第六章　变量之间的关系 习题课件2025-2026学年 北师大版数学七年级下册

第3课　用关系式表示变量之间的关系 数学　七年级下册 知识点1 用关系式表示变量之间的关系 1. 油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0. 2升/分钟，则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t(分钟)之间的关系式为 ( ) A. Q＝0. 2t B. Q＝20－0. 2t C. t＝0. 2Q D. t＝20－0. 2Q B 数学　七年级下册 2. 某市出租车的收费标准如表所示. 设行驶里程数为x km，收费为y元，那么y与x(x≥3)之间的关系式为 ( ) A. y＝1. 8x B. y＝1. 8x＋8 C. y＝8x D. y＝1. 8x＋2. 6 D 数学　七年级下册 3. 在一次运动会的100米比赛中，小明以8米/秒的速度奔跑，设小明离终点的距离为y(米)，则y与奔跑时间t(秒)之间的关系式是 ( ) A. y＝8t B. y＝ C. y＝100－8t D. y＝8t－100 C 数学　七年级下册 4. 在高处让一物体由静止开始落下，它下落经过的时间t(秒)与下落的高度h(米)之间的关系如表所示. 请根据表格中的数据估计下落经过的时间为5秒时，下落的高度是______米. 122. 5 数学　七年级下册 5. 若一个梯形的上底长是2 cm，下底长是x cm，高是6 cm，则该梯形的面积y(cm2)与下底长x(cm)之间的关系式是_________. 6. 某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1千克时弹簧长度增加0. 5厘米，那么弹簧长度y(厘米)与所挂物体的质量x(千克)之间的关系式为____________. y＝3x＋6 y＝0. 5x＋13 数学　七年级下册 7. 如图，在一个边长为10 cm的正方形的四个角处，都剪去一个边长为x cm的小正方形，则图中阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)之间的关系式为 ___________________. y＝100－4x2(0≤x≤5) 数学　七年级下册 知识点2 根据关系式求值 8. 根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠的时间H(时)可用公式H＝ (N是人的年龄). 请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠的时间为____时. 9. 7 数学　七年级下册 9. 漏刻是我国古代的一种计时工具，图1是其示意图，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民智慧的结晶. 某同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻，其示意图如图2所示，发现水位h(cm)与时间t(min)满足某种确定的关系. 数学　七年级下册 如表是记录的部分数据. 根据表格数据，解答下列问题： (1)水位h(cm)与时间t(min)之间的关系式为__________，当h＝9时，t＝___； h＝0. 4t＋1 20 数学　七年级下册 解：(1)由表格可知，时间每增加1 min，水位上升0. 4 cm， ∴h与t的关系式为h＝0. 4t＋1. 当h＝9时，0. 4t＋1＝9， 解得t＝20. 故答案分别为h＝0. 4t＋1，20. 数学　七年级下册 (2)根据表中的信息，分析水位h(cm)与时间t(min)的变化规律. (写出一个结论即可) 解：(2)根据表中的信息，水位h随着时间t的延长而升高. (答案不唯一) 数学　七年级下册 10. 劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉. 某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与农耕劳作. 如图，现计划利用校园围墙的一段MN(MN最长可用25 m)，用40 m长的篱笆，围成一个长方形菜园ABCD. 设AB的长为x m(7. 5≤x＜20). 数学　七年级下册 (1)BC的长为_________m(用含x的代数式表示)，长方形菜园的面积S(m2)与AB的长x(m)之间的关系式为S＝____________； 解：(1)BC＝40－AB－CD＝(40－2x)(m)， S＝AB·BC＝x(40－2x)＝(－2x2＋40x)(m2). 故答案分别为(40－2x)，－2x2＋40x. (40－2x) －2x2＋40x 数学　七年级下册 (2)根据(1)中的关系式完成表格： AB的长x/m 8 9 10 11 12 13 14 15 … 长方形菜园的面积S/m2 192 ___ ___ 198 ___ 182 168 150 … 198 200 192 解：(2)将x＝9，x＝10，x＝12分别代入S＝－2x2 ＋40x， 得S＝198，S＝200，S＝192. 故答案分别为198，200，192. 数学　七年级下册 (3)请根据表中数据分析，S随x的变化而如何变化. (写出一个结论即可) 解：(3)当x<10时，S随x的增大而增大. (答案不唯一) 数学　七年级下册 $第2课　用表格表示变量之间的关系 数学　七年级下册 知识点 根据表格确定自变量、因变量及变化规律 1. 研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如表所示的关系： 数学　七年级下册 下列说法正确的是 ( ) A. 土豆产量是自变量 B. 氮肥的施用量是自变量 C. 氮肥的施用量是101 kg时，土豆产量为34 t D. 氮肥的施用量越大，土豆产量越高 B 数学　七年级下册 2. 课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机的飞行高度h(米)随飞行时间t(秒)变化的规律如表所示. 数学　七年级下册 下列说法正确的是 ( )A. 飞行时间t每增加0. 5秒，飞行高度h就增加5. 5米B. 飞行时间t每增加0. 5秒，飞行高度h就减少5. 5米C. 飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同D. 从0秒到2秒飞机上升的高度是15米 C 数学　七年级下册 3. 高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的. 如表是反映海拔高度(m)与空气含氧量(g/m3)之间关系的一组数据： 数学　七年级下册 下列说法不正确的是 ( )A. 海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 B. 海拔高度每上升1 000 m，空气含氧量减少33. 8 g/m3 C. 在海拔高度为2 000 m的地方，空气含氧量是234. 8 g/m3 D. 当海拔高度从3 000 m上升到4 000 m时，空气含氧量减少了27. 5 g/m3 B 数学　七年级下册 4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)随气球内气体的体积V(立方米)的变化而变化，p随V的变化情况如表所示，那么在这个温度下，可以反映p与V之间关系的式子是 ( ) A. p＝96V B. p＝48V C. pV＝96 D. pV＝48 C 数学　七年级下册 5. 如图，正方形的边长为12 cm，在四个角分别剪去全等的等腰直角三角形，当等腰直角三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积变化如表所示. 若等腰直角三角形的直角边长为3 cm，则图中阴影部分的面积是_____cm2. 126 数学　七年级下册 6. 某数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在的关系如表所示. 根据表格信息，解答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪些量是变量？ 解：(1)在这个变化过程中，气温和声音在空气中的传播速度是变量. 数学　七年级下册 (2)从表中数据可知，气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了多少？ 解：(2)从表中数据可知，气温每升高10 ℃，声音在空气中传播的速度提高了6 m/s， ∴气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 0. 6 m/s. 数学　七年级下册 7. 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量的关系如表所示. 解：(1)反映了易拉罐的底面半径和用铝量之间的关系，易拉罐的底面半径是自变量，用铝量是因变量. (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 数学　七年级下册 (2)当易拉罐的底面半径为2. 4 cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？ 解：(2)由表可知，当底面半径为2. 4 cm时，易拉罐的用铝量为5. 6 cm3. (3)根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由. 解：(3)易拉罐的底面半径为2. 8 cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本低. 数学　七年级下册 (4)粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响. 解：(4)当易拉罐的底面半径在1. 6～2. 8 cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐的底面半径在 2. 8～4. 0 cm变化时，用铝量随半径的增大而增大. 数学　七年级下册 8. 小红为了帮助母亲预算4月份的用电量，记录了4月初连续8天每天早上电表显示的读数，列成了如下表格： 解：(1)这个表格反映了日期与电表显示的读数这两个变量之间的关系，日期是自变量，电表显示的读数是因变量. (1)这个表格反映哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 数学　七年级下册 (2)4月5日早上电表显示的读数是多少？ 解：(2)根据表格可知，4月5日早上电表显示的读数是35千瓦·时. (3)这个月的前5天共用电多少？(小红家每天只在晚上用电) 解：(3)∵39－21＝18(千瓦·时)， ∴这个月的前5天共用电18千瓦·时. 数学　七年级下册 (4)估计在4月9日早上电表显示的读数是多少. 解：(4)由表格中的数据可知，每天用电大约为3千瓦·时或4千瓦·时， ∴估计在4月9日早上电表显示的读数为49或50千瓦·时. (5)估计4月份的总用电量. 解：(5)前7天的总用电量为46－21＝25(千瓦·时)， ∴4月份的总用电量约为(25÷7)×30≈107(千瓦·时). 数学　七年级下册 $第六章　变量之间的关系 第1课　现实中的变量 数学　七年级下册 知识点1 变量与常量 1. 一根蜡烛原长12 cm，点燃t min后，剩余蜡烛的长为n cm，则在这个变化过程中，下列判断正确的是 ( ) A. t是常量 B. 12是变量 C. t是变量 D. n是常量 C 数学　七年级下册 2. 用一根10 cm长的铁丝围成长方形，现给出四个量：①长方形的长；②长方形的宽；③长方形的周长；④长方形的面积，其中是变量的有 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ B 数学　七年级下册 3. 如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，使木条可自由转动，那么在转动过程中，下列各量是常量的为 ( ) A. ∠BAC的度数 B. AB的长度 C. BC的长度 D. △ABC的面积 B 数学　七年级下册 知识点2 自变量与因变量 4. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则它的周长C与r的关系式为C＝2πr. 在上述变化中，自变量是 ( ) A. 2 B. 半径r C. π D. 周长C B 数学　七年级下册 5. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射. 在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少. 在上述语段中，自变量是 ( ) A. 货运飞船的质量 B. 火箭飞行的高度 C. 燃料的体积 D. 火箭的质量 B 数学　七年级下册 6. 某公交车每月的支出为2 000元，每月利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，因变量是________. 7. 一空水池现需注满水，水池深4. 9 m，现以不变的流量注水，数据如表所示，其中因变量是_________，可以推断注满水池所需的时间是______. 每日利润 水的深度 3. 5 h 数学　七年级下册 8. 如图，圆柱的高是3 cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化. (1)在这个变化中，自变量是_______________，因变量是____________； (2)当底面半径由1 cm变化到10 cm时， 圆柱的体积增加了______cm3. 圆柱的底面半径 圆柱的体积 297π 数学　七年级下册 9. 指出下列公式中的常量和变量： (1)电费的计算公式为y＝0. 52x，其中y(元)表示电费，0. 52(元/千瓦时)表示单价，x(千瓦时)表示用电量； 解：(1)在y＝0. 52x中，y，x为变量，0. 52为常量. (2)等边三角形的周长公式为l＝3a，其中l表示等边三角形的周长，a表示等边三角形一边的长； 解：(2)在l＝3a中，l，a为变量，3为常量. 数学　七年级下册 (3)时和分的换算公式为t＝60T，其中t，T都表示时间，t的单位为分，T的单位为时； 解：(3)在t＝60T中，t，T为变量，60为常量. (4)平行四边形的面积公式为S＝ah，其中S表示平行四边形的面积，a为平行四边形的底边长，h表示底边上的高. 解：(4)在S＝ah中，当S为常量，则a，h为变量；当a为常量，则S，h为变量；当h为常量，则a，S为变量. 数学　七年级下册 10. 指出下列问题中的变量和常量，并说说哪些是自变量，哪些是因变量. (1)某市的自来水价为4元/t. 现要抽取若干户居民调查水费支出情况，每户居民的月用水量为x t，月应交水费为y元； 解：(1)每户居民的月用水量和月应交水费是变量，自来水价是常量；其中自变量是月用水量，因变量是月应交水费. 数学　七年级下册 (2)某地的手机通话费为0. 2元/min，小明在手机卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元； 解：(2)手机通话时间和话费卡中的余额是变量，手机卡中存入的30元和手机通话费为常量；其中自变量是手机通话时间，因变量是话费卡中的余额. 数学　七年级下册 (3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率(圆周长与直径之比)为π； 解：(3)水波的半径和周长是变量，圆周率π是常量；其中自变量是水波的半径，因变量是水波的周长. (4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本. 解：(4)第一个抽屉放入的书本数和第二个抽屉放入的书本数是变量，书本总数是常量；其中自变量是第一个抽屉中放入的书本数，因变量是第二个抽屉中放入的书本数. 数学　七年级下册 $第4课　用图象表示变量之间的关系 数学　七年级下册 知识点1 曲线型图象 1. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢. ”如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h(m)随飞行时间t(min)的变化情况，下列说法错误的是 ( ) A. 风筝最初的高度为30 m B. 1 min时的高度和5 min时的高度相同C. 3 min时风筝达到最高高度，为60 m D. 2 min到4 min之间，风筝飞行高度h(m)持续上升 D 数学　七年级下册 2. 在数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”中，前30 m为“加速期”，30～80 m为“中途期”，80～100 m为“冲刺期”. 小斌在某次百米赛时，其速度y(m/s)与路程x(m)之间的关系如图所示，根据图象，运用数学模型分析下列说法不正确的是 ( ) A. 第15 m时小斌的速度是6. 5 m/s B. 加速期结束时小斌的速度最大C. 中途期小斌的速度先增大后减小 D. 冲刺期小斌的速度增加至最大 B 数学　七年级下册 知识点2 折线型图象 3. 小乐放学后骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续以原来的速度骑车回家，小乐离家的路程s(米)与时间t(分钟)的关系如图所示，则从该十字路口到小乐家的路程为 ( ) A. 1 500米 B. 1 200米 C. 900米 D. 700米 C 数学　七年级下册 4. 已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上，小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家. 如图，反映了这个过程中小腾离家的距离y(m)与时间t(min)之间的对应关系. (1)根据图象可知，小腾从食堂到 图书馆所用时间为____min；(2)请你根据图象再写出一个结论：________________ ____________________________. 12 小腾从图书馆回家 所用时间为15 min(答案不唯一) 数学　七年级下册 5. 在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲港出发沿直线匀速行驶，经过乙港并驶向丙港，最终到达丙港. 设行驶x(h)后，与乙港的距离为y(km)，y与x的关系如图所示，则下列结论： ①甲港与丙港的距离是90 km; ②船在中途休息了0. 5 h；③船的行驶速度是45 km/h; ④a的值为2. 其中正确的结论是____. (填序号) ④ 数学　七年级下册 6. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22至28日是第三十七届“中国水周”，七年级跨学科研习小组的同学到科技馆参加中国水周专项活动. 他们从学校出发步行到科技馆，参观了2小时，然后按照原路线以60米/分的速度步行返回学校. 已知他们离学校的距离y(米)与离开学校的时间t(分)之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题： 数学　七年级下册 (1)在上述问题中，自变量是______________，因变量是__________________；(2)直接写出图中点P表示的实际意义：_____________ _______________________________________________________________； (3)求图中m的值. 离开学校的时间 他们离学校的距离 七年级跨学科 研习小组的同学从学校出发15分钟后到达距离学校 1 200米的科技馆 解：(3)依题意，得m＝15＋2×60＋1 200÷60＝155. 数学　七年级下册 7. 综合与实践 如图1所示的长方形ABCD的一边DC做左右匀速平移运动，图2反映了它的边BC的长度l(cm)随时间t(s)变化而变化的情况. 数学　七年级下册 请解答下列问题： (1)观察图2，起始时，边BC的长度是_____，请你根据图象呈现的规律写出0至5秒间l(cm)与t(s)之间的关系式为__________； (2)根据图2，请描述一下边DC的运动情况； 8 cm l＝2t＋8 解：(2)由图2可知，当0≤t＜5时， 边DC向右运动； 当5≤t≤8时，边DC停止运动； 当8＜t≤14时，边DC向左运动. 数学　七年级下册 (3)如表反映了在边DC运动的过程中，长方形ABCD的面积S(cm2)随时间t(s)变化的情况. 根据表中呈现的规律，解答下列问题：①AB的长是______；②表格中a的值是_____；③写出8至14秒间S(cm2)与t(s)之间的关系式. 10 cm 120 数学　七年级下册 解：(3)③由表格可知，时间每增加1 s，长方形ABCD的面积S减小30 cm2， ∴8至14秒间S(cm2)与t(s)之间的关系式为 S＝－30(t－8)＋180＝－30t＋420. 数学　七年级下册 $