第二章　相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

3　平行线的性质 第2课时　平行线判定与性质的综合应用 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 将一块含30°角的三角尺ABC按如图所示的方式放置，∠B＝90°， E为AC延长线上的一点.若射线CD与直角边BC垂直，则∠DCE的度数 是（　C　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 50° 　　　 　　 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，∠DAE＝∠B，∠DAB＝∠C，则下列结论不一定成立的是 （　B　） A. AD∥BC B. ∠B＝∠C C. AB∥CD D. ∠DAB＋∠B＝180° 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. （呼和浩特中考）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝ 130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（　B　） A. 75° B. 105° C. 115° D. 130° 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★小明和小亮在研究一道数学题，如图，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足 分别为E，D，点G在AC上.小明说：“如果∠CDG＝∠BFE，那么 ∠AGD＝∠ACB. ”小亮说：“连接FG，如果FG∥AB，那么∠GFC ＝∠ADG. ”下列判断正确的是（　A　） A. 小明的说法正确，小亮的说法错误 B. 小明的说法正确，小亮的说法正确 C. 小明的说法错误，小亮的说法正确 D. 小明的说法错误，小亮的说法错误 A 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，BC∥DE，∠E＋∠B＝180°，则直线AB与FE的位置关系 是 ⁠. 第5题 AB∥FE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，过点B作BC⊥AG于点C，E为AG上一点，过点E作 DE⊥AE，F为AB上一点，连接CF，BD. 若∠2＋∠3＝180°，∠1＝ 66°，BC平分∠ABD，则∠ACF的度数为 ⁠°. 第6题 57　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★★如图，将一副三角尺和一张长方形卡纸按图中的方式摆放，两块 三角尺的一条直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与卡纸一边重合， 含45°角的三角尺的一个顶点在卡纸的另一边上，则∠1的度数 是 ⁠. 第7题 15°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共44分） 8. （14分）如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB 上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B， ∠1＋∠FEA＝180°.试说明： （1） EH∥AD； 第8题 解：（1） 因为∠CDG＝∠B，所以DG∥AB. 所以∠1＝∠BAD. 因为∠1＋∠FEA＝180°， 所以∠BAD＋∠FEA＝180°.所以EH∥AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） ∠BAD＝∠H. 解：（2） 由（1）得，∠1＝∠BAD，EH∥AD， 所以∠1＝∠H. 所以∠BAD＝∠H 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （16分）如图，BF与DE相交于点C，DE∥AB，∠ABC＝ ∠ADC. （1） AD与BF平行吗？请说明理由. 解：（1） AD∥BF　理由：因为DE∥AB， 所以∠ABC＝∠BCE. 因为∠ABC＝∠ADC，所以∠BCE＝∠ADC. 所以AD∥BF. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若BD平分∠ABC，且∠1＋∠2＝115°，求∠2的度数. 解：（2） 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠1＝ ∠ABC. 因为DE∥AB，所以∠DCF＝∠ABC＝2∠1.因为∠DCF ＋∠2＝ 180°，所以2∠1＋∠2＝180°.又因为∠1＋∠2＝115°， 所以∠1＝65°，∠2＝50° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★★（14分）如图，∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝ 140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：AB∥DE　理由：如图，过点C作FG∥AB，所以∠BCG＝ ∠ABC＝80°.又因为∠BCD＝40°，所以∠DCG＝∠BCG－∠BCD ＝40°.因为∠CDE＝140°，所以∠CDE＋∠DCG＝180°.所以 DE∥FG. 又因为FG∥AB，所以AB∥DE. 第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $1　两条直线的位置关系 第2课时　垂　直 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 下列说法中，正确的是（　D　） A. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这个点到这条直线的距离 B. 在同一平面内，互相垂直的两条直线不一定相交 C. 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D. 画一条直线的垂线可以画无数条 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. （杭州中考）如图，P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为Q，T是直 线l上的一个动点，连接PT，则（　C　） A. PT≥2PQ B. PT≤2PQ C. PT≥PQ D. PT≤PQ 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C. 图中线段的长能 表示点到直线（或线段）距离的线段有（　C　） A. 1条 B. 3条 C. 5条 D. 7条 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOD＝40°.若过点O作 OE⊥AB，则∠COE的度数为（　D　） A. 50° B. 130° C. 50°或90° D. 50°或130° 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，因为AB⊥l，BC⊥l，垂足为B，所以AB和BC重合，其理 由是 ⁠. 第5题 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图所示为小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩 是线段 的长度，这样测量的依据是 ⁠. 第6题 BN　 垂线段最短　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O， ∠EOD＝ ∠AOC，则∠BOD的度数为 ⁠. 第7题 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共44分） 8. （14分）如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a与直线b 分别表示铁路与河流. 第8题 （1） 从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由. 解：（1） 如图，连接AB，沿AB走最近　理由：两点之间线段最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由. 解：（2） 如图，过点A作AC⊥直线a于点C，沿AC走最近　理由： 垂线段最短. （3） 从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由. 第8题答案 第8题答案 解：（3） 如图，过点B作BD⊥直线b于点D，沿BD走最近　理由： 垂线段最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （15分）如图，P是∠AOB的边OB上的一点. 第9题 （1） 过点P画OB的垂线，交OA于点C； （2） 过点P画OA的垂线，垂足为H； 解：（1） 如图 （2） 如图 第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3） 线段PH的长度是点P到 的距离，线段 ⁠ 是点C到直线OB的距离；（4） 因为直线外一点与直线上各点连接的 所有线段中，垂线段最短，所以线段PC，PH，OC这三条线段大小关 系是 （用“＜”连接）. 直线OA　 PC的长　 PH＜PC＜OC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（15分）如图，直线AB，CD交于点O，OF⊥CD，∠COE＝ 2∠AOC. （1） 若∠BOD＝28°，求∠COE的度数； 解：（1） 由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝28°. 因为∠COE＝2∠AOC，所以∠COE＝2×28°＝56° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若∠BOF＝60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由. 解：（2） OE⊥AB　理由：因为OF⊥CD，所以∠DOF＝90°. 因为∠BOF＝60°，所以∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝30°. 所以∠AOC＝30°.所以∠COE＝2∠AOC＝60°. 所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝30°＋60°＝90°. 所以OE⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $2　探索直线平行的条件 第1课时　利用同位角判定两直线平行及平行公理 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 下列图形中，∠1和∠2为同位角的是（　A　） A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 有下列说法：① 一条直线的平行线只有一条；② 已知直线a，b， c，因为a∥b，b∥c，所以a∥c；③ 过直线外一点有且只有一条直 线与这条直线平行.其中，正确的有（　C　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°， ∠2＝45°.若要使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转 （　A　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ★如图，若∠D＝∠EFC，∠B＝∠AEF，则下列结论错误的是 （　D　） A. AD∥BC B. EF∥BC C. AD∥EF D. AB∥CD 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，直线AB，CD是一条河的两岸，且AB∥CD，E为直线AB， CD外一点.现想过点E作岸CD的平行线，只需过点E作岸AB的平行 线，理由是 ⁠. 第5题 平行于同一条直线的两条直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点.若PQ∥a，QR∥a，则 P，Q，R三点 （填“在”或“不在”）同一条直线上，理由 是 ⁠. 第6题 在　 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，∠EAD＝∠DCF，若要使AB∥CD，则还需要的条件 是 （填一个即可）.（答案不唯一） 第7题 ∠EAD＝∠B　 （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、 解答题（共44分） 8. （8分）仅用直尺，在如图所示的方格纸中按要求画图. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 过点C画直线CN垂直于AB所在直线. 解：（2） 如图，直线CN即为所求 第8题答案 （1） 过点C画直线CP平行于AB所在直线； 解：（1） 如图，直线CP即为所求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. （8分）用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知 ∠AOB，点P在OA上，求作点C，使点C在∠AOB内部，且 PC∥OB，PC＝OP. 第9题 解：如图，点C即为所求 第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. （13分）如图. （1） 写出图中的同位角. 解：（1） ∠1与∠2，∠3与∠4 第10题 （2） 如果∠1＝∠2，那么哪两条直线平行？如果∠3＝∠4，那么哪两 条直线平行？ 解：（2） 如果∠1＝∠2，那么AB∥CD　如果∠3＝∠4， 那么CD∥EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3） 在（2）的条件下，图中还有哪些平行线？请说明理由. 解：（3） AB∥EF　理由：平行于同一条直线的两条直 线平行. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. ★（15分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2， ∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ. 第11题 解：因为∠CNF＋∠BMN＝180°，∠CNF＋∠DNF＝180°，所以 ∠BMN＝∠DNF. 所以AB∥CD. 因为∠1＝∠2，所以∠BMN－∠1 ＝∠DNF－∠2，即∠PMN＝∠QNF. 所以MP∥NQ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $2　探索直线平行的条件 第2课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 如图，下列说法错误的是（　C　） A. ∠2与∠4是同位角 B. ∠2与∠3是同旁内角 C. ∠1与∠2是内错角 D. ∠1与∠A是内错角 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图①所示为生活中常见的晾衣架，将其侧面抽象成如图②所示的 平面图形，使EG∥BH成立的条件是（　B　） 第2题 A. ∠1＝∠5 B. ∠1＝∠2 C. ∠3＝∠4 D. ∠4＝∠5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，下列说法错误的是（　C　） A. 若a∥b，b∥c，则a∥c B. 若∠1＝∠2，则a∥c C. 若∠3＝∠2，则b∥c D. 若∠3＋∠5＝180°，则a∥c 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：① ∠1＝∠2；② ∠3＝∠4；③ ∠A＝∠DCE；④ ∠D＋∠ABD＝180°.其中，能判断 AB∥CD的是（　A　） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 第4题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，与∠A是同旁内角的角共有 个. 第5题 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，∠B＝75°，需要添加条件 ，就可得到 AB∥DE. （答案不唯一） 第6题 ∠BCE＝75°　 （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★如图，直线a，b被直线AB所截，且AB⊥OC. 当∠1－∠3 ＝ °时，直线a∥b. 第7题 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共44分） 8. （14分）如图所示为一个由4条直线构成的“鱼”形图案，其中∠1 ＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由. 第8题 解：OA∥BC，OB∥AC　理由：因为∠1＝50°，∠2＝50°，所以 ∠1＝∠2.所以OB∥AC. 因为∠2＝50°，∠3＝130°，所以∠2＋∠3 ＝180°.所以OA∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （15分）如图，∠1＝∠A，∠B＋∠EFB＝180°，那么MN与EF 平行吗？请说明理由. 第9题 解：MN∥EF　理由：因为∠1＝∠A，所以MN∥AB. 因为∠B＋ ∠EFB＝180°，所以EF∥AB. 所以MN∥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（15分）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC， ∠ADC的平分线，且∠1＝∠3，DC与AB平行吗？请说明理由. 第10题 解：DC∥AB　理由：因为BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分 线，所以∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ADC. 又因为∠ABC＝∠ADC， 所以∠1＝∠2.因为∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.所以DC∥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $第二章小测 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题7分，共28分） 1. 如图，下列说法错误的是（　C　） A. ∠1与∠2是对顶角 B. ∠1与∠3是同位角 C. ∠1与∠4是内错角 D. ∠B与∠D是同旁内角 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，要在一条主路m旁建一座自来水中转站，向点M处的小区引 自来水，在什么地方建造，才能使输水管道最短？并说明理由.下列结 论正确的是（　B　） A. A点，两点之间线段最短 B. B点，垂线段最短 C. C点，两点确定一条直线 D. D点，垂线段最短 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，AB⊥AC，要使AB∥CD，则可添加（　A　） A. ∠ACD＝90° B. ∠ACB＝∠1 C. ∠B＝∠D D. ∠DCB＋∠D＝180° 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝114°，有 下列结论：① ∠BGD'＝114°；② ∠CFC'＝33°；③ ∠EFG＝33°； ④ ∠GEF＝33°.其中，正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则 ∠AOE的度数为 ⁠°. 第5题 50　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 一个角的余角比它的补角的 还少40°，则这个角的余角的度数 为 ⁠. 7. 如图，∠E＝∠A＋∠C，若∠1＝82°，则∠2的度数为 ⁠. 第7题 60°　 98°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共48分） 8. （14分）如图，三角形ABC的三个顶点A，B，C在方格纸中，每个 小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回答下列问题： （1） 过点C画直线AB的垂线，垂足为E； 解：（1） 如图 第8题 （2） 过点A画射线AF∥BC，交直线CE于点F； 解：（2） 如图 第8题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3） 点C到直线AB的距离为线段 的长； （4） 线段CE 线段BC（填“＞”“＜”或“＝”），理由 是 ⁠. 第8题 CE　 ＜　 垂线段最短　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （16分）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分 ∠BOF，F是DE上一点. （1） 试说明：OC⊥OD； 解：（1） 因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，所以∠COF＝ ∠AOF，∠DOF＝ ∠BOF. 因为∠AOF＋∠BOF＝180°， 所以∠COD＝∠COF＋∠DOF＝ （∠AOF＋∠BOF）＝90°. 所以OC⊥OD 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB. 解：（2） 由（1）知，∠COD＝90°， 所以∠1＋∠DOB＝90°.因为∠D＋∠1＝90°， 所以∠D＝∠DOB. 所以ED∥AB 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（18分）如图①，在三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC 交AC于点E，F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF＋∠ADE ＝180°. （1） 如图②，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC 的度数； 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1） 如图②，过点E作EK∥AB，则∠BEK＝∠ABE＝40°.因 为DE∥BC，所以∠ADE＝∠ABC. 因为∠BCF＋∠ADE＝180°， 所以∠BCF＋∠ABC＝180°.所以CF∥AB. 因为EK∥AB，所以 CF∥EK. 所以∠CEK＝∠ACF＝60°.所以∠BEC＝∠BEK＋ ∠CEK＝40°＋60°＝100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（2） 因为BE平分∠ABG，所以∠EBG＝∠ABE＝40°.因为 ∠EBC∶∠ECB＝3∶5，所以设∠EBC＝3x°，则∠ECB＝5x°. 因为∠BCF＋∠ABC＝180°，即∠ABE＋∠EBC＋∠ECB＋∠ACF ＝180°，所以40＋3x＋5x＋60＝180，解得x＝10.所以∠EBC＝ 3×10°＝30°.所以∠CBG＝∠EBG－∠EBC＝40°－30°＝10° （2） 如图③，在（1）的条件下，G是线段FC延长线上一点，若∠EBC∶∠ECB＝3∶5，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $3　平行线的性质 第1课时　平行线的性质 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果公路一 侧铺设的管道AB与纵向连通管道AC的夹角∠BAC＝120°，那么公路 另一侧铺设的管道CD与纵向连通管道AC的夹角∠DCA的度数是 （　C　） A. 120° B. 80° C. 60° D. 50° 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. （宿迁中考）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD 交于点E，F，且∠1＝40°，则∠2的度数为（　C　） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，l1∥AB，AC为∠DAB的平分线，下列说法错误的是 （　B　） A. ∠1＝∠4 B. ∠1＝∠5 C. ∠2＝∠3 D. ∠1＝∠3 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转50°航行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　A　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 第4题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时 会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空 气时发生折射，变成FH，点G在射线EF上.若∠HFB＝20°，∠FED ＝45°，则∠GFH的度数为 ⁠. 第5题 25°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝ ⁠°. 第6题 108　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★★如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数 是 ⁠. 第7题 140°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共44分） 8. （14分）如图，∠A＋∠D＝180°，CD∥EF. 若∠CFE＝75°， 求∠B的度数. 第8题 解：因为∠A＋∠D＝180°，所以CD∥AB. 因为CD∥EF，所以 EF∥AB. 所以∠B＝∠CFE＝75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （15分）如图，AB∥CD，BC∥AE，∠CAE＝120°，∠BAE＝ 65°.求∠ACB和∠DCB的度数. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：因为BC∥AE，所以∠ACB＋∠CAE＝180°，即∠ACB＝180° －∠CAE＝180°－120°＝60°.因为∠CAE＝120°，∠BAE＝ 65°，所以∠BAC＝∠CAE－∠BAE＝120°－65°＝55°.因为 AB∥CD，所以∠ACD＝∠BAC＝55°.所以∠DCB＝∠ACB＋ ∠ACD＝60°＋55°＝115° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（15分）如图，D是三角形ABC的CB边延长线上的一点， DE⊥AC于点E，G是边AB上一点，∠AGF＝∠ABC，∠BFG＝ ∠D，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：BF⊥AC　理由：因为∠AGF＝∠ABC，所以GF∥BC. 所以 ∠BFG＝∠FBC. 因为∠BFG＝∠D，所以∠FBC＝∠D. 所以 BF∥DE. 所以∠AED＝∠AFB. 因为DE⊥AC，所以∠AED＝ 90°.所以∠AFB＝90°.所以BF⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $3　平行线的性质 小专题（四）　平行线“拐点”模型 第二章　相交线与平行线 类型一　燕尾模型 1. （海南中考）如图，直线m∥n，把一块含45°角的三角尺ABC按如 图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A＝90°，若∠1＝25°，则 ∠2的度数为（　D　） A. 70° B. 65° C. 25° D. 20° 第1题 D 1 2 3 4 5 6 7 2. ★★【问题背景】 如图，A是直线HD上一点，C是直线GE上一 点，B是直线HD，GE之间的一点，连接AB，BC，DH∥GE. （1） 如图①，过点B作BM∥DH，试说明：∠HAB＋∠BCG＝ ∠ABC. 解：（1） 因为DH∥GE，BM∥DH，所以BM∥GE∥DH. 所以 ∠CBM＝∠BCG，∠HAB＝∠ABM. 因为∠ABM＋∠CBM＝ ∠ABC，所以∠HAB＋∠BCG＝∠ABC 1 2 3 4 5 6 7 【问题探究】 （2） 如图②，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F. 若α＋β＝50°，求∠B＋∠F的度数. 1 2 3 4 5 6 7 解： （2） 因为AF平分∠HAB，所以∠HAF＝∠BAF＝β，∠HAB＝ 2∠BAF＝2β.因为∠BCF＝∠BCG＝α，所以∠FCG＝2∠BCF＝2α. 由（1）可得∠F＝∠HAF＋∠FCG，∠B＝∠HAB＋∠BCG. 因为α ＋β＝50°，所以∠B＋∠F＝∠HAB＋∠BCG＋∠HAF＋∠FCG＝ 2β＋α＋β＋2α＝3α＋3β＝150°.所以∠B＋∠F的度数为150° 1 2 3 4 5 6 7 类型二　铅笔模型 3. 如图，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C的度数为（　D　） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 第3题 D 1 2 3 4 5 6 7 4. ★如图，AB∥CD，∠BED＝130°，BF平分∠ABE，DF平分 ∠CDE，则∠BFD＝ ⁠. 第4题 115°　 1 2 3 4 5 6 7 类型三　蛇形模型 5. ★如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A ＝110°，第二次拐角∠B＝140°，第三次拐的角是∠C，这时的道路 CF恰好和第一次拐弯之前的道路AE平行，则∠C的度数为（　C　） A. 170° B. 160° C. 150° D. 140° 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 类型四　拐角模型 6. ★★已知直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠PEA＝50°， ∠PFC＝120°. 第6题 （1） 如图①，求∠EPF的度数； 1 2 3 4 5 6 7 解：（1） 如图①，过点P作PM∥AB，则∠MPE＝∠PEA＝50°.因 为AB∥CD，所以PM∥CD. 所以∠PFC＝∠MPF＝120°.所以 ∠EPF＝∠MPF－∠MPE＝120°－50°＝70° 第6题答案 1 2 3 4 5 6 7 （2） 如图②，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求 ∠EGF的度数. 1 2 3 4 5 6 7 解：（2） 因为EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，所以 ∠AEG＝ ∠AEP＝25°，∠GFC＝ ∠PFC＝60°.如图②，过点G 作GN∥AB，则∠NGE＝∠AEG＝25°.因为AB∥CD，所以 GN∥CD. 所以∠GFC＝∠NGF＝60°.所以∠EGF＝∠NGF－ ∠NGE＝60°－25°＝35° 1 2 3 4 5 6 7 类型五　平行线多拐点模型 7. ★（1） 如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的数量关 系为 . ∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5　 1 2 3 4 5 6 7 解：∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7　结论：两平行线之间所夹 的开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等 （2） 如图②，AB∥CD，则∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似（1）中的数量关系吗？若有，请直接写出数量关系式，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 $3　平行线的性质 阶段检测（2～3） 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 如图，有下列说法：① ∠B和∠1是同位角；② ∠1和∠3是对顶角； ③ ∠2和∠4是内错角；④ ∠A和∠BCD是同旁内角.其中，正确的有 （　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第1题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，有下列条件：① ∠DCA＝∠CAF；② ∠C＝∠EDB；③ ∠BAC＋∠C＝180°；④ ∠GDE＋∠B＝180°.其中，能判断 AB∥CD的是（　C　） A. ①④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上， ∠FEG＝90°，∠EGF＝28°，则∠AEF的度数是（　C　） A. 46° B. 56° C. 62° D. 72° 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，a∥b，b∥c，直角三角尺的直角顶点落在直线b上.若∠1 ＝36°，则∠2的度数为（　C　） A. 36° B. 44° C. 54° D. 64° 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，∠C＝70°，CD∥EF，则∠ABE＝ ⁠. 第5题 110°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1＝138°，则当∠2 ＝ 时，AB∥CD. 第6题 48°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续 完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和 劳动强度.如图所示为一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车的示意 图，其中，AB∥CD∥EF，BC∥DE. 若∠ABC＝60°，则∠DEF ＝ ⁠. 第7题 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共44分） 8. （14分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，那么 ∠A与∠C，∠B与∠D的关系如何？试说明理由. 第8题 解：∠A＝∠C，∠B＝∠D　理由：因为AB∥CD，所以∠A＋∠D ＝180°.又因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.所以∠B＝∠D. 同理∠A＝∠C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （15分）如图①所示为放置在水平操场上的篮球架，如图②所示为 篮球架的侧面示意图，横梁EF始终平行于地面AB，EF与上拉杆CF形 成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面AB. 这一篮球架可以通过调整 CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度.当∠CDB＝35°，且点H， D，B在同一条直线上时，求∠H的度数. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图②，过点D作DI∥EF，则∠FDI＝180°－∠F＝180°－ 150°＝30°.又因为∠FDH＝∠CDB＝35°，所以∠IDH＝∠FDI＋ ∠FDH＝30°＋35°＝65°.因为EF∥GH，DI∥EF，所以 DI∥GH. 所以∠H＝180°－∠IDH＝180°－65°＝115° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（15分）如图，AC∥ED，EB平分∠AED，∠1＝∠2.试判断 AE与BD的位置关系，并说明理由. 第10题 解：AE∥BD　理由：因为AC∥ED，所以∠1＝∠4.因为∠1＝∠2， 所以∠2＝∠4.因为EB平分∠AED，所以∠3＝∠4.所以∠2＝∠3. 所以AE∥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $1　两条直线的位置关系 第1课时　对顶角、补角和余角 第二章　相交线与平行线 一、 选择题（每小题8分，共32分） 1. 有下列说法：① 在同一平面内，不相交的两条线段必平行；② 在同 一平面内，不相交的两条直线必平行；③ 在同一平面内，不平行的两 条线段必相交；④ 两条不相交的直线叫作平行线.其中，正确的有 （　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 下列四个图形中，∠1和∠2是对顶角的是（　B　） A B C D 3. 若α＝13°35'，则α的补角等于（　D　） A. 76°25' B. 77°25' C. 167°25' D. 166°25' B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，AB与CD相交于点O，∠AOE与∠AOC互余，∠AOE＝ 30°，则∠BOD的度数为（　C　） A. 30° B. 50° C. 60° D. 80° 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 填空题（每小题8分，共24分） 5. 如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即OA＝ OB），支柱OH垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端 落地时，∠AOH＝70°，则AB上下可转动的最大角度∠AOM ＝ ⁠°. 第5题 40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图所示为古塔底面示意图，为了测量古塔的底角∠AOB的度数， 小明设计了如下方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的 度数，就得到了∠AOB的度数，小明这样做的依据是 ⁠. 第6题 对顶角相等　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★★如图，O是直线AB上一点，OP平分∠AOC，OQ平分 ∠BOC，则图中互余的角共有 对. 第7题 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 解答题（共44分） 8. （12分）一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为x，则它的补角为180°－x.180°－x＝4x＋ 15°，解得x＝33°.所以这个角的度数是33° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. ★（16分）如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为 余角，且∠BOC＝4∠BOD. （1） 求∠BOC的度数； 解：（1） 因为∠BOC与∠BOD互为余角， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°.因为∠BOC＝4∠BOD， 所以∠BOC＝ ×90°＝72° 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数. 解：（2） 因为∠AOC与∠BOC互为补角， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°. 所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°. 因为OE平分∠AOC，所以∠COE＝ ∠AOC＝ ×108°＝54°. 所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（16分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两 部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE. （1） 若∠BOD＝72°，求∠BOE的度数； 解：（1） 由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°. 因为∠AOE∶∠EOC＝3∶5，所以∠AOE＝∠AOC× ＝27°. 所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－27°＝153° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若∠BOF＝2∠AOE＋15°，求∠COF的度数. 解：（2） 因为OF平分∠BOE，所以∠EOF＝∠BOF＝ ∠BOE. 因为∠BOF＝2∠AOE＋15°，所以∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE＋30°.因为∠BOE＋∠AOE＝180°，所以4∠AOE＋30°＋∠AOE＝180°，解得∠AOE＝30°.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝150°.所以∠EOF＝∠BOF＝ ∠BOE＝75°.因为∠AOE∶∠EOC＝3∶5，所以∠EOC＝50°.所以∠COF＝∠EOF－∠EOC＝75°－50°＝25° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $