精品解析：四川绵阳市三台中学2026届高考仿真考试（一）数学试题

三台中学2023级高考仿真考试数学（一） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名，考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以． 2. 方程的一个复数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程可化为 所以， 因此为方程的一个复数根. 3. 是为奇函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称， 时的定义域不一定关于原点对称， 所以不是为奇函数的充分条件； 如果为奇函数在处有定义时有， 在处没有定义时没有， 所以不是为奇函数的必要条件； 综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 在钝角中，，，，则（ ） A. 2 B. 3或5 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当  时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 6. 已知双曲线 ，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合，从中任取三个不同的点记为 ，若 为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直角三角形三个点为两个实轴端点、一个虚轴端点或两个虚轴端点、一个实轴端点，结合勾股定理求得关系，即可求解. 【详解】双曲线的两个实轴端点为，两个虚轴端点为，集合共4个点， 从4个点中任取3个点，共种取法，而为直角三角形，即所有取法均满足直角三角形条件： 若取两个实轴端点和一个虚轴端点， 直角只能在点，由勾股定理得： ， 代入坐标得，化简得， 同理，对任意其他三个点的组合（两个虚轴端点+一个实轴端点）也可得，满足条件， 所以 . 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 8. 已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解. 【详解】 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 图象如图，满足题意，它的对称中心为．故选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，互斥，则 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概率计算公式及条件概率、全概率公式求解即可. 【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确； 选项B：，. 若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此. 实际（事件，互斥，），B错误； 选项C：若事件相互独立，则，C正确； 选项D：由得，， 所以，D正确. 10. 某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力（单位：千PFLOPS·天）是前一个月的固定倍数，且始终保持增长.观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消耗的算力之和为10.则下列说法错误的是（ ） A. 第3个月消耗的算力为1 B. 前5个月消耗的总算力为16 C. 第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D. 前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】设等比数列通项公式，根据题意求出，再根据通项公式以及前n项和公式求解即可. 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长， 说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列，设第个月消耗的算力为，则； 已知，，得：，即，解得或， 又因为，所以，，故A错误； 对于B：已知，，所以，，，， 前5个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C：，增长率为，故C错误； 对于D：，，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 存在，使得在上是单调函数 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极大值为，极小值为， 选项A：函数在上单调性发生了变化，所以不是单调函数； 选项B：函数要有三个不同的零点，则要求的极大值大于且极小值小于， 即，解得； 选项C：当时，函数， 设切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，化简可得， 根据题目可知，切线经过原点， 代入，可得，解得， 因为只有唯一解，所以当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条； 选项D：令，要使有个不同的实数根，则要求有个不同的实数根，，，且每个有个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. 【点睛】验证C选项时，设切点坐标，写出切线的方程再把原点代入进行证明， 验证D选项时，能想到分别用和来进行证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. 13. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算. 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . 14. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简的解析式，并求的单调递增区间； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的余弦公式以及正弦函数的单调性求解即可. （2）根据三角函数的诱导公式进行分类讨论即可. 【小问1详解】 . ，， 解得，. 所以的单调递增区间为：. 【小问2详解】 由题意. 当为奇数时：， . 当为偶数时：， . 前项中：奇数项、偶数项各项. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】（1）①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 【解析】 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【小问1详解】 （1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，且不在轴上．当轴时，． （1）求的方程； （2）点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 【答案】（1） （2）证明：解法一：设，，，则，即． 又， 所以，，，． 因为，，所以，， 两式相加、减，得，， 又因为，， ， 所以，故三点共线． 解法二：设，则，即． (i)当直线，斜率均存在时，，， 所以直线，， 由得，由得， 所以，， 因为， 所以，故三点共线． (ii)当直线或斜率不存在时，根据对称性，不妨设斜率不存在，且， 此时点，，，故直线，从而， 则，， 所以三点共线． 综上，三点共线． 【解析】 【分析】（1）解法一：椭圆定义法（几何法）：先利用椭圆第一定义（椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ），再结合直角三角形勾股定理求出a，最后由 求 ，即可得出方程； 解法二：待定系数法（代数法）：先利用点在椭圆上则坐标满足方程，再结合 的关系列出方程组，联立求解 ，最后即可得出方程. （2）解法一：先设点并利用椭圆方程得到消元条件，再由垂直关系转化为向量数量积为 0，通过两式加减得到 纵坐标的和差关系，最后用向量共线的交叉相乘判定式，结合椭圆方程化简得 0，证明与​共线，从而证得 三点共线； 解法二：先由垂直关系求出直线​的方程，联立得到坐标，再通过向量共线的交叉相乘判定式，结合椭圆方程化简得 0，证明与​共线；对斜率不存在的特殊情况直接验证斜率相等，最终证得三点共线. 【小问1详解】 解法一：（1）当轴时，， 所以，所以， 从而，，故的方程为． 解法二：（1）当轴时，，所以或，所以①， 又②，由①②，解得，， 故的方程为． 【小问2详解】 略 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 【小问2详解】 （i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 19. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 【答案】（1）证明：记椭圆所在平面为，由椭圆柱定义可知，. 因为，所以 因为平面， 所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆柱的平移性质得到线面垂直关系，结合的条件，推导线线垂直，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）先确定点在底面上的射影，建立平面直角坐标系写出椭圆方程，设直线方程并联立椭圆，结合已知条件求解点的坐标，再根据线面角的定义计算正弦值； （3）先通过等体积法建立四面体体积与内切球半径的关系式，表达出内切球半径的表达式，再利用基本不等式求的最小值，同时验证、与坐标轴垂直的特殊情况，确定最终最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设在下底面射影分别为， 则． 如图，在平面直角坐标系中， 椭圆的方程为， 设，若与坐标轴不垂直，设直线的方程为， 联立直线与椭圆方程，得， 所以， 同理，可得． 由得，，解得， 所以 所以， 所以． 设直线与底面所成角为，则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为四面体的体积 ， 设四面体的内切球半径为，则 所以 当且仅当，即时，等号成立. 若与坐标轴垂直，不妨设为长轴，为短轴，即， 此时内切球半径． 所以四面体的内切球半径最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2023级高考仿真考试数学（一） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名，考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的一个复数根是（ ） A. B. C. D. 3. 是为奇函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在钝角中，，，，则（ ） A. 2 B. 3或5 C. 5 D. 3 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 6. 已知双曲线 ，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合，从中任取三个不同的点记为 ，若 为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，互斥，则 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则 10. 某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力（单位：千PFLOPS·天）是前一个月的固定倍数，且始终保持增长.观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消耗的算力之和为10.则下列说法错误的是（ ） A. 第3个月消耗的算力为1 B. 前5个月消耗的总算力为16 C. 第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D. 前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 11. 已知函数，则（ ） A. 存在，使得在上是单调函数 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 13. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 14. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简的解析式，并求的单调递增区间； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，且不在轴上．当轴时，． （1）求的方程； （2）点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 19. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $