满足，在上，且满足，在上，满足，以此类推，即在上，则在上，且满足，其中射线满足与重合． (1)证明：为等比数列，并求的前项和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)求的通项公式，并证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 题型五：圆锥曲线与数列的综合考查 1、先将几何条件“翻译”成数列； 2、设出点列，写出下标关系； 3、利用几何性质找递推； 4、转化为数列问题. 1．（2026·四川广安·二模）已知双曲线的离心率为，点为双曲线上的点，按如下方式依次构造点（且），过点作斜率为的直线与双曲线的另一支交于点，点关于轴的对称点为，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)证明为等比数列； (3)记的面积为，四边形的面积为，求取何值时最小． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）对于抛物线过原点作斜率为的直线，交抛物线于另一点.作关于轴的对称点过点作的平行直线，交抛物线C于另一点.作 关于轴对称点以此类推构造点记的坐标为 (1)若，求点的坐标； (2)证明：数列是等差数列； (3)求的面积的最大值. 3．（2026·江苏南京·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． (1)若，求的坐标； (2)证明：数列为等比数列； (3)已知，设及的面积分别为，，若存在正整数，使得，求所有可能的值． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）已知椭圆C：，，，点在椭圆C上.由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复，设第次入射点为.规定：当为奇数时，记；当为偶数时，记；记，，即：，，，…，，，，…. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆：的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点M满足，到一个定点的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到.求证：为定值； (3)若，记，，求证：数列为等比数列，. 题型六：立体几何与圆锥曲线的综合考查 1、锁点“动点满足的条件”； 2、降维：把空间问题“压”到一个平面上； 3、选择“几何法”或“空间坐标法”进行解题； 4、回归圆锥曲线的计算. 1．（2026·四川凉山·二模）如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为，点在平面上的射影为点. (1)若四边形是矩形，求； (2)若，. ①若，求直线与平面所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，记数列的前项和为，若，求的最小值. 2．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知一个圆柱的上下底面都为椭圆，且其母线与底面垂直，若该圆柱的母线长的立方为27，过点在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系，得到椭圆的离心率为0.5，焦点位于轴上，且其短轴长的平方为12 (1)求出椭圆的长轴的长； (2)若点为该圆柱中椭圆上面的任意一点，且为中点，是以点为中点的一条弦，且直线的方程为：. （i）探究与所满足的等式关系； （ⅱ）设点到平面的距离长度为，试求出的最小值. 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知为坐标原点，动圆过点且与直线相切． (1)设圆的圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于两点， （i）过分别作曲线的两条切线，记与的交点是，若的面积为32，求的值； （ii）将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值． 4．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 题型七：圆锥曲线与三角函数的综合考查 1、参数方程法； 2、将角度条件，转化为边长、斜率关系. 1．（2026高三·全国·专题练习）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． 描述曲线、的形态并写出、的标准方程； 2．（2026·江西萍乡·一模）已知一簇双曲线：（），当时，双曲线右顶点为．现按照如下规则依次构造点（，）：过点作轴的垂线交第一象限的渐近线于点，再过点作轴的平行线与曲线的右支交于点．记点坐标为（）． (1)求点的坐标； (2)过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，记的面积为，求数列的通项公式； (3)设为射线与轴正半轴的夹角，已知，存在实数，使得对任意，不等式（，）均成立，求的最小值． 3．（2026·广东深圳·一模）已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. (1)设为坐标原点，证明：，，三点共线； (2)设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 题型八：圆锥曲线与平面向量的综合考查 1、转化向量条件； 2、设直线，联立方程； 3、写出韦达定理； 4、向量条件带入韦达定理. 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026高三下·广东汕头·专题练习）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 4．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 5．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 1．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． (1)求的最大值； (2)动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； (3)如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 2．（25-26高三上·江西吉安·期末）严寒天气，贝加尔湖边冰洞内会形成梦幻的冰锥景观.如图，无数底面直径均为1的冰锥（几何体近似圆锥）紧密排列在同一水平线上，冰锥的所有顶点均落在直线上，从左到右，冰锥的顶点依次用表示，冰锥底部直径的端点依次用表示，设. (1)求数列的通项公式； (2)若与的夹角为，且最左边冰锥的高为1. （i）证明：在所有冰锥中任取两个，存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和； （ii）令，符号表示不超过的最大整数，求的所有可能值. 3．（2026高三下·安徽合肥·专题练习）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答道题后积分小于的概率； (2)设小王答道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 4．（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为. (1)求； (2)在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因. (3)是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 5．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 (1)判断是否为周期函数，并说明理由； (2)求的最大值和最小值； (3)设证明： 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，点在函数的图象上.且. (1)设，求在的最大值： (2)设. （i）证明：； （ii）若，试比较与0.3的大小. 7．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)求证：（其中）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题07 多模块综合考查 （三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、导数、概率统计） 内容导航 通法锤炼 能力强化 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 题型一：三角函数与导数的综合考查 先求导，化同名，辅助角，定正负； 单调极值看零点，恒成立求最值， 不等式构造差函数，范围用放缩. 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，为的导函数． (1)若，证明：； (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由得，令，利用导数研究单调性进而得证； （2）由得，令，即，进而得，根据和的情况讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，所以，所以， 即，令， 所以，令，所以， 所以在上单调递增，又，所以当时，，即， 当时，，即，所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，即； （2）由有：，所以， 令，即， 所以，且， 令，则， 由（1）的证明过程有在单调递增， 当时，，又在单调递增， 所以， 所以在单调递增，且，满足题意， 当时，时，又在单调递增， 所以存在，使得， 当时，，所以在单调递减， 所以，不满足题意， 所以，即. 2．（2026·四川广元·二模）设函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若，，证明：. 附：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）求导代入得到，再写出切线方程即可； （2）分离参数得，再设新函数求导得到右边最值即可； （3）累乘得，设，求导得其单调性则有，再结合（2）得，最后累加即可证明. 【详解】（1）由可得切点， 因为 所以， 所以切线方程为，即． （2）在区间上，由恒成立，得， 设，当时，， 故只需研究时的情形．， 设， 在区间上，， 所以，在区间上单调递减，所以， 即在区间上递减，所以， 所以，解得． （3）由，得即， 所以， 令， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 所以当时，，即， 所以当， 当时，有， 又由（2）知当时，，所以， 所以，故， 所以， 所以． 3．（2026·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点的坐标为，以为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线是上异于的任意一点.设，弦的长与的长的比值记为. (1)求的最小值； (2)令，讨论的零点个数； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求出导数，再根据导函数正负得出单调性进而得出最值； （2）先把零点转化为直线与函数的图象的交点，再求出导函数得出函数最值判断零点个数； （3）先移项构造函数，再求出导函数得出函数单调性，最后分，及计算求解参数. 【详解】（1）由题意可得. 令， 则当时，，从而在上单调递减. 于是，进而可得在上单调递减. 因此在区间的最小值为. （2）， 函数的零点个数等于直线与函数的图象的交点个数. 设. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，， 所以当时，直线与函数的图象无交点，函数无零点； 同理，当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. （3）由题意，， 不等式 可化为 ， 即 由已知不等式恒成立， 可化为恒成立， 令. 又设，当时，. 设，则当时，. 所以在上单调递增，. 所以当时，在上单调递增. ①当时，对于，有， 即，所以在上单调递增.因此，时，恒成立，符合题意. ②当时，对于，有， 即，所以在上单调递减.因此，时，，不符合题意. ③当时，因为，所以存在，使得. 当时，，即，所以在上单调递减.因此，当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数.其中 (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论的零点个数； (3)当时，设，若，满足，证明：. 【答案】(1) (2)当时，的零点个数为0，当时，的零点个数为1. (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）直接根据导数的几何意义求切线方程可得； （2）构造函数，将函数的零点转化为方程的根，再分段讨论的值域可得； （3）先由及对称轴偏移可得，进而只证明，再根据导数函数值的范围证明可得. 【详解】（1）当时，,， 所以有，， 所以函数在处的切线方程为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意，令，得， 因为； 即等价于方程，，即等价于方程， 整理得，即.令， 当时，，所以，而，所以方程无根； 当时，，, 因为,, 所以函数在单调递减，，即， 所以函数在上的值域为，且单调递减，故当时,方程无根；当时, 方程有一个根. 综上：当时，的零点个数为0，当时，的零点个数为1. （3）当 时，， ， 由 ，得 ，且，得. 所以 ，, 所以,,根据对称轴偏移得 所以，故只需证明 ​即可. 又因为， 由 ，得： ，， 因为,, 所以, 又因为,所以,且, 所以 ， 当时，,所以，不符合题意，舍去； 当时，即,,符合题意. 所以,故得证. 5．（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，判断导数符号，确定函数单调递增，进而求出值域； （2）通过证明，可得，进而将问题转化为证明，再构造函数求导分析单调性和极值点即可； （3）构造函数，求导数，并对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由题得， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 所以在区间上的值域为． （2）由（1）知，当时，， 所以， 要证， 只需证， 只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，，所以， 令，代入得成立， 所以． （3）令，则， 当时， 令，则， 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，， 即， ②当时，，， 所以， 综上①②，当时，对任意，都有成立，不符合题意． 当时，， 则必存在，使得当时，， 所以在上单调递减，，即，符合题意， 所以的取值范围为． 题型二：数列与概率统计的综合考查 1、设出第次的概率状态； 2、根据“转移规则”写递推式； 3、构造数列关系求通项； 4、带入问题求解. 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】(1)①；② (2) 0 1 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率、写出等比数列的通项公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）①结合概率矩阵的定义求解即可； ②根据条件概率公式及贝叶斯公式求解即可. （2）根据条件概率公式及全概率公式得到递推关系，进而求出，从而得到分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 2．（25-26高三下·贵州铜仁·月考）小明与小红进行一场比赛，其中小明作为守擂方，原始积分为2分，小红作为攻擂方，比赛规则如下： ①每局比赛中，若攻擂方获胜，则守擂方减1分；若守擂方获胜，则守擂方加1分；若平局，则守擂方分数不变，每局比赛的结果相互独立． ②当守擂方的积分变为0分时，判定攻擂方赢；当守擂方积分变为3分时，判定守擂方赢，无论攻擂方赢或者守擂方赢，比赛终止．已知每局比赛中小明胜、负、平的概率依次为． (1)若，求小明连输2局比赛终止的概率； (2)若，求第3局比赛结束后，比赛终止的概率； (3)若，，，已知经过k局后比赛终止，且，，记这k局比赛中小明胜了2局的概率为，则当取得最大值时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【知识点】确定数列中的最大（小）项、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意求，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意求，分析比赛结果的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （3）分析比赛结果的可能情况，进而可得，可证为递减数列，进而分析最值. 【详解】（1）因为，且，解得，，， 故所求概率. （2）因为，且，解得，，， 3局比赛后，比赛终止，小明的比赛情况为：负胜胜、负平负、平负负、平平胜， 故所求概率. （3）根据题意，当小明第k局以0分比赛终止，说明第k局负，前局中有3负2胜，且这五局是“负胜负胜负”的顺序，可以不相邻，其余均为平局，共有种； 当小明第k局以3分比赛终止，说明第k局胜，前局中有1负1胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则，， 因为， 其中， 且 ， 因为，则， 即，可得， 可知为递减数列， 所以当时，有最大值． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 4．（2026·吉林·三模）某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次. (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值. 【答案】(1) 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ (2)6 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意确定，即可求解； （2）由题意确定，得到，再通过作商法判断最大值即可. 【详解】（1）由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为​， 4位员工抽奖是独立重复试验，因此， 即， ，​ ，​ ，​ ， ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 由二项分布期望公式，数学期望 （2）由题意，， 作商得： ​，， 当，即时，​，即， 当，即时，，即​，数列递减； 因此为最大项， 即. 5．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. (1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； (2)在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； (3)比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当时，). 【答案】(1)； (2)；；；； (3)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求等比数列前n项和、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可. （2）结合题意求出对应概率，再求出，最后得到甲获胜的概率即可. （3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可. 【详解】（1）由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为， 则，. （2）由题意得，， ，， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 则甲获胜的概率为 ， 当时，，则甲获胜的概率为. （3）由已知得甲获胜的概率为，且的取值为， 而， ， . 可得分布列如下， 3 4 5 6．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【知识点】递推法求概率、利用二项分布求分布列、累加法求数列通项、构造法求数列通项 【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差； （2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求. 【详解】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 题型三：数列与导数的综合考查 1、构造函数，求导证明不等式； 2、对赋值，得到“通项不等式”； 3、累加求和； 4、化简得出结论. 1．（2026·河南·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)证明：（为自然对数的底数）. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）通过对递推公式进行变形，构造出一个新的等比数列，进而求出数列 的通项公式； （2）先根据（1）求出 的表达式，然后利用分组求和以及错位相减法求出数列 的前 项和 ； （3）要证明 ，可先构造函数，利用导数研究函数的单调性，可得，通过放缩法得到 的一个不等式，再利用对数函数的性质进行证明. 【详解】（1）因为，所以. 因此是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. （2）由（1）可知，则， 记，① 则.② ①-②得， 所以. 所以. （3）证明：设，则， 当时，，所以在上单调递减. 又，所以当时，，即. 因为，所以. 所以. 即，故. 2．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)对于，当，；当，；当， 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）设，，，，所以， ， 则直线为. 令，则. ， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. （3）当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 3．（2026·四川德阳·二模）已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． (1)当时，求； (2)若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、求函数的零点、辅助角公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）将函数化简，再根据正弦函数的零点求解； （2）（i）根据的零点求出的表达式，最后根据等比数列的定义证明； （ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，解得， 因为为的从小到大的第（）个零点，所以； （2）（i）由，得，则，其中， ，所以， ，又， 因此，所以数列是等比数列； （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 4．（2026·辽宁朝阳·一模）已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、导数的运算法则、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用直接求出，再验证是否满足即可； （2）先对求导，得到，再代入（1）中的求出； （3）先根据条件算出数列的通项公式，再利用裂项求和法得到前项和，最后构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）由题意，得，则， 所以当时，， 又因为，所以. （2）对求导，得，所以. （3）由题意可得，从而，，所以， 得到， 设，则当时，单调递减， 当时，单调递增，得， 因此，即，所以. 题型四：立体几何与数列的综合考查 1、识图：抓“重复结构”，找到前后两个几何体之间的比例关系； 2、算第一个量：求首项； 3、找递推关系：定公差或公比； 4、套用数列公式进行求解. 1．（2026·湖南·一模）在空间中，从原点引出三条射线，，，其两两之间的夹角均为．设空间点列：在上，且．在上，且满足，在上，且满足，在上，满足，以此类推，即在上，则在上，且满足，其中射线满足与重合． (1)证明：为等比数列，并求的前项和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)求的通项公式，并证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内． 【答案】(1)证明见解析， (2)存在， (3)，证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先分析相邻线段的长度关系得出数列是等比数列，再根据，得出数列是等比数列，计算前项和即可； （2）假设存在这样的实数，先写出各点的表达式，再计算向量差比较系数即可； （3）由（1）知通项公式，利用向量垂直的性质可得，要证当时，，需对的通项公式分情况讨论，利用不等式性质证明. 【详解】（1）由题意可知，三角形为直角三角形，且． 在中，，又因为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，则． 在中，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 其前项和：． （2）存在这样的实数．设射线，，方向上的单位向量分别为，，， 由（1）可知．对于向量， 有． 对于向量，由于点列所在射线按，，顺序循环， 故在上，在上，则． 由（1），代入可得， 对比可得．因此存在实数，使得． （3）记．由向量模长公式可得 ， 又已知，且由（1）知，故． 当时，此时位于射线上， 与同向．， 则． 当时，此时位于射线或上． 由题意知，射线与、的夹角均为． ， 则． 综上所述，． 下面证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内， 即证明对于任意，都有． 当且时，， 因为，所以，进而， 所以，故成立． 当且时，， 要证该式小于1，只需证，也即证， 因为，所以，又因为，所以， 所以上述不等式恒成立，即成立， 综上所述，当时，点始终在以为球心，1为半径的球内． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【知识点】多面体与球体内切外接问题、面面角的向量求法、等差中项的应用、证明面面垂直 【分析】（1）由平面可以得到平面平面，再由线线垂直得到平面，再由线面垂直得到，由三角形的性质得到，再由线面垂直的判定定理证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明. （2）（i）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，代入求解即可. （ii）取中点，作于，证明平面，得到为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，求解圆的面积，假设存在m，n，且使得，，成等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】（1）证明：平面  平面， ∴平面平面， 又∵平面平面，且， 平面， 又平面，故． 在中，，E为线段的中点，则． 因为平面，平面，，平面． 平面，∴平面平面． （2）（i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，， ，， 设为平面的一个法向量． 故即取， 取为平面的一个法向量． ，解得，故． （ii）如图，取中点，作于． 由，所以满足． 则为三棱锥的球心，其中，2，…，n． 因为，则，则平面， 则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径 由，则， 所以圆的面积， 假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则． 即化简可得 因为，，所以为偶数，即（*）式不成立， 所以数列中不存在3项成等差数列． 题型五：圆锥曲线与数列的综合考查 1、先将几何条件“翻译”成数列； 2、设出点列，写出下标关系； 3、利用几何性质找递推； 4、转化为数列问题. 1．（2026·四川广安·二模）已知双曲线的离心率为，点为双曲线上的点，按如下方式依次构造点（且），过点作斜率为的直线与双曲线的另一支交于点，点关于轴的对称点为，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)证明为等比数列； (3)记的面积为，四边形的面积为，求取何值时最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时 【知识点】三角形面积公式及其应用、由递推关系证明等比数列、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）借助离心率与及双曲线上的点计算即可得； （2）由题意可得，联立曲线方程，可表示出， 从而可用、表示出、，再表示出后利用等比数列定义即可得证； （3）表示出可得数列也为等比数列，则可表示出、坐标，再利用三角形面积公式计算可得，由点关于轴的对称点为，可得，则可表示出，最后得到后，利用及对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，则，故， 故有，解得，则， 即曲线的方程为； （2）由题意可得， 由点关于轴的对称点为，则， 联立，则， 则，则， ， 故， 又，故为以为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）知为以为首项，为公比的等比数列，则， 由，， 则， 又，故为以为首项，为公比的等比数列， 则， 故，， 设，则，， 则，即， ，即， ，即， 则 ， 故， 由， ， ， ， 则 ， 由点关于轴的对称点为，故轴， 故， ， ，， 则 则， 由在上单调递减，在上单调递增， 且，，则当，即时， 有最小值，则. 2．（2026·广东东莞·模拟预测）对于抛物线过原点作斜率为的直线，交抛物线于另一点.作关于轴的对称点过点作的平行直线，交抛物线C于另一点.作 关于轴对称点以此类推构造点记的坐标为 (1)若，求点的坐标； (2)证明：数列是等差数列； (3)求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积的最大值为 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、由导数求函数的最值（不含参）、判断等差数列 【分析】（1）求出直线的方程联立直线与抛物线方程解出即可； （2）先求出直线的方程， 结合抛物线方程以及等差数列的定义证明即可； （3）利用点到直线的距离公式以及两点间的距离公式、三角形面积公式、函数导数求解即可. 【详解】（1）由题意如图所示： 若，则直线的斜率为，抛物线方程为：， 又直线过原点，所以直线的方程为：， 联立，消去得：，解得：或， 当时，，此时该点为坐标原点， 当时，，即. （2）证明：由题意如图所示： 由直线的方程为：代入中化简得：， 解得：或， 当时，，此时该点为坐标原点， 当时，，即， 由题意知直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由点关于轴对称后得点， 且在直线上，所以直线的方程为：， 又点在直线上，所以，① 又点也在抛物线上， 所以，代入①得： 所以， 因为，所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. （3）由题意如图所示： 由题意可知：， 且，， 则直线的斜率为： ， 所以直线的方程为：， 即， 所以点到直线的距离为： 将代入上式可得： 由（2）得：， 所以， 又 ， 所以的面积为：, 设，则， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 3．（2026·江苏南京·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． (1)若，求的坐标； (2)证明：数列为等比数列； (3)已知，设及的面积分别为，，若存在正整数，使得，求所有可能的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或． 【知识点】由递推关系证明等比数列、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、线段的定比分点、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据，代入坐标运算，即可求解； （2）根据向量关系，并联立直线和圆的方程，求得点的坐标，再根据等比数列的定义证明； （3）根据（2）的结果求通项公式，表示点和的坐标，并代入求，同时将条件等式变形为的形式表示，并构造函数，判断函数的单调性，分情况代入数值求. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 由得或 因此． （2）因为，，， 所以，， 由得或 因此，， 因为，即， 所以， 因此， 又，所以， 因此，即数列为等比数列． （3）由（2）得，即， 于是， 注意到，因此， 由，， 得， 因此， 因为， 所以，即， 设，，， 则， 因为，， 所以， 所以，即单调递增． 又，， 所以或2， 若，则，， 当时，， 因此或3， 当时，，解得， 当时，，解得． 若，则，， 当时，， 因此， 所以，解得（舍）， 综上，或． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）已知椭圆C：，，，点在椭圆C上.由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复，设第次入射点为.规定：当为奇数时，记；当为偶数时，记；记，，即：，，，…，，，，…. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆：的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点M满足，到一个定点的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到.求证：为定值； (3)若，记，，求证：数列为等比数列，. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3)证明见解析 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、等比数列的定义、求等比数列前n项和 【分析】（1）借助焦点坐标与椭圆上的点的坐标，代入计算即可得； （2）由题意可得、、三点共线，设该直线为，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用所给椭圆第二定义可用、横坐标表示、，则利用韦达定理对求和即可得； （3）由椭圆对称性可得，结合椭圆定义可得，则可表示出，结合等比数列定义可得数列为等比数列，再利用等比数列性质可求出的通项公式，即可得的通项公式，再合理放缩后求和即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）设，由题意可得、、三点共线， 设该直线为，联立， 消去可得， 则，， 由题意可得，， 由椭圆第二定义可得， ， 则 ， 故为定值； （3）由（2）中所得，即， 由椭圆对称性可得也成立， 故有，则 又由椭圆定义可得， 则，即， 由，则 ， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，整理得， 故 ， 即，即得证. 题型六：立体几何与圆锥曲线的综合考查 1、锁点“动点满足的条件”； 2、降维：把空间问题“压”到一个平面上； 3、选择“几何法”或“空间坐标法”进行解题； 4、回归圆锥曲线的计算. 1．（2026·四川凉山·二模）如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为，点在平面上的射影为点. (1)若四边形是矩形，求； (2)若，. ①若，求直线与平面所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，记数列的前项和为，若，求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】空间中的点共线问题、立体几何中的轨迹问题 【分析】（1）先证明点落在直线上，再求角. （2）①建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值和线面角的正弦值，再结合不等式的性质可求线面角的最大值.②先判断的轨迹为椭圆，求出离心率后结合不等式放缩和裂项相消法求最小值. 【详解】（1）取中点，中点，连接，如下图： 因为为矩形，则，且. 由，可得，则， 且.而，且平面，则平面. 而平面，则平面平面. 因为，，则，所以点平面， 则在平面上的射影落在直线上，所以. （2）①设为中点连接，则， 过作直线平面，以所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，设， 则，，， ，，由， 得，即. 设直线与平面所成角为，则. 设平面的法向量为， 则，故，取， 因为二面角的平面角为且平面的法向量为， 故即， ①若，则，故， 设与平面所成的角为，则 ， 而，故，当且仅当时等号成立，故. ②由①可得，故， 故的坐标满足：且， 表示圆柱，而表示如图所示的平面， 两者的截面为椭圆，其短轴长为，长轴长为， 故离心率为，所以， ， 当时，， 当时，，矛盾； 当时，， 因为， 所以， 故最小值为. 2．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知一个圆柱的上下底面都为椭圆，且其母线与底面垂直，若该圆柱的母线长的立方为27，过点在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系，得到椭圆的离心率为0.5，焦点位于轴上，且其短轴长的平方为12 (1)求出椭圆的长轴的长； (2)若点为该圆柱中椭圆上面的任意一点，且为中点，是以点为中点的一条弦，且直线的方程为：. （i）探究与所满足的等式关系； （ⅱ）设点到平面的距离长度为，试求出的最小值. 【答案】(1)4 (2)（i）（ⅱ） 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、求点面距离、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由离心率定义结合已知条件可得长轴. （2）（i）首先根据中点条件建立椭圆上的点与另外两点的关系，再通过联立直线方程用，表示椭圆上的点，最后代入化简即可. （ii）先用几何法找到点到面的距离，再用三角形面积法建立椭圆上与的等式，用（i）结论建立不等式求出的最小值，即可确定的最小值. 【详解】（1），，所以，所以椭圆的长轴的长为. （2）（i）由（1）知椭圆的方程为，设、、， 所以，联立，得， 得， 所以， 所以，将点代入方程得， 化简得，由于， 得. （ⅱ）过作于点，连接，作于点. 由平面，又平面，， 又，，平面， 又平面，. ，，， 又平面，平面，则. 设，根据等面积法，， 所以当取到最小值时，也取到最小值. 在椭圆平面内，，由（i）得：， 则，所以. 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知为坐标原点，动圆过点且与直线相切． (1)设圆的圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于两点， （i）过分别作曲线的两条切线，记与的交点是，若的面积为32，求的值； （ii）将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【知识点】锥体体积的有关计算、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，动圆的半径为，求圆心到直线的距离，化简即可. （2）（i）设直线方程为，与抛物线方程联立，通过韦达定理以及求解点到直线的距离再通过的面积求解即可. （ii）设关于轴的对称点分别为，记以等腰梯形绕轴旋转一周得到的圆台体积为，以为底面直径，为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，为顶点的圆锥体积为，再由，以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）设，动圆的半径为，则， 圆心到直线的距离， 所以，化简得，所以曲线的方程为． （2）（i）设直线方程为，设 联立，消去得， 由韦达定理：． 由方程得，所以， 则抛物线在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 联立，解得，所以． 点到直线的距离， 所以，所以． （ii）设关于轴的对称点分别为记以等腰梯形绕轴旋转一周得到的圆台体积为，以为底面直径，为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，为顶点的圆锥体积为，所求旋转体体积为： ，又， 所以， 又，，， 所以 所以． 当时取得“”，即时取得“”所以所求旋转体体积的最小值为． 4．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】求椭圆中的最值问题 【分析】（1）当在短轴端点时面积最大，再结合离心率为与，可求出椭圆方程； （2）折叠前直线与椭圆方程联立求出坐标；折叠后建立空间直角坐标系，再确定的空间坐标，向量法求异面直线所成角的余弦值； （3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，写出的空间坐标，利用空间向量可算出到的距离，再根据三角形面积公式结合基本不等式可求出面积最大值. 【详解】（1）由题意知，解得 ∴椭圆C的标准方程为. （2）翻折前，所在直线方程为， 联立，消得，解得， 不妨设，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 于是. 设异面直线与所成角为， . 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设翻折前所在直线方程为， 联立，消得， 设（令）， 由韦达定理有. 翻折后，， 故， 则， 所以， 于是. 所以， 令，有，于是. 令，由对勾函数的性质， 在上单调递增. 所以当时取得最小值，为，此时取得最大值， 的最大值为.此时，解得. 所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2. 题型七：圆锥曲线与三角函数的综合考查 1、参数方程法； 2、将角度条件，转化为边长、斜率关系. 1．（2026高三·全国·专题练习）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． 描述曲线、的形态并写出、的标准方程； 【答案】曲线表示坐标原点为圆心，半径为的圆，其标准方程为；曲线Γ表示以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线的右支，其标准方程为． 【知识点】由方程求曲线的图形、三角函数新定义、由单位圆求三角函数值、等轴双曲线 【分析】根据参数方程消去参数和即可求解； 【详解】设，则 由，可得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则， 因为， 所以，即的标准方程为， ， 曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线的右支． 2．（2026·江西萍乡·一模）已知一簇双曲线：（），当时，双曲线右顶点为．现按照如下规则依次构造点（，）：过点作轴的垂线交第一象限的渐近线于点，再过点作轴的平行线与曲线的右支交于点．记点坐标为（）． (1)求点的坐标； (2)过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，记的面积为，求数列的通项公式； (3)设为射线与轴正半轴的夹角，已知，存在实数，使得对任意，不等式（，）均成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)（）； (3)． 【知识点】累加法求数列通项、根据双曲线的渐近线求标准方程、解余弦不等式 【分析】（1）由题知，，点，再代入双曲线即可求解； （2）由题，当()时，再根据距离公式得和，再计算面积，并检验时满足即可得答案. （3）结合（2）得，根据累加法得，进而得，将问题转化为，再结合三角函数的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：双曲线：的一条渐近线为直线， 所以，， 则点，代入双曲线：，解得， 故点的坐标为； （2） 解： 由题知，：（）的渐近线为：和：， 点（），点，则，即， 将其代入方程得（）， 由距离公式，点到，的距离分别为和， 故， 即（，）， 当时，，符合上式， 综上所述，（）； （3）解：由（2）知，（），，……， 累加可得，， 当，满足，所以（） 所以，此正弦值是递增的， 当时，，所以， 在单位圆中分析，可得角的终边要落在图中阴影部分区域， 其中，即， 即位于连续两终边之间， ①当为的正整数倍时，连续两终边的间隔大小为，即，取，，此时，，即，当时，取得最小值，； ②当不为的正整数倍时，只考虑的情况，可设，（，），则，此时， 因为，所以当为正整数时，连续两终边的间隔大小小于， 则必定存在正整数，使得的终边落在区间上，不符合题意； 综上所述，． 3．（2026·广东深圳·一模）已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. (1)设为坐标原点，证明：，，三点共线； (2)设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】双曲线向量共线比例问题、斜率公式的应用、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线； （2）（i）根据斜率的关系可求，，利用向量坐标关系可证平行，或者通过联立方程求出的坐标，再利用向量坐标关系可证平行； （ii）利用斜率关系得出垂直，根据点P的轨迹是圆，结合圆的性质可证，或者利用线段比例关系得出轨迹为圆，结合圆的性质可证，或者利用差角的正切公式，结合正切函数单调性可证. 【详解】（1）设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：， 可知：，因此，，，三点共线. （2）（i）由可得：， 由（1）可知：.由，可知： ，且，都在第一象限，则，， 由（1）知：，，， 由（*）式结合，可知： ，，则，， 因此可得： ，由此可知：； 另解： 由（1）可知：，则，直线， 联立直线与椭圆：，解得点， 同理：，以下同上个解法. （ii）由（i）可知： ，， 则； 直线，直线， 设点，于是，， 则，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则； 另解1：由（i）可知： ， 则； 如图，取的中点，的中点，记椭圆左焦点为，连接， 由于，设， 则，则，，三点共线， 于是，则， 于是， 则，，，四点共线. 于是，， 由于为的中位线，则， 因为， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则. 另解2：由于 ，， 则，则是等腰直角三角形， 于是， ，， ， 同理可求， 由于， 于是，， 且，为锐角，由在上单调递增，所以． 题型八：圆锥曲线与平面向量的综合考查 1、转化向量条件； 2、设直线，联立方程； 3、写出韦达定理； 4、向量条件带入韦达定理. 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解； （2）①联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据条件有，从而可得，即可求解；②根据条件求出的取值范围，求出的横坐标，再利用三角形的面积公式及弦长公式得，即可求解. 【详解】（1）因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①因为直线方程为， 设，联立，消得到， 则， 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为. ②当时，由，得，又直线的斜率，则， 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得， 由，得， 所以， 又， 又，所以， 故的取值范围为. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在定点 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 3．（2026高三下·广东汕头·专题练习）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由椭圆的定义及直角三角形的性质，列出关于的方程组，求解可得； （2）设直线的方程为，设，直线的方程与椭圆方程联立，得；与直线联立，得点的坐标；根据向量的坐标运算，得，化简可得为定值． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则， 解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题可知，，直线的斜率存在. 设直线的方程为，， 由，得， 所以. 由，得. 由，， 得， 所以，即， 所以 ， 即为定值，定值为. 4．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】双曲线中的参数及范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】（1）由题，，得 故 （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； （3）由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 5．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线向量共线比例问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）先设点，根据题设条件推得，结合离心率代入求出即可； （2）设，利用向量共线的坐标运算即可求解； （3）设，由联立方程组可得，再结合平面向量共线，分类讨论的取值即可. 【详解】（1）的渐近线方程为，设双曲线上一点， 则， 又在上，所以， 即，代入可得， 又，代入可得，所以的方程为. （2）由（1）易得，设， 由，可得， 即得，(*)， 又，所以， 即， ，即， 又，所以. 因为，所以，， 又，所以， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以， 解得，即为定值. （3）设， 由消元得， 由，解得， 则有. 因为，所以 因为点在上，所以， 即， 因， 故得，即， 即， 代入韦达定理，可得 整理得. 当时，等式左边，右边，因为左边右边，不合题意； 当时，因，则，解得，产生矛盾，舍去； 当时，，解得或，故或. 综上，的取值范围为. 1．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． (1)求的最大值； (2)动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； (3)如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题、等比数列通项公式的基本量计算、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合二次函数性质计算求解； （2）设，，，直线，求得动点的轨迹方程，根据斜率公式得，化简可得，直线与椭圆联立方程组，由韦达定理得，，代入计算可得，即可证明直线过定点； （2）设经过次操作后点在处为事件，，点在处为事件，，点在处为事件，，点在处为事件，，由题意可得，根据全概率可得，，构造等比数列，根据等比数列通项公式求法计算可解. 【详解】（1）设，根据题意，，且，， ， 当且仅当或等号成立， 所以的最大值为． （2）设，，，直线， 因为动点满足，则点在以为直径的圆上运动，则， 又，所以，则． 的斜率， 因为，则的斜率． 所以此时的斜率， 则．所以，①     将代入①式， 整理得，② 联立直线方程与椭圆方程， 得． ，即．③ ，， 代入②式得， 化简得，解得（舍去），或，满足不等式③成立． ∴直线方程为，直线过定点． （3）由题意，盒子中三面涂红色的小立方体有8个，每次抽到后顺时针跳动1次的概率为， 盒子中六个面没有涂红色的小立方体有8个，每次抽到后逆时针跳动1次的概率为， 盒子中一面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后顺时针跳动2次的概率为， 盒子中两面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后逆时针跳动2次的概率为， 设经过次操作后点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 易知，由对称性知，即， 计算得， 而， 即，④ 又，代入④式得， 即，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 又， 即，⑤ 将，代入⑤式得， 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 2．（25-26高三上·江西吉安·期末）严寒天气，贝加尔湖边冰洞内会形成梦幻的冰锥景观.如图，无数底面直径均为1的冰锥（几何体近似圆锥）紧密排列在同一水平线上，冰锥的所有顶点均落在直线上，从左到右，冰锥的顶点依次用表示，冰锥底部直径的端点依次用表示，设. (1)求数列的通项公式； (2)若与的夹角为，且最左边冰锥的高为1. （i）证明：在所有冰锥中任取两个，存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和； （ii）令，符号表示不超过的最大整数，求的所有可能值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）， 【知识点】数列求和、二倍角的正切公式、用定义求向量的数量积、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据平面向量数量积的几何意义计算可得； （2）（i）根据夹角关系得出冰锥体积的表达式，即可得出证明； （ii）对的奇、偶进行分类讨论，再由二倍角的正切公式计算可得得出的表达式，再由的范围求出其所有可能取值. 【详解】（1）如图， 由于圆锥的截面为等腰三角形，故在上的投影数量为底面直径1， 则在上的投影数量为，而， 所以， 即； （2）（i）设顶点为的冰锥的高为，任取两个相邻冰锥， 由与的夹角为可知，又，故， 所以第个冰锥的体积， 设任取第和第个冰锥，则体积和为， 令，故存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和； （ii）由（i）知，在等腰三角形中，， 所以， 当为偶数时，， 由于在时递减，此时， 当为奇数时，， 由于在时递增，此时， 综上可知， 所以的所有可能值为，. 3．（2026高三下·安徽合肥·专题练习）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答道题后积分小于的概率； (2)设小王答道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】累加法求数列通项、递推法求概率、独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【分析】（1）分小王题都答错，或答对题答错题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答道题后积分小于，则小王题都答错，或答对题答错题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以． 由题意知，所以， 所以． （3）（i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有，即， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以 ， 又，所以． 所以 . 4．（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为. (1)求； (2)在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因. (3)是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)存在，. 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求等比数列前n项和、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】（1）根据正四面体的表面积和体积公式求出，再根据递推规律求出； （2）根据等比数列写出，根据极限思想分析，说明理由； （3）法一：证明各次球心距离与顶点到球心距离之和恒为，由向量三角不等式得任意顶点到的距离，进而求出最小球形容器半径； 法二：先证明每次构造的正四面体外接球对应的点集都包含于前一次的点集中，由递推关系可得⫋⫋⫋，其中是初始正四面体的外接球对应的点集，进而求出最小球形容器半径. 【详解】（1）正四面体的表面积为. 依题意，得； 正四面体的体积为. （2）依题意每次操作后，几何体的表面积变为上一次的倍， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以； 依题意得，， 所以 ； 又当时， 故. 又为递增数列，且当时，为递增数列， 且当时，，所以当时，， 故由此解释，该结构吸附能力强.（或，故当时，，类似说法亦可）； （3）法一：存在，的最小值即为正四面体的外接球半径为. 理由如下： 过点作平面于点，因为四面体为正四面体，故为外心，即重心，内心，垂心，则在上，且，同理得在上，且，则为四面体的外接球球心和内切球球心，设四面体棱长为，，则，所以，则由，解得， 所以. 记第1次操作后构造的任一正四面体（即四面体）的外接球球心为，连结. 则平面，设垂足为，则为的外心，重心，垂心，故在上，且，故与重合，所以共线，则平面，故. 记第2次操作后在上构造的任一正四面体的外接球球心为，连结，依次类推，第次操作后在上构造的任一正四面体的外接球球心为，其任意顶点为，连结.则依题意得： ，， 从而. 又，所以，故，即无论第几次迭代，的任意顶点到的距离都不会超过正四面体的外接球半径，又，故的最小值即为. 法二：存在，的最小值即为正四面体的外接球半径为. 理由如下： 过点作平面于点，因为四面体为正四面体， 故为外心，即重心，内心，垂心，则在上，且， 同理得在上，且，则为四面体的外接球球心和内切球球心， 设四面体棱长为，则， 所以，则由，解得， 所以. 记第1次操作后构造的任一正四面体（即四面体）的外接球球心为，连结 .则平面，设垂足为，则为的外心，重心，垂心， 故在上，且，故与重合， 所以共线，则平面，故. 以此类推，几何体最新构造的任一四面体及其在上对应的四面体，棱长分别为和，其外接球球心为别为和，半径为和，记正四面体的中心为，则. 因为，所以，故. 记球体内（含表面）所有点的集合为， 因为，所以， 故⫋⫋⫋，所以⫋， 因为球为四面体的外接球，即对上的任一点，都有， 所以，即， 故的最小值即为正四面体的外接球半径为. 5．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 (1)判断是否为周期函数，并说明理由； (2)求的最大值和最小值； (3)设证明： 【答案】(1)是周期函数，利用周期函数定义判断； (2)最大值为​​​，最小值为； (3)证明见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）由周期函数的概念结合正弦函数的周期性即可判断； （2）由（1）确定函数在一个周期上的单调性，即可求解； （3）由（2）令，得： ，​​通过累加即可求证； 【详解】（1）是周期函数， 理由如下： 由三角函数周期性知：，， 因此： ， 即是的一个周期，故是周期函数； （2）由（1）可知求在上的最值即可. 对求导得： ， 令，得​或， 在一个周期内，当时，， 当时，，当时，， 故在，单调递增，在单调递减， 又，， ，， 所以的最大值为​​​，最小值为； （3）记， 由（2）知对任意实数，都有， 对，令，得： ，​​ 将上述个不等式累加，左边整理得： 右边为​​， 因此：， 整理得：， 由，，得， 因此：，得证. 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，点在函数的图象上.且. (1)设，求在的最大值： (2)设. （i）证明：； （ii）若，试比较与0.3的大小. 【答案】(1)最大值为0； (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、三角函数综合、数列综合 【分析】（1）对函数求导，得到函数的单调性，再求最大值即可. （2）（i）利用数学归纳法得到数列的单调性，再利用三角函数的性质进行放缩即可. （2）（ii）根据前两问的结论，以及三角函数的性质将进行放缩，再进行比较. 【详解】（1）由题意知，则， 由知， 所以在递减，所以的最大值为0. （2）（i）由（1）当时，有， 因为，所以，假设，则 所以由数学归纳法知数列，所以， 所以数列单调递减，所以 . （ii） ， 所以 ， 由于， ， 所以 7．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)求证：（其中）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）可得，设，得，令，求得，得到单调性和最大值，得到，即可得证. （3）由（2）化简得到，令，得到，结合对数的运算法则和等比数列的求和公式，即可得证. 【详解】（1）由函数，可得， 则且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知：，则， 不等式，即， 即，其中， 设，可得，且，不等式即为， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，所以， 所以. （3）由（2）知：，又， 则，其中，化简得， 令，则， 所以， 由等比数列的前项和公式，可得， 所以， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $