11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课件 课时1-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课时1 32999 1.理解祖暅原理的内容，了解其中的数学文化； 2.掌握柱、锥、台的体积的求法.（重点） 学 习 目 标 32999 1.我们都知道“等底等高”的三角形或四边形的面积相等，那么“等底等高”的立体图形也有类似的规律吗？ 2.一摞书本整齐的堆在一起，从外观上可看成什么几何体？体积怎么算？ 长方体，运用长方体的体积公式VSh 情 景 导 入 32999 问题1：将一摞书本看成整体，把书本朝一个方向推歪了，体积会变化吗？为什么？ 问题2：把书本旋转以后，体积会变化吗？为什么？ 不管如何变动，体积保持不变. 问 题 探 究 32999 祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异. 幂: 水平截面面积 势: 高 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等. 由以上探究，引入这节课的重点内容 知 识 梳 理 32999 祖暅是南北朝时期著名数学家祖冲之的儿子.他从小对数学具有浓厚的兴趣. 祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体的体积计算.为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上称这个原理为“祖暅原理”. 接下来运用祖暅原理，用来计算柱体、锥体、台体的体积. 知 识 梳 理 32999 1.柱体的体积 由祖暅原理,等底等高的柱体体积相等吗？为什么？ 柱体转化成什么几何体来求体积呢？ 柱体 等底等高的长方体 由祖暅原理可得： （1）等底等高的柱体体积_______. （2）若柱体的底面积为S，高为h，则体积V= . Sh 相等 知 识 梳 理 32999 2.锥体的体积 等底等高的锥体体积相等吗？ 观察下图，可以得出什么结论？ 由祖暅原理可得：（1）等底等高的锥体体积 . （2）若锥体的底面积为S，高为h，其体积是与它等底等高的柱体体积的 ，体积V= . 相等 Sh 知 识 梳 理 32999 例1：如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，求棱锥′-′的体积与长方体的体积之比. 解析：长方体可以看作是直四棱柱ADD′A′-BCC′B′.设底面ADD ′A′的面积是S，高为h， 则它的体积为 V=Sh. V棱锥D'-A'CD = V棱锥C-A'DD'=× Sh= Sh. 所以棱锥′- 的体积与长方体的体积之比为 典 型 例 题 32999 3.台体的体积： 棱台与圆台统称为台体. 台体可看成锥体截去一个小锥体得到，故台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到. 设台体的上、下底面面积分别为S1，S2，且大、小椎体的高分别为H，h则有： V台体 = V大椎体 – V小椎体= S2H – S1h 知 识 梳 理 32999 已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为h，怎么求这个棱台的体积？ 解析：如图，四棱台可看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥 P-A1B1C1D1所得，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1； 由已知有 = ，再由 PO – PO1= OO1 = h， 因此可得 PO1 = h，PO = h. B1 A B C D D1 A1 C1 O1 O P 故棱台的体积为 V = ×S2×PO – ×S1×PO1= (S2 – S1) = (– ) = (– )(S2 ++ S1) = (S2 + + S1). 问 题 探 究 32999 B1 A B C D D1 A1 C1 O1 O P V台体 = (S2 + + S1)h 一般地，如果台体的上、下底面面积分别为 S1，S2，高为 h，则台体的体积计算公式为： 知 识 梳 理 32999 1.半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是(　　) A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3 解析：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝l＝π·R.所以r＝R. 所以圆锥的高h＝ ＝R. 所以V锥＝πr2·h＝··R＝πR3. A 当 堂 检 测 32999 2.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 解析：V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)． 当 堂 检 测 32999 3.已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积． 解析：如图所示，正四棱台ABCD - A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，OE＝AB＝10，∴O1O＝＝12，V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)． 故正四棱台的体积为2800 cm3. 当 堂 检 测 32999 1.祖暅原理：幂势既同，则积不容异; S'=S S'=0 VS h （+) h V S h 上底扩大 下底缩小 2.柱体、锥体、台体的体积关系: 课 堂 总 结 32999 $