11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦祖暅原理及柱、锥、台、球的体积公式，以祖暅历史背景导入，通过问题链（长方体体积→直棱柱体积→祖暅原理）构建知识支架，衔接平面到空间的转化逻辑。 其亮点在于融合数学文化与分层探究，通过题型分类（柱体、锥体等）及易错点剖析（如斜三棱柱割补法），培养数学运算与直观想象素养。实例如蒙古包体积计算，提升应用能力，助力学生深化理解，教师教学更高效。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 　 第十一章　11.1　空间几何体 知识层面 1．理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题．　 2．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题． 素养层面 通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养数学运算核心素养；借助组合体的体积，提升直观想象核心素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，祖冲之与他的儿子祖暅在总结前人成果的基础上，提出了祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实． 问题1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，你能求出它的体积吗？若长方体变为正方体呢？ 提示：V长方体＝abc，V正方体＝a3(正方体的棱长为a). 问题2．类比长方体的体积公式，若直棱柱的底面积为S，高为h，你能求出此棱柱的体积吗？ 提示：V直棱柱＝Sh. 新知构建 知识点一　祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异． 微提醒 祖暅原理的三个条件 (1)两个几何体夹在两个平行平面之间； (2)几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截； (3)截得的两个截面面积总相等． 知识点二　柱体的体积 棱柱与圆柱统称为________． 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等． 如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝______． 特别地，底面半径为r，高为h的圆柱体的体积计算公式为V圆柱＝________. 知识点三　锥体的体积 棱锥与圆锥统称为________． 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等． 一般地，如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝ ________． 特别地，如果圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积为V圆锥＝_______. 柱体 Sh πr2h 锥体 知识点四　台体的体积 棱台与圆台统称为________． 一般地，如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积 计算公式为V台体＝_____________________． 特别地，如果圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，则圆台的体积 为V圆台＝___________________． 知识点五　球的体积 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝_______． 台体 微提醒 球的体积公式的推导 作球O，将球O的表面分成n个小网格，把球心与每一个小网格的顶点连接起来，整个球体被分割成n个“准锥体”． 当n无限增大时，每一个小锥体“曲”的底面几乎变成“平”的，此时，每 个“准锥体”就近似于棱锥，从而可得球的体积公式V＝ ·4πR2·R＝ πR3． 自主检测 1．下列命题中正确的是 A．夹在两条平行线间的两个平面图形，若被截得的线段相等，则这两个平面图形的面积相等 B．经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把长方体分成体积相等的两个柱体 C．夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 D．夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面面积相等，则体积相等 √ 选项A显然不正确；选项C不满足祖暅原理中的条件②和③；选项D不满足祖暅原理中的条件②. 设正方体的棱长为a，因为正方体的表面积为96，所以S＝6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为V＝43＝64．故选B． 2．已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为 A．48 B．64 C．16 D．96 √ 3．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为 √ 4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是 √ 因为球的体积为 π，所以R＝2，所以球的大圆面积是πR2＝4π. 5．已知球的体积为 π，则球的大圆面积是________． 4π 返回 合作探究 返回 例1 题型一　柱体的体积 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体 和圆柱的体积的比值为_____. 点拨： 用a，r分别表示正方体的棱长和圆柱的底面半径 → 根据已知条件找到a和r的关系 → 代入体积公式求得体积之比 规律方法 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．在具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素. 因为AA1⊥平面AB1C1， 所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝3V三棱锥A-A1B1C1＝3V三棱锥A1-AB1C1 ＝AA1×S△AB1C1＝2 . 对点练1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为________． 例2 题型二　锥体的体积 如图，三棱锥S-ABC的各个面都是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点．求△SDE绕直线SE旋转一周所得旋转体的体积． 点拨：△SDE绕SE所在的直线旋转一周得到两个圆锥，它们的底面是公共的. 解：如图，连接AE，因为△SBC和△ABC是边长为a的正三角形，且SE，AE分别是它们的中线， 所以SE＝AE， 所以△SAE是等腰三角形． 因为D是SA的中点， 所以DE⊥SA， 过点D作DF⊥SE，垂足为F， 则DF·SE＝SD·DE， 规律方法 求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素的求解常常是放到平面图形中来处理的．对于锥体中相关元素的求解常常要构造直角三角形，应用勾股定理进行求解． 对点练2．已知某圆锥的母线长为3，其侧面展开图的面积为3π，则该圆锥 的体积为________． 例3 题型三　台体的体积 已知一个圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的 圆锥的高为6，则此圆台的体积为________． 点拨： 作出圆台的轴截面 → 根据相似三角形对应线段成比例，求出圆台的高 → 根据体积公式求得圆台的体积 规律方法 求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差得到． 对点练3．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？ 例4 题型四　有关球的体积问题 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是 √ 点拨：球心到截面圆的圆心的距离、截面圆的半径、球的半径构成直角三角形，可以根据勾股定理求得球的半径，进而求得球的体积． 规律方法 求解球的体积问题的关键是确定球的半径．一般地，题中不会直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件或解题过程中，一定要注意挖掘题目中的隐含条件． 对点练4．设正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为54，则其外接球的体积为 ________． 易错精析 易错点　盲目套用体积公式致误 斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离为6．则这个棱柱的体积为________． 典例 30 正解：如图所示，将斜三棱柱ABC-A1B1C1补成平行六面体ABCD-A1B1C1D1，因为三棱柱ABC-A1B1C1与三棱柱ACD-A1C1D1等底等高，故V三棱柱ABC- ＝V三棱柱ACD- ． 设侧面BB1C1C的面积为10，AA1到侧面BB1C1C的距离为6， 则平行六面体BB1C1C-AA1D1D的底面积为10，高为6． 所以V平行六面体 ＝10×6＝60． 所以V三棱柱ABC- ＝ V平行六面体 ＝ ×60＝30． 易错探因：求解本题时，学生容易犯如下的错误：将棱柱的侧面看作底面，则它的高为6，故所求体积为V＝Sh＝10×6＝60．出错的原因在于不会用割补法求体积而乱用已知条件，盲目套用柱体的体积公式导致求解出错． 误区警示：求简单几何体的体积时，若不能直接套用，则可考虑使用“割补法”，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体，“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体，再用公式求解．“割补法”是立体几何中求体积的一种常用方法． 返回 随堂演练 返回 圆锥的高h＝ ＝4，故V＝ π×32×4＝12π. 1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为 A．15π B．30π C．12π D．36π √ 设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V＝ π(4R)3＝64× . 2．充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若要它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积应增大到原来的 A．4倍 B．8倍 C．64倍 D．16倍 √ 3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是 √ 4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP，若三棱 锥P-EBD的体积为V1，三棱锥P-ABD的体积为V2，则 的值为_____. 返回 课时测评 返回 由题意可知，底面半径与圆锥的高都为2，S＝2πr×2＝8π.故选B． 1．已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，以过SO的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为 A．8 π B．8π C．4 π D．16π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异；这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k；如下图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以半径1的圆绕直线l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与直线l垂直的平面为β，平面α∥β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的个数是 ①圆柱体N的体积为4π；②S2＝2πS1； ③环体M的体积为8π A．0 B．1 C．2 D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在同一个半径为2的球的球面上，则球的体积与圆柱的体积的比值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．《算数书》于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4．那么近 似公式V≈ L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 连接B1C，A1D，根据题图分析可知，三角形EFQ的面积不变，为矩形A1B1CD面积的 ，而当点P变化时，它到平面A1B1CD的距离也是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关．故选D． 5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积 A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．如图，三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长之比为1∶2 ，记三棱锥C1-A1B1B的体积为V1，三棱台ABC-A1B1C1的体积为V2，则 ＝________． 1∶7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上 底周长2丈，高1丈，则它的体积为________立方丈． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截 面，则图①中容器内水面的高度是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图①所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图②所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 圆柱部分的侧面积为S2＝2π·BC·BE＝2π×3×3＝18π(平方米). 所以该蒙古包的侧面积为S＝S1＋S2＝3 π＋18π(平方米) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求该蒙古包的体积．(6分) 圆柱部分的体积为V2＝π·BC2·BE＝π×32×3＝27π(立方米). 所以该蒙古包的体积为V＝V1＋V2＝6π＋27π＝33π(立方米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， 所以S球＝4πR2， 所以S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝ πR2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2， 所以旋转所得到的几何体的表面积为 πR2． 又V球＝ πR3， 所以V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝ πR3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同 一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中， 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm， 13．(13分)如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积约是多少(π≈3.14，结果精确到0.1 cm3)？(5分) 所以两个半球的体积之和为 V球＝ πR3＝ π×27＝36π(cm3). 又圆柱的体积为 V圆柱＝πR2h＝π×9×2＝18π(cm3).所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：根据题意，上下两个半球的表面积之和为 (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶约多少克(π≈3.14)？(8分) S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)， 又圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)， 所以“浮球”的表面积为S＝ ＝ π(m2). 因此2 500个这种“浮球”的表面积的和为2 500S＝2 500× π＝12π(m2). 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需胶100×12π＝1 200π≈3 768(克). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm. (1)求这种“笼具”的体积；(7分) 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则h＝30 cm，l＝20 cm.根据题意可知2πr＝24π，解得r＝12 cm，则h1＝ ＝16(cm)， 所以这种“笼具”的体积为V＝πr2h－ πr2h1 ＝π ＝3 552π(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？(10分) 解：圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π(cm2)， 圆柱的底面积S2＝πr2＝144π(cm2)， 圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π(cm2)， 所以这种“笼具”的表面积S＝S1＋S2＋S3＝1 104π(cm2)， 故造50个“笼具”共需 ＝ (元). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 Sh πr2h (S2＋＋S1)h πh(r＋r2r1＋r) πR3 2 π π $