第二章　相交线与平行线 习题课件2025-2026学年 北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线 第1课　两条直线的位置关系(1) 数学　七年级下册 知识点1 相交线与平行线 1. 在同一平面内有三条直线，如果要使其中两条且只有两条平行，那么它们 ( ) A. 没有交点 B. 只有1个交点 C. 有2个交点 D. 有3个交点 C 数学　七年级下册 知识点2 对顶角的概念及其性质 2. 如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是 ( ) A. ∠2和∠3 B. ∠1和∠3 C. ∠1和∠4 D. ∠1和∠2 A 数学　七年级下册 3. 下列各图中，∠1＝∠2的是 ( ) A 数学　七年级下册 知识点3 余角、补角及其性质 4. 如果锐角α的余角是48°，那么锐角α的补角是 ( ) A. 132° B. 42° C. 48° D. 138° D 数学　七年级下册 5. 若∠1的补角是140°，∠2的余角是40°，则∠1和∠2的大小关系是 ( ) A. ∠1>∠2 B. ∠1<∠2 C. ∠1＝∠2 D. 不能确定 B 数学　七年级下册 6. 若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系为 ( ) A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 以上都不对 C 数学　七年级下册 7. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形个数是 ( ) C 数学　七年级下册 8. 如图，已知∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，则下列说法错误的是 ( ) A. ∠A与∠B互为余角 B. ∠1与∠2互为余角C. ∠2与∠B互为余角 D. ∠1与∠B互为余角 D 数学　七年级下册 9. 如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD. (1)求∠BOC的度数； 解：(1)∵∠BOC与∠BOD互为余角， ∴∠BOC＋∠BOD＝90°. ∵∠BOC＝4∠BOD， ∴∠BOC＝72°. ∴∠BOC＋ ∠BOC＝90°. 数学　七年级下册 (2)若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数. 解：(2)∵∠AOC与∠BOC互为补角， ∴∠AOC＋∠BOC＝180°. 由(1)知∠BOC＝72°， ∴∠AOC＝180°－∠BOC＝108°. ∵OE平分∠AOC， ∴∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝126°. ∴∠COE＝ ∠AOC＝54°. 数学　七年级下册 10. 如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，使点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EM；将∠AEF对折，使点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN，A′N交CD于点G. (1)若∠BEM＝60°，则∠NEM＝_____，∠FEM的余角有__________________________________________ _________； 90° ∠B′ME，∠BME，∠A′EN，∠AEN，∠DGN， ∠A′GF 数学　七年级下册 (2)若∠BEM＝α°，则∠NEM＝_____，请说明理由. 解：(2)∵∠BEM＝α°， ∴∠B′EM＝α°，∠AEA′＝180°－2α°. ∴∠A′EN＝∠AEN＝90°－α°. ∴∠NEM＝∠A′EN＋∠B′EM ＝90°－α°＋α°＝90°. 故答案为90°. 90° 数学　七年级下册 $第5课　平行线的性质 数学　七年级下册 知识点1 平行线的性质 1. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝61°，则∠2的度数为 ( ) A. 109° B. 119° C. 129° D. 139° B 数学　七年级下册 2. 如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的度数是 ( ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° A 数学　七年级下册 3. 如图，直线a∥b，则∠1＋∠2＝_____°. 180 数学　七年级下册 4. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，若∠1＝37°，则∠2＝_____. 74° 数学　七年级下册 知识点2 利用平行线的性质来计算未知角度 5. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射. 如图，在空气中平行的两条入射光线，折射进入水中也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝ ( ) A. 61° B. 58° C. 48° D. 41° B 数学　七年级下册 6. 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置. 若∠EFB＝55°，则∠AED′的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° D 数学　七年级下册 7. 如图，某工程队从点A出发，沿北偏西63°方向修一条公路AD，修至BD路段时出现塌陷区，因此改变方向，在点B沿北偏东25°方向继续修建BC路段，到达点C后又改变方向，使所修路段CE∥AB，则∠ECB的度数为____°. 92 数学　七年级下册 8. 某小组开展平行线性质的探究时将一副三角板按图1所示的方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°. 记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4. 数学　七年级下册 (1)比较大小：∠1＋∠2___∠3＋∠4；(填“＞”“＜”或“＝”)(2)如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α(0°＜α＜90°)，∠FPN＝β. 现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，则α与β满足的数量关系为____________. ＝ 2β－α＝60° 数学　七年级下册 9. 如图，一束光线AB射到平面镜a上，经平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b反射得到光线CD. 在反射过程中，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)若AB∥CD，且∠1＝40°，求∠4的度数； 数学　七年级下册 解：(1)∵∠1＝∠2，∠1＝40°，∴∠2＝∠1＝40°. ∵∠1＋∠2＋∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝100°. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠BCD＝180°－∠ABC＝80°. ∵∠3＋∠4＋∠BCD＝180°， ∴∠3＋∠4＝180°－∠BCD＝100°. ∵∠3＝∠4， ∴∠4＝50°. 数学　七年级下册 (2)探究∠2与∠3有什么关系时，光线AB与光线CD平行. 解：(2) 当∠2＋∠3＝90°时，光线AB与光线CD平行. 理由如下：∵∠1＝∠2，∠1＋∠2＋∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－2∠2. 同理∠BCD＝180°－∠3－∠4＝180°－2∠3， 又∵∠2＋∠3＝90°， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°－2∠2＋180°－2∠3 ＝360°－2(∠2＋∠3)＝180°. ∴AB∥CD. 数学　七年级下册 10. 已知AM∥NC，B为平面内一点，AB⊥BC于点B. (1)如图1，如果∠A＝40°，那么∠C＝___°； (2)如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； 50 数学　七年级下册 如图2，过点B作BG∥AM， 解：(2) ∠DAB＋∠C＝90°. 理由如下： ∵AM∥NC，∴BG∥AM∥NC. ∴∠DAB＝∠ABG，∠C＝∠CBG. ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. ∴∠ABG＋∠CBG＝90°. ∴∠DAB＋∠C＝90°. 数学　七年级下册 (3)如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＋∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数. 数学　七年级下册 解：(3)如图3，过点B作BG∥AM， ∵AM∥NC，∴BG∥NC. ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBE＝∠ABE，∠DBF＝∠CBF. 设∠DBE＝∠ABE＝x，则∠DBA＝2x. 由(2)得∠DAB＋∠BCN＝90°， ∵BD⊥AM，∴∠D＝90°. ∴∠DAB＋∠DBA＝90°. ∴∠BCN＝∠DBA＝2x. ∵BG∥NC， ∴∠GBC＝∠BCN＝2x. ∵∠FCB＋∠NCF＝∠NCB＋2∠FCB＝180°， 数学　七年级下册 ∴∠FCB＝90°－x. 又∵∠BFC＝3∠DBE＝3x， ∴∠FBG＝180°－∠GBC－∠FCB－∠BFC ＝180°－2x－(90°－x)－3x＝90°－4x. ∵∠DBF＝∠CBF，∠DBA＝∠GBC＝2x， ∴∠ABF＝∠FBG＝90°－4x. ∵DF∥BG，∴∠DFB＝∠FBG＝90°－4x. 在△DBF中， ∠DBA＋∠ABF＋∠BFA＝2x＋2(90°－4x)＝90°， ∴x＝15°. ∴∠ABE＝15°. ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. ∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°. 数学　七年级下册 $第3课　探索直线平行的条件(1) 数学　七年级下册 知识点1 同位角 1. 如图，与∠D是同位角的是 ( ) A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4 A 数学　七年级下册 知识点2 同位角相等，两直线平行 2. 如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是 ( ) A. ∠2＝∠1 B. ∠1＝∠5 C. ∠3＝∠5 D. ∠1＝∠4 B 数学　七年级下册 3. 如图，下列说法正确的是 ( ) A. 由∠1＝∠3，可得EF∥GH B. 由∠1＝∠2，可得AB∥CDC. 由∠1＝∠3，可得AB∥CD D. 由∠2＝∠4，可得EF∥GH B 数学　七年级下册 4. 如图，由∠D＝∠CFE可以判定____∥____，其理由是________________________. PD EF 同位角相等，两直线平行 数学　七年级下册 知识点3 平行线的推论 5. 如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有 ( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 B 数学　七年级下册 6. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 两条不相交的直线叫作平行线B. 一条直线的平行线有且只有一条C. 在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD. 若两条线段不相交，则它们互相平行 C 数学　七年级下册 7. 如图1，已知直线l以及直线l外一点P，则图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是__________________ _________________________，其依据是___________ ____________. 过直线外一点有且只 有一条直线与这条直线平行 同位角相等， 两直线平行 数学　七年级下册 8. 如图，已知BE⊥MN，垂足为B，DF⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2，试说明直线AB与直线CD平行. 解：∵BE⊥MN，垂足为B，DF⊥MN，垂足为D， ∴∠EBM＝90°，∠FDM＝90°. ∴∠ABM＋∠1＝90°，∠CDM＋∠2＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠ABM＝∠CDM. ∴AB∥CD. 数学　七年级下册 9. 如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF，判断直线AB，CE是否平行，并说明理由. 解：平行. 理由如下： ∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝∠FCD. ∵∠ACB＝∠FCD， ∴∠ECD＝∠ACB. 又∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD. ∴AB∥CE. 数学　七年级下册 10. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线. (1)求证：∠1＋∠2＝90°； 证明：(1)∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝180°. ∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ADC. ∴∠1＋∠2＝ ∠ABC＋ ∠ADC＝90°. 数学　七年级下册 (2)求证：BE∥DF. 证明：(2)在△FCD中，∵∠C＝90°， ∴∠DFC＋∠2＝180°－∠C＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠DFC. ∴BE∥DF. 数学　七年级下册 $第2课　两条直线的位置关系(2) 数学　七年级下册 知识点1 两直线互相垂直 1. 如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是 ( ) A. ∠AOC＝90° B. ∠AOC＝∠BOCC. ∠AOC＝∠BOD D. ∠AOC＋∠BOD＝180° C 数学　七年级下册 2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠DOB＝43°，则∠COE的度数是 ( ) A. 43° B. 137° C. 57° D. 47° D 数学　七年级下册 知识点2 垂直的性质 3. 过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是 ( ) D 数学　七年级下册 4. 如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠2＝2∠1，那么∠AOD的度数是_____. 120° 数学　七年级下册 知识点3 垂线段最短 5. 如图，在河边的点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边需沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是 ( ) A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线 B 数学　七年级下册 6. 如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是____. 12 数学　七年级下册 7. 如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°. (1)求∠AOC的度数； (2)求∠EOF的度数. 解：(1)∠AOC＝180°－∠COE－∠BOE＝35°. 解：(2)∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°. ∴∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝35°. ∵OD平分∠BOF，∴∠BOF＝2∠BOD＝70°. ∴∠EOF＝∠BOE＋∠BOF＝125°. 数学　七年级下册 8. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，AE与BD相交于点F. 若∠ABC＝50°，求∠AFB的度数. 解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°， ∵AE⊥BC， ∴∠BEA＝90°. ∴∠BAE＝180°－∠ABC－∠BEA＝40°. ∴∠AFB＝180°－∠ABD－∠BAE＝115°. ∴∠ABD＝ ∠ABC＝25°. 数学　七年级下册 9. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm. (1)点B到AC的距离是__cm，点A到BC的距离是__cm； (2)画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；(3)AC__CD(填“＞”“＜”或“＝”)，理由是___________. 4 3 > 垂线段最短 解：(2)由面积相等，得 AC·BC＝ AB·CD， ∴CD＝ ＝2. 4(cm). 数学　七年级下册 如图2，依题意，易证∠1＋∠2＝180°， 解：如图1，依题意，易证∠1＝∠2， 10. 如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30°，求∠1的度数. 又∵∠1＝2∠2－30°，∴∠1＝∠2＝30°； 又∵∠1＝2∠2－30°， ∴2∠2－30°＋∠2＝180°，解得∠2＝70°. ∴∠1＝110°. 综上所述，∠1的度数为30°或110°. 数学　七年级下册 $第6课　平行线的判定与性质 数学　七年级下册 知识点1 平行线的判定条件 1. 如图，下列条件中，能判定AB∥DC的条件个数为( ) ①∠1＝∠2; ②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4; ④∠BAD＋∠ABC＝180°. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 C 数学　七年级下册 2. 如图，下列推理正确的是 ( ) A. ∵∠1＝∠4(已知)，∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行) B. ∵∠2＝∠3(已知)，∴AE∥DF (内错角相等，两直线平行) C. ∵∠1＝∠3(已知)，∴AB∥DF(内错角相等，两直线平行) D. ∵∠2＝∠3(已知)，∴AE∥DC(内错角相等，两直线平行) B 数学　七年级下册 知识点2 平行线的判定条件与性质综合 3. 如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F在边AD上，点G，H在边BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＋β＝118°，则∠EMF的度数为 ( ) A. 59° B. 58° C. 57° D. 56° D 数学　七年级下册 4. 一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝___________时，CD∥AB. 30°或150° 数学　七年级下册 5. 如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E. 证明：∵ AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC. ∵∠1＝∠2， ∴DE∥AC. ∴∠E＝∠EBC. ∴∠A＝∠E. 数学　七年级下册 6. 如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°. 将三角板OCD绕点O以10°/s的速度按顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t s. 在旋转的过程中，当边CD恰好与边MN平行时，t的值为____________. 10. 5或28. 5 数学　七年级下册 7. 学习了平行线后，某校七年级数学活动小组的甲、乙两位同学分别探究出了“过一点画一条直线的平行线”的新的方法. 甲同学用的是尺规作图的方法(P是直线a外一点，过点P作c∥a)，具体作图步骤如图1所示；乙同学用的是折纸的方法(P是直线a外一点，直线a与正方形的相邻两边分别相交于点A，B，过点P折出EF∥a)，具体折纸步骤如图2所示. 数学　七年级下册 数学　七年级下册 根据上述信息，解答下列问题：(1)甲同学作图中，c∥a的依据是__________________ _____；(2)写出乙同学每一步的具体做法及EF∥a的依据. 第一步，______________________________________ ___________；第二步，______________________________________ _________________________________；第三步，______________________________. 故EF∥a的依据是_______________________________ _______________. 同位角相等，两直线 平行 沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上， 折痕为CD 把纸片展开，继续沿点P所在直线折叠，使 点C落在折痕CD上，此时折痕为EF 把纸片展开，沿折痕画出直线EF 在同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线平行 数学　七年级下册 $第4课　 探索直线平行的条件(2) 数学　七年级下册 知识点1 内错角与同旁内角 1. 如图，下列说法错误的是 ( ) A. ∠1与∠2是对顶角B. ∠1与∠3是同位角C. ∠1与∠4是内错角D. ∠B与∠D是同旁内角 C 数学　七年级下册 2. 两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)，那么下列三幅图依次表示 ( ) A. 同位角、内错角、同旁内角 B. 内错角、同旁内角、同位角 C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角 A 数学　七年级下册 知识点2 利用内错角或同旁内角判定两直线平行 3. 如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是 ( ) A. ∠1＝∠2 B. ∠4＋∠2＝180° C. ∠2＝∠3 D. ∠A＝∠1 A 数学　七年级下册 4. 如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠4＝∠5，④∠2＋∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的条件个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 数学　七年级下册 5. 如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，测得∠ABC＝145°，∠BCD＝145°，就可以知道AB∥CD，其依据是 ( ) A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行C. 内错角相等，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 C 数学　七年级下册 知识点3 尺规作图：作已知直线的平行线 6. 如图，在△ABC中，过点A画BC的平行线. (说明：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，直线AD即为所求. 数学　七年级下册 7. 如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行？请说明判定的依据. (1)∠2＝∠B； 解：(1)∵∠2＝∠B， ∴DE∥AB. 判定依据为同位角相等，两直线平行. 数学　七年级下册 (2)∠1＝∠D； (3)∠3＋∠F＝180°. 解：(2)∵∠1＝∠D， ∴AC∥DF. 判定依据为内错角相等，两直线平行. 解：(3)∵∠3＋∠F＝180°， ∴AC∥DF. 判定依据为同旁内角互补，两直线平行. 数学　七年级下册 8. 如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E. (1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； (1)解：∵∠A＝∠ADE，∴AC∥ED. ∴∠EDC＋∠C＝180°. 又∵∠EDC＝3∠C， ∴∠C＝ ×180°＝45°. 数学　七年级下册 (2)求证：BE∥CD. (2)证明：∵∠EDC＋∠C＝180°，∠C＝∠E， ∴∠E＋∠EDC＝180°. ∴BE∥CD. 数学　七年级下册 9. 如图1，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，其中∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF的两侧. (1)若∠DCF＝70°，试判断射线AB与射线CD的位置关系，并说明理由. 解：(1)AB∥CD. 理由如下： ∵∠DCF＝70°， ∴∠ACD＝180°－∠DCF＝110°. ∵∠BAF＝110°，∴∠BAF＝∠ACD. ∴AB∥CD. 数学　七年级下册 (2)如图2，若∠DCF＝60°，射线AB，CD分别绕点A，点C以1°/s和6°/s的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t. 数学　七年级下册 ①如图3，射线AB与射线CD在直线EF的两侧时， 解：(2)存在. 360÷6＝60(s)，60×1＝60°<110°， ∴射线AB在运动时间内一直在直线EF右侧. 分以下两种情况： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°－60°－6°t＝120°－6°t， ∠BAC＝110°－t°. 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， ∴120°－6°t＝110°－t°， 解得t＝2. 数学　七年级下册 ②如图4，射线CD旋转到与射线AB都在直线EF的右侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°－6°t－60°＝ 300°－6°t， ∠BAC＝110°－t°. 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， ∴300°－6°t＝110°－t°， 综上所述，t为2秒或38秒时，CD与AB平行. 解得t＝38. 数学　七年级下册 $