第四章　三角形 习题课件2025-2026学年 北师大版数学七年级下册

第2课　认识三角形(2) 数学　七年级下册 知识点1 三角形按边分类 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形 B. 等边三角形是特殊的等腰三角形 C. 等腰三角形是特殊的等边三角形 D. 所有的等腰三角形都是锐角三角形 B 数学　七年级下册 2. 已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足(a－2)2＋|b－2|＋|c－2|＝0，则此三角形一定是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 一般三角形 A 数学　七年级下册 知识点2 三角形三边之间的关系 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( ) A. 1，2，6 B. 4，6，10 C. 5，6，10 D. 2，3，7 C 数学　七年级下册 4. 老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10 cm，15 cm，20 cm和25 cm四种规格，小朦同学已经取了10 cm和15 cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取 ( ) A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 25 cm D 数学　七年级下册 5. 已知一个三角形的两边长分别为5和10，第三边的长为整数，则第三边的长的最大值是 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 C 数学　七年级下册 6. 已知在△ABC中，有两边长分别是2和5，且第三边的长是偶数，则此三角形的周长为 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 D 数学　七年级下册 7. 已知三角形的三条边长分别为3，8和x. (1)x的取值范围为________；(2)当该三角形为等腰三角形时，求它的周长. 5<x<11 解：(2)当x＝3时，3＋3<8，不构成三角形； 当x＝8时，该三角形的周长为3＋8＋8＝19. 数学　七年级下册 8. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝5，b＝2，且c为奇数. (1)求△ABC的周长； 解：(1)∵a＝5，b＝2， ∴5－2<c<5＋2，即3<c<7. ∵c为奇数， ∴c＝5. ∴△ABC的周长为5＋5＋2＝12. 数学　七年级下册 (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 解：(2)△ABC为等腰三角形. 理由如下： ∵a＝c＝5， ∴△ABC是等腰三角形. 数学　七年级下册 9. 【实践教育】为提高学生火灾逃生能力，学校将组织学生进行模拟逃生演练，其中需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境. 【数据收集】设计小组成员到建材市场收集数据，数据如表： 数学　七年级下册 【数据应用】设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边的长为奇数的不同规格的三角形框架. (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有___种制作方案. 解：(1)设第三边的长为x，则4－2<x<2＋4，即2<x<6， ∴第三边的长为奇数的规格有3米和5米. ∴共有2种制作方案. 故答案为2. 2 数学　七年级下册 (2)若(1)中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 解：(2)当三角形框架的边长为2，4，3时，所需费用为 6＋10＋8＝24(元)； 当三角形框架的边长为2，4，5时，所需费用为 6＋10＋15＝31(元). ∴每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需 24＋31＝55(元). 数学　七年级下册 10. 在平面内，分别用3根、5根、6根、…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如表所示，问： 数学　七年级下册 (1)4根火柴能搭成三角形吗？ 解：(1)4根火柴搭三角形时一边长为2，另外两边的长均为1，根据三角形的三边关系，可得4根火柴不能搭成三角形. (2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三 角形？并画出它们的示意图. 解：(2)8根火柴能搭成边长分别为3，3，2 的等腰三角形，其示意图如图1所示. 数学　七年级下册 12根火柴能搭成三种不同的三角形，分别是边长为4的等边三角形或边长为5，5，2的等腰三角形或边长为3，4，5的直角三角形. 三种三角形的示意图分别如图2，3，4所示. 数学　七年级下册 $第3课　认识三角形(3) 数学　七年级下册 知识点1 三角形的中线 1. 如图，在△ABC中，D为边AC上一点，AD＝DC，E为边BC上一点，BE＝EC，则下列说法不正确的是( ) A. DE是△BDC的中线 B. BD是△ABC的中线C. D为AC的中点，E为BC的中点 D. 图中∠C的对边是DE D 数学　七年级下册 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点. 若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A 数学　七年级下册 3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的三条边中线的交点是 ( ) A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G A 数学　七年级下册 4. 如图，点G是△ABC的重心，连接AG并延长，交边BC于点D. 若S△ABD＝kS△ABC，则k＝ ( ) A. 2 B. C. D. C 数学　七年级下册 知识点2 三角形的角平分线 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，则∠ACE＝ ( ) A. 50° B. 45° C. 60° D. 65° B 数学　七年级下册 6. 如图，已知BD，CE是等边三角形ABC的角平分线，则∠EFD＝_____°. 120 数学　七年级下册 7. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，若∠B＝42°，∠C＝58°，求∠ADC及∠ADE的度数. 数学　七年级下册 解：∵∠B＝42°，∠C＝58°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC＝40°. ∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝82°. ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°. ∴∠ADE＝90°－∠DAC＝50°. 数学　七年级下册 8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，边BC上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F. (1)以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______； (2)若∠B＝35°，∠BAD＝40°，则∠DAE的度数为_____，∠ADF的度数为_____； △ABC △ABD 20° 75° 数学　七年级下册 (3)若△ABD的面积为15，AC＝5，求AB的长. 解：(3)∵△ABD的面积为15，BD＝CD， ∵AC＝5， ∴AB＝12. ∴△ABC的面积为30，即 AB·AC＝30. 数学　七年级下册 9. 如图，在6×6的正方形网格中，部分网格线被擦去. 点A，B，C在格点上，请用无刻度的直尺在图中找到△ABC的重心P. 解：如图所示，点P即为所求. 数学　七年级下册 $第8课　探索三角形全等的条件(3) 数学　七年级下册 知识点1 已知两边及其夹角利用尺规作三角形 1. 如图，已知△ABC，请根据“SAS”作△DCB，使△DCB≌△ABC，其中点D在BC右侧，且DC＝AB. (要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法) 解：如图所示，△DCB即为所求. 数学　七年级下册 知识点2 全等三角形的判定(SAS) 2. 如图，在△ABE和△ACD中，AB＝AC，AE＝AD，则能说明△ABE≌△ACD的依据是 ( ) A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA B 数学　七年级下册 3. 如图，点E，F在线段AC上，AD＝CB，DF＝BE，下列5个条件中选择一个条件：①∠A＝∠C；②∠D＝∠B；③AE＝CF；④DF∥BE；⑤AD∥BC，能够使得△ADF≌△CBE的条件个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 数学　七年级下册 4. 如图，已知∠1＝∠2，加上条件_________，可以利用“SAS”证明△ADB≌△ADC. AB＝AC 数学　七年级下册 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝108°. (1)求证：△BAD≌△CAE； 数学　七年级下册 (1)证明：∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD， ∠DAE＝∠CAE＋∠CAD， 且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS). 在△BAD和△CAE中， 数学　七年级下册 (2)若DE＝DC，求∠CDE的度数. (2)解：∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 在△ABC中，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠ACB＝36°. ∴∠ACE＝36°. ∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝72°. ∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝72°. ∴∠CDE＝180°－∠DEC－∠DCE＝36°. 数学　七年级下册 B 知识点3 对利用“SSA”不一定能判定两个三角形全等的理解 6. 如图，∠1＝∠2，下列不能确定△ABC≌△CDA的条件是 ( ) A. AB＝CD B. AD＝CB C. ∠ACB＝∠CAD D. ∠B＝∠D 数学　七年级下册 7. 如图，要使△ABC≌△ABD，下列四组条件中，错误的一组是 ( ) A. ∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD B. BC＝BD，AC＝ADC. ∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD D. BC＝BD，∠BAC＝∠BAD D 数学　七年级下册 8. 如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌ △ACE，则需要添加的条件是_____________________. (写一个即可) ∠B＝∠C(答案不唯一) 数学　七年级下册 9. 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，请添加一个条件，使△ACE≌△BCD. (1)你添加的条件是_____________________；(只需添加一个条件)(2)利用(1)中添加的条件，求证： △ACE≌△BCD. EC＝DC(答案不唯一) 数学　七年级下册 (2)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS). 在△ACE和△BCD中， 数学　七年级下册 10. 以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，按如图1所示的方式放置，使得直角边AD，AC重合，连接BD，CE，延长BD交CE于点F. (1)求证：BD＝CE，BF⊥CE. 数学　七年级下册 (1)证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°. ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 又∵∠CAE＝90°，∴∠ACE＋∠AEC＝90°. ∴∠ABD＋∠AEC＝90°. ∴∠BFE＝90°. ∴BF⊥CE. 在△BAD和△CAE中， 数学　七年级下册 (2)按如图2所示的方式放置，(1)中的结论还成立吗？请说明理由. 数学　七年级下册 (2)解：成立. 理由如下： 同理，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＋∠ACB＝90°. ∴∠ACE＋∠CBD＋∠ACB＝90°， 即∠FCB＋∠FBC＝90°. ∴∠BFC＝90°. ∴BF⊥CE. 数学　七年级下册 11. 如图，AB＝4 cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝3 cm. 点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s). 当△ACP与△BPQ全等时，求x的值. 数学　七年级下册 解：依题意，得AP＝t cm，BQ＝xt cm， ∵AB＝4 cm，∴BP＝AB－AP＝(4－t)(cm). ∵∠A＝∠B＝60°， 当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ(SAS)， ∴3＝4－t，t＝xt. ∴t＝1，x＝1； 当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP(SAS)， ∴3＝xt，t＝4－t. ∴t＝2，x＝ . 综上所述，当△ACP与△BPQ 全等时，x的值为1或 . 数学　七年级下册 $第5课　全等三角形 数学　七年级下册 知识点 全等三角形的概念及性质 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等 C 数学　七年级下册 2. 如图，若△ABC≌△DEF，∠A＝45°，∠F＝35°，则∠E＝ ( ) A. 35° B. 45° C. 60° D. 100° D 数学　七年级下册 3. 如图，△ABC≌△CDA，AC＝7 cm，AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AD的长是 ( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 8 cm D 数学　七年级下册 4. 若△ABC和△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论错误的是 ( ) A. BC＝EF B. ∠B＝∠D C. ∠C＝∠F D. AC＝EF A 数学　七年级下册 5. 已知△ABC的三边长分别为7，5，3，△DEF的三边长分别为3x－2，2x－1，3，若这两个三角形全等，则x的值为____. 3 数学　七年级下册 6. 如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，∠C＝28°，则∠A＝_____. 62° 数学　七年级下册 7. 如图，△ABC≌△ADE，∠CAE＝60°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点C，则∠BAC的度数为_____. 80° 数学　七年级下册 8. 如图，△ABE≌△ACD，∠C＝20°，AB＝10，AD＝6，G为AB延长线上一点，求∠EBG的度数和CE的长. 解：∵△ABE≌△ACD，∠C＝20°，AB＝10，AD＝6， ∴∠EBA＝∠C＝20°，AC＝AB＝10，AE＝AD＝6. ∵G为AB延长线上一点， ∴∠EBA＋∠EBG＝180°. ∴∠EBG＝180°－∠EBA＝160°. ∵AC＝AE＋CE， ∴CE＝AC－AE＝10－6＝4. 数学　七年级下册 9. 如图，已知△ABC≌△ADE. (1)写出它们的对应边和对应角； (1)解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE， ∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE. (2)求证：∠BAD＝∠EAC. (2)证明：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， 即∠BAD＝∠EAC. 数学　七年级下册 10. 如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上，现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形. (1)在图1中画出一个三角形与△PQR全等； 解：(1)如图1所示，△EAB或△EDC即为所求. (画出其一即可) 数学　七年级下册 (2)在图2中画出一个三角形与△PQR面积相等，但不全等. 解：(2)如图2所示，△ABD或△ACD即为所求. (画出其一即可) 数学　七年级下册 11. 如图1，在4×4的正方形方格中，有一只蚂蚁从点A处沿格线(虚线)爬行到点B，爬行路径正好把大正方形分割成全等的两个图形. 请在图2、图3、图4三个4×4正方形方格中，分别沿格线(虚线)画出三种不同的走法，使得每个大正方形都分成两个全等的图形. 数学　七年级下册 解：如图2、图3、图4所示. (答案不唯一) 数学　七年级下册 $第10课　利用三角形全等测距离 数学　七年级下册 知识点 利用三角形全等测距离：延长一倍、作垂直、作平行，构造全等三角形 1. 如图，为了测量水池两边A，B之间的距离，可以先过点A作射线AE，再过点B作BD⊥AE于点D，在AD延长线上截取CD＝AD，连接BC，则BC的长就是A，B之间的距离，用来判定△ABD≌△CBD的依据是 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS B 数学　七年级下册 2. 如图，有两个滑梯靠在一面竖直墙上，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，左边滑梯的水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等. 若DF＝6 m，DE＝8 m，AD＝4 m，则BF＝ ( ) A. 18 m B. 16 m C. 12 m D. 10 m A 数学　七年级下册 3. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝DC，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在同一条直线上. 若想知道A，B两点之间的距离，只需要测量出线段___的长即可，利用构造△ABC≌△EDC，得到对应边的关系，做出这一判断的依据是_____________. ED ASA(或AAS) 数学　七年级下册 4. 如图，要测量水池的宽AB，可从点A出发，在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝80 m，则水池宽AB的长度是____m. 80 数学　七年级下册 5. 如图是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径AB的长度是10 cm，为了得到瓶子的壁厚a，小庆把两根相同长度的木条DE和CF的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，得到EF的长为6 cm，则瓶子的壁厚a为___cm. 2 数学　七年级下册 6. 如图，小明想知道一堵竖直墙上的点A到地面的高度AO，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你补全方案： 数学　七年级下册 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，标记此时直杆的底端点D；第三步：测量____的长度，即为点A到地面的高度AO. 请说明小明这样测量的理由. OD 数学　七年级下册 解：理由如下：依题意，得AO⊥OD， ∴∠AOB＝90°. ∴△AOB≌△DOC(AAS). ∴OA＝OD. ∴测量OD的长度就是点A到地面的高度AO. 在△AOB和△DOC中， 数学　七年级下册 7. 学校为开展数学实践活动，成立了户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器(可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小). 测量小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A，B之间的距离. 数学　七年级下册 (1)测量小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上(如图1)，取一个可直接到达A，B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至点D，延长BC至点E，使用拉尺量取CD＝CA，CE＝CB，确定D，E两个点后，最后用拉尺直接量出线段 DE的长，则DE的长就是端点A，B之 间的距离. 你认为测量小组的测量方 案正确吗？请说明理由. 数学　七年级下册 如图1，连接AB， 解：(1)测量小组的测量方案正确. 理由如下： ∴△ABC≌△DEC(SAS). ∴AB＝DE. 在△ABC和△DEC中， 数学　七年级下册 (2)你还有不同于测量小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案. (在图2中画出简图) 解：(2)有其他方案，测量方案如下： 第一步：连接AB，过点B作AB的垂线BF； 第二步：在BF上取C，D两点，使BC＝CD； 第三步：过点D作DB的垂线DE， 交AC的延长线于点E； 第四步：测出DE的长即为端点A，B 之间的距离. 测量方案简图如图2所示. (答案不唯一) 数学　七年级下册 8. 在学习完全等三角形章节后，某数学兴趣小组的同学设计了如下方案测量河两岸A，B两点之间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 数学　七年级下册 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝CB； ②测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°； ③在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°； ④测得DE的长度为30 m 请你根据上述方案求出A，B两点之间的距离. (要写出证明过程) 数学　七年级下册 解：∵∠C＝100°，∠ADC ＝ 65°， ∴∠CAD＝ 15°. ∵∠CEB＝15°，∴∠CAD＝∠CEB. ∴△ACD≌△ECB(AAS). ∴AC＝EC. 又∵CB＝CD，∴AB＝DE＝30 m. 答：A，B两点之间的距离为30 m. 在△ACD和△ECB中， 数学　七年级下册 $第7课　探索三角形全等的条件(2) 数学　七年级下册 知识点1 已知两角及其夹边利用尺规作三角形 1. 如图，在用尺规作图作△DBC≌△ABC的过程中，运用的三角形全等的判定方法是 ( ) A. SSS B. ASA C. AAS D. 无法判定 B 数学　七年级下册 2. 如图，小王做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，请利用尺规帮他完成作图. 解：如图所示，△ABC即为所求. 数学　七年级下册 知识点2 全等三角形的判定(ASA) 3. 如图，D是边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝6，CF＝4，则BD的长是 ( ) A. 1. 5 B. 2 C. 2. 5 D. 3 B 数学　七年级下册 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据可以简写为_____. ASA 数学　七年级下册 5. 如图，已知AC平分∠BAD, 利用“ASA”使△ABC≌△ADC，则要添加一个条件： ________________. ∠ACB＝∠ACD 数学　七年级下册 知识点3 全等三角形的判定(AAS) 6. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列选项中的 ( ) A. AB＝CD B. AD＝BC C. AB∥CD D. ∠B＝∠CAB C 数学　七年级下册 7. 已知△ABC，△DEF，△HIG的相关数据如图所示，则 ( ) A. △ABC≌△DEF B. △DEF≌△HIG C. AB＝DE D. HI＝BC B 数学　七年级下册 8. 如图，E，A，C三点共线，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝ED. 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ECD. ∴△BAC≌△ECD(AAS). ∴BC＝ED. 在△BAC和△ECD中， 数学　七年级下册 9. 如图，将两块大小相同的三角板(∠B＝∠C＝30°的直角三角形)按如图所示的位置摆放. 若BE交CF于点D，交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论： ①∠EAM＝∠FAN； ②△ACN≌△ABM； ③∠EAF＋∠BAC＝120°； ④EM＝FN. 其中正确的有_________. (填序号) ①②③④ 数学　七年级下册 10. 如图，小浩和爸妈在公园里荡秋千，小浩坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他. 若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1. 6 m和2 m，∠BOC＝90°. (1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由. 数学　七年级下册 解：(1)△CEO与△ODB全等. 理由如下： ∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD＋∠COE ＝90°. 依题意，得OB＝CO，BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠BDO＝∠OEC＝90°. ∴∠BOD＋∠OBD＝90°. ∴∠COE ＝∠OBD. ∴△CEO≌△ODB(AAS). 在△CEO和△ODB中， 数学　七年级下册 (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小浩？ 解：(2)由(1)可知△CEO≌△ODB， ∴OE＝BD＝1. 6 m，OD＝CE＝2 m. 又∵点B距离地面高度为1 m， ∴点C与地面的距离为DE＋1＝OD－OE＋1＝1. 4(m). 答：爸爸在距离地面1. 4 m高的地方接住小浩. 数学　七年级下册 11. 数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，过点A作BC的平行线l. (1)在图1中的直线l上取点E(点E在点A左侧)，使AE＝BD，连接DE交AB于点F，得到图2. 试判断EF与DF的数量关系，并说明理由； 数学　七年级下册 (1)解：EF＝DF. 理由如下： ∵直线l∥BC， ∴∠AEF＝∠BDF，∠EAF＝∠B. ∴△AEF≌△BDF(ASA). ∴EF＝DF. 在△AEF和△BDF中， 数学　七年级下册 (2)在图1中的直线l上取点G，H(点G，H分别在点A的两侧)，连接DG交AB于点M，连接DH交AC于点N，且∠AGD＝∠AHD，得到图3. 小宇发现GM＝HN，请你帮她证明结论. 数学　七年级下册 (2)证明：∵在△ABC中，AD是边BC上的中线， ∴BD＝CD. 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC(SSS). ∴∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C. ∵∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝ADC＝90°，即AD⊥BC. ∵直线l∥BC，∴∠GAM＝∠B，∠HAN＝∠C， ∠AGM＝∠BDM，∠AHN＝∠CDN. 又∵∠B＝∠C，∠AGD＝∠AHD， 数学　七年级下册 ∴∠GAM ＝∠HAN，∠BDM＝∠CDN. ∴△BDM≌△CDN(ASA). ∴BM＝CN. ∵AB＝AC，∴AM＝AN. ∴△MGA≌△NHA(AAS). ∴GM＝HN. 在△BDM和△CDN中， 在△MGA和△NHA中， 数学　七年级下册 $第四章　三角形 第1课　认识三角形(1) 数学　七年级下册 知识点1 三角形及有关概念 1. 图中三角形的个数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 B 数学　七年级下册 知识点2 三角形内角和及三角形的分类 2. 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝20°，则∠C的度数为 ( ) A. 20° B. 60° C. 80° D. 100° D 数学　七年级下册 3. 在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，那么△ABC的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都不对 A 数学　七年级下册 4. 若三角形三个内角的度数比为3∶4∶5，则这个三角形一定是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 A 数学　七年级下册 知识点3 直角三角形的两锐角互余 5. 如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2的度数为 ( ) A. 210° B. 250° C. 270° D. 300° C 数学　七年级下册 6. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝4∠C，则∠B的度数为 ( ) A. 45° B. 60° C. 72° D. 84° C 数学　七年级下册 7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处. 若∠A＝28°，则∠ADE＝ ( ) A. 28° B. 34° C. 42° D. 44° B 数学　七年级下册 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD. 若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为_____. 60° 数学　七年级下册 9. 在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，求△ABC中各内角的度数. 解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°， ∴∠C＝∠A＋10°＋10°＝∠A＋20°. 由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠A＋10°＋∠A＋20°＝180°， 解得∠A＝50°. ∴∠B＝50°＋10°＝60°，∠C＝50°＋20°＝70°. 数学　七年级下册 10. 【模型理解】(1)如图1，AB和CD相交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D； 证明：(1)在△AOC中，∠A＋∠C＋∠AOC＝180°， 在△BOD中，∠B＋∠D＋∠BOD＝180°， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D. 数学　七年级下册 【模型应用】(2)如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，AE与CB相交于点F，AD与CE相交于点G，求证：∠B＋∠D＝2∠E. 数学　七年级下册 证明：(2)同(1)中模型可得，在AE，CB相交线中，有∠B＋∠BAF＝∠E＋∠ECF， 在AD，EC相交线中，有∠D＋∠DCG＝∠E＋∠EAG， ∴∠B＋∠BAF＋∠D＋∠DCG ＝2∠E＋∠ECF＋∠EAG. ∵AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAF＝∠EAG，∠DCG＝∠ECF. ∴∠B＋∠D＝2∠E. 数学　七年级下册 $第6课　探索三角形全等的条件(1) 数学　七年级下册 知识点1 已知三边利用尺规作三角形 1. 如图，在△ABC中，∠FBC＝∠ACB. (1)尺规作图：在BC下方作△BEC≌△BFC，并说明全等的理由； 数学　七年级下册 解：(1)如图，分别以点B，C为圆心，BF，CF的长为半径画弧，两弧在BC下方相交于点E，连接BE，CE，△BEC即为所求. 理由如下： 由作图可知BE＝BF，CE＝CF， ∴△BEC≌△BFC(SSS). 又∵BC＝BC， 数学　七年级下册 (2)说明BE与AC的位置关系. 解：(2)∵△BEC≌BFC， ∴∠EBC＝∠FBC. 又∵∠FBC＝∠ACB， ∴∠EBC＝∠ACB. ∴BE∥AC. 数学　七年级下册 知识点2 全等三角形的判定(SSS) 2. 如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下列4个条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④FB＝BE，可利用的是 ( ) A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或④ A 数学　七年级下册 3. 如图，在△ABC和△DCB中，AC，BD相交于点E，AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是 ( ) A. AE＝DE B. CE＝CD C. BE＝CE D. AC＝DB D 数学　七年级下册 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上(不与点B，C重合)，只需添加一个条件即可证明△ABD≌ △ACD，这个条件可以是____________________. (写出一个即可) BD＝CD(答案不唯一) 数学　七年级下册 5. 如图，已知BC＝DE，BE＝DC，求证：∠CBE＝∠EDC. 下面是小明的证明过程，请你给小明的每个步骤填上依据. (填在括号中) 证明：在△BCD和△DEB中， ∴△BCD≌△DEB(　 　). ∴∠CBD＝∠EDB，∠CDB＝∠EBD (　 　). ∴∠CBE＝∠EDC. 已知 已知 SSS 全等三角形的对应角相等 公共边 数学　七年级下册 知识点3 三角形的稳定性 6. 安装空调外机时一般会采用如图所示的方法固定，这是利用三角形的 ( ) A. 全等性 B. 对称性 C. 美观性 D. 稳定性 D 数学　七年级下册 7. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF相交于点O. (1)求证：△ABC≌△EDF； (1)证明：∵AD＝BE， ∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝ED. ∴△ABC≌△EDF(SSS). 在△ABC和△EDF中， 数学　七年级下册 (2)若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数. (2)解：∵∠CBE＝125°， ∴∠ABC＝180°－∠CBE＝55°. ∵△ABC≌△EDF， ∴∠EDF＝∠ABC＝55°. ∴∠BOD＝180°－∠EDF－∠ABC＝70°. 数学　七年级下册 8. 已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点在一条直线上. (1)如图1，点B在线段DE上，则∠DAE与∠BAC的数量关系是________________； ∠DAE＝∠BAC 数学　七年级下册 (2)如图2，点B在线段ED的延长线上，请写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系，并说明理由； 数学　七年级下册 解：(2)∠ADE＋∠AEC＝180°. 理由如下： ∴△ADB≌△AEC(SSS). ∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠ADE＋∠ADB＝180°， ∴∠ADE＋∠AEC＝180°. 在△ADB和△AEC中， 数学　七年级下册 (3)如图3，点B在线段DE的延长线上，若∠ADB＝70°，则∠AEC的度数是_____. 70° 数学　七年级下册 $第9课　探索三角形全等的条件习题课 数学　七年级下册 1. 根据下列各组所给条件，不能唯一确定△ABC的形状和大小的是 ( ) A. AB＝6 cm，BC＝7. 4 cm，∠B＝45° B. ∠B＝45°，BC＝7. 4 cm，∠C＝75°C. ∠B＝45°，AB＝6 cm，∠C＝75° D. BC＝5. 4 cm，AB＝6 cm，∠A＝60° D 数学　七年级下册 2. 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞. 油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC. 其中证明△ADB≌△ADC的依据是 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS A 数学　七年级下册 3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连接AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F，则图中全等三角形有 ( ) A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 C 数学　七年级下册 4. 如图，E是AC的中点，要使△ADE≌△CFE，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________. (只需写出一种情况) DE＝FE(答案不唯一) 数学　七年级下册 5. 如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列四个结论中，正确结论的序号为_______. ①∠1＝∠2； ②BE＝CF； ③CD＝DN； ④△CAN≌△BAM. ①②④ 数学　七年级下册 6. 如图，点E在边CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，AE＝CD. 求证：∠1＝∠2. ∴△ABE≌△CBD(SSS). ∴∠ABE＝∠CBD. ∴∠ABE－∠CBE＝∠CBD－∠CBE， 即∠1＝∠2. 证明：在△ABE和△CBD中， 数学　七年级下册 7. 如图，△ABC的两条高AD，CE相交于点F，AF＝BC. (1)求证：△AEF≌△CEB； (1)证明：依题意，得AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEF＝∠CEB＝90°. ∴∠B＋∠EAF＝90°，∠B＋∠ECB＝90°. ∴∠EAF＝∠ECB. ∴△AEF≌△CEB(AAS). 在△AEF和△CEB中， 数学　七年级下册 (2)若BE＝4，CF＝5，求AE的长度. (2)解：由(1)知△AEF≌△CEB， ∴AE＝CE，FE＝BE＝4. ∵CF＝5， ∴CE＝CF＋FE＝9. ∴AE＝9. 数学　七年级下册 8. 在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝30°，AB＝A′B′＝6，AC＝A′C′＝4. 已知∠C＝n°，则∠C′＝( ) A. 30° B. n° C. n°或180°－n° D. 30°或150° C 数学　七年级下册 9. 如图，在3×3的方格纸中，∠1＋∠2的度数为_____. 45° 数学　七年级下册 10. 如图1，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F. (1)求证：BF＝CF； 数学　七年级下册 (1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°. ∴△ADB≌△AEC(AAS). ∴AD＝AE，∠B＝∠C. 又∵AB＝AC，∴BE＝CD. ∴△EFB≌△DFC(ASA). ∴BF＝CF. 在△ADB和△AEC中， 在△EFB和△DFC中， 数学　七年级下册 (2)如图2，连接AF，请直接写出图中的全等三角形. (2)解：图中的全等三角形有△ADB≌△AEC，△EFB≌△DFC，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF. 理由如下：由(1)知△ADB≌△AEC，△EFB≌△DFC， BF＝CF，∴EF＝DF，AE＝AD. ∴△AEF≌△ADF(SSS). ∴△ABF≌△ACF(SSS). 在△AEF和△ADF中， 在△ABF和△ACF中， 数学　七年级下册 11. 如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上，过点C作CE⊥AD，垂足为M, 交AB于点E. (1)求证：∠BCE＝∠CAD； (1)证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD＋∠CDA＝90°. ∵CM⊥AD，∴∠CMD＝90°. ∴∠BCE＋∠CDA＝90°. ∴∠BCE＝∠CAD. 数学　七年级下册 (2)如图2，CN平分∠ACB交AD于点N，求证：CN＝BE； (2)证明：∵CN平分∠ACB，∠ACB＝90°， ∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°. ∴∠ACN＝∠B. 由(1)知∠CAN＝∠BCE， ∴△ACN≌△CBE(ASA). ∴CN＝BE. 在△ACN和△CBE中， ∴∠ACN＝ ∠ACB＝45°，∠CAB＋∠B＝90°. 数学　七年级下册 (3)如图2，在(2)的条件下，连接DE，若D是BC的中点，猜想AD，CE，DE之间的数量关系并说明理由. 数学　七年级下册 (3)解：AD＝CE＋DE. 理由如下： 如图2，由(2)知△ACN≌△CBE， ∴AN＝CE，CN＝BE，∠ACN＝∠B. ∵CN平分∠ACB，∴∠NCD＝∠ACN. ∴∠NCD＝∠B＝45°. ∵D是BC的中点，∴DC＝DB. ∴△CDN≌△BDE(SAS). ∴DN＝DE. ∴AD＝AN＋DN＝CE＋DE. 在△CDN和△BDE中， 数学　七年级下册 $第4课　认识三角形(4) 数学　七年级下册 知识点1 三角形的高线 1. 如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，图中可以作为三角形的“高”的线段有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条 D 数学　七年级下册 2. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为 ( ) A. 1. 5 B. 3 C. 4 D. 6 B 数学　七年级下册 3. 下列说法错误的是 ( ) A. 三角形的三条角平分线都在三角形内部 B. 三角形的三条中线都在三角形内部 C. 三角形的三条高都在三角形内部 D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 C 数学　七年级下册 知识点2 钝角三角形的三条高 4. 如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是 ( ) A. 线段AD是边BC上的高 B. 线段BE是边AB上的高C. 线段CF是边AC上的高 D. 线段CF是边BC上的高 A 数学　七年级下册 5. 如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝2，EC＝4，则AB与BC的比值是____. 数学　七年级下册 6. 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，BD⊥AC于点D，BD＝3，试作出边BC上的高AE，并求AE的长. 解：如图，过点A作边BC上的高线AE，交CB延长线于点E. ∴AE＝6. ∵ BC·AE＝ AC·BD，AC＝8，BC＝4，BD＝3， ∴ ×4AE＝ ×8×3. 数学　七年级下册 7. 如图，在△ABC中，BE是边AC上的高，CF是边AB上的高，H是BE和CF的交点. (1)若∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，求∠ABE和∠BHC的度数； 数学　七年级下册 解：(1)在△ABC中，∵∠ABC＝62°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝68°. ∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°. ∴∠ABE＝90°－∠A＝22°. ∵CF⊥AB，∴∠BFC＝90°. ∴∠BHF＝90°－∠ABE＝68°. ∴∠BHC＝180°－∠BHF＝112°. 数学　七年级下册 (2)若AB＝10，AC＝8，CF＝4，求BE的长. AB＝10，AC＝8，CF＝4， ∴AB·CF＝AC·BE， 即8BE＝40，解得BE＝5. 解：(2)∵S△ABC＝ AB·CF＝ AC·BE， 数学　七年级下册 8. 在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”. 例如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”. 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作BA⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线ON于点C. 数学　七年级下册 (1)∠ABO的度数为____°，△AOB_____(填“是”或“不是”)“智慧三角形”； 30 不是 (1)解：∵AB⊥OM，∠MON＝60°， ∴∠OAB＝90°. ∴∠ABO＝90°－∠MON＝30°. ∴△AOB为直角三角形，不是“智慧三角形”. 故答案分别为30，不是. 数学　七年级下册 (2)若∠OAC＝20°，求证：△AOC是“智慧三角形”； (2)证明：∵∠AOC＝60°，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝3∠OAC， ∠ACO＝180°－∠AOC－∠OAC＝100°. ∴△AOC是“智慧三角形”. 数学　七年级下册 (3)当△ABC是“智慧三角形”时，求∠OAC的度数. (直接写出答案) (3)解：由△ABC是“智慧三角形”，可分下列情况进行讨论： ①当点C在线段OB上时， ∵∠ABO＝30°，∠BAC<90°， ∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠BCA>60°. Ⅰ. 当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°， 此时∠BCA＝140°，△ABC是“智慧三角形”. ∴∠OAC＝80°. Ⅱ. 当∠ABC＝3∠BCA时，∠BCA＝10°<60°， 数学　七年级下册 ∴此种情况不存在. Ⅲ. 当∠BCA＝3∠BAC时，∠BAC＋3∠BAC＝150°， ∴∠BAC＝37. 5°， 此时∠BCA＝112. 5°，△ABC是“智慧三角形”. ∴∠OAC＝52. 5°. Ⅳ. 当∠BCA＝3∠ABC时，∠BCA＝90°， 此时△ABC为直角三角形，不符合题意，舍去. Ⅴ. 当∠BAC＝3∠ABC时，∠BAC＝90°， 此时△ABC为直角三角形，不符合题意，舍去. Ⅵ. 当∠BAC＝3∠BCA时，3∠BCA＋∠BCA＝150°， ∴∠BCA＝37. 5°<60°. ∴此种情况不存在. 数学　七年级下册 ②当点C在线段OB的延长线上时， ∵∠ABO＝30°，∴∠ABC＝150°. ∴∠BCA＋∠BAC＝30°. Ⅰ. 当∠BCA＝3∠BAC时，3∠BAC＋∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝7. 5°. ∴∠OAC＝90°＋∠BAC＝97. 5°. Ⅱ. 当∠BAC＝3∠BCA时，∠BCA＋3∠BCA＝30°. ∴∠BCA＝7. 5°. ∴∠BAC＝3∠BCA＝22. 5°. ∴∠OAC＝90°＋∠BAC＝112. 5°. 综上所述，当△ABC是“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52. 5°或97. 5°或112. 5°. 数学　七年级下册 $