11.1.6 第二课时 台体与球的体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦台体与球的体积计算，涵盖台体体积公式、球体积公式及组合体体积求解。通过街道大理石球情境导入，引导学生思考体积计算，衔接柱体、锥体体积公式，构建知识体系。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过例题变式训练提升逻辑推理与数学运算素养，如球的外切正方体、圆台体积等问题。系统模块设计帮助学生夯实基础，教师可借助预习、互动、练习环节高效教学，助力学生形成空间观念与解题能力。

第二课时　台体与球的体积 第十一章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.掌握台体和球的体积公式 2．会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体问题 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数学运算素养 [情境引入] 　街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球． 问题　如何计算球的体积？ 提示　V球＝eq \f(4,3)πR3. [知识梳理] [知识点一]　　 1．台体的体积 棱台与圆台统称为台体，台体的体积的计算公式是V台体＝　eq \f(1,3)h(S＋eq \r(SS′)＋S′)　，其中，S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为台体的高． 2．球的体积 球的半径为R，则V球＝　eq \f(4,3)πR3　. 3．组合体 由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合体，求组合体的体积(表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(表面积)，然后再处理即可． 1.组合体的体积是各个几何体的体积之和吗？ [提示]　不一定，要看这几个几何体如何组合，也可能为体积的差． 2．柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？ [提示]　 所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例． [预习自测] 1．一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为(　　) A.eq \f(4,3)π cm3　　　　　 B.eq \f(\r(6),8)π cm3 C.eq \f(1,6)π cm3 D.eq \f(\r(6),6)π cm3 解析：C　[由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为a，则6a2＝6，故a＝1，所以V球＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,6)π(cm3)．] 2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为　________　. 解析：V台＝eq \f(1,3)h(S＋eq \r(SS′)＋S′)＝eq \f(1,3)×3(4＋eq \r(4×16)＋16)＝28. 答案：28 3．一个球的表面积是16π，则它的体积是　________　. 解析：设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π. 答案：eq \f(32,3)π 台体的体积 [例1]　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积． [思路点拨]　求出棱台的高，利用台体的体积公式求解． [解]　如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm. 取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E， 则E1E是侧面ABB1A1的高． 设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，O1O，OE， 则四边形EOO1E1是直角梯形． 由S侧＝4×eq \f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13. 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq \f(1,2)A1B1＝5， OE＝eq \f(1,2)AB＝10， ∴O1O＝eq \r(E1E2－OE－O1E12)＝12， V正四棱台＝eq \f(1,3)×12×(102＋202＋10×20) ＝2 800(cm3)， 故正四棱台的体积为2 800 cm3. 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系． [变式训练] 1．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？ 解析：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm， 于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)． 圆台的高h＝BC＝eq \r(BD2－OD－AB2)＝eq \r(102－6－42)＝4eq \r(6)(cm)， V圆台＝eq \f(1,3)h(S＋eq \r(SS′)＋S′)＝eq \f(1,3)×4eq \r(6)×(16π＋eq \r(16π×36π)＋36π)＝eq \f(304\r(6)π,3)(cm3)． 球的体积 [例2]　已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积． [思路点拨]　直接利用球的体积公式求解． [解析]　∵直径为6 cm，∴半径R＝3 cm， ∴表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积V球＝eq \f(4,3)πR3＝36π(cm3)． 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法． [变式训练] 2．(1)若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的(　　) A．8倍 　B．4倍 　　C．2eq \r(2)倍　　 D．2倍 (2)三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：(1)大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的eq \r(2)倍，所以球的体积扩大为原来的2eq \r(2)倍． (2)设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积V3＝eq \f(4,3)π×33＝36π，两个小球的体积和V1＋V2＝eq \f(4,3)π×(13＋23)＝12π.则最大球的体积是其他两个球的体积和的3倍． 答案：(1)C　(2)C 组合体体积(表面积) [例3]　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． [思路点拨]　先判断由哪些几何体组合得到的组合体，分别求出各几何体的体积(表面积)，再结合图形进行计算． [解]　在梯形ABCD中，∠ABC＝90°， AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝eq \f(BC－AD,cos 60°)＝2a， AB＝CDsin 60°＝eq \r(3)a， ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， ∴DO＝eq \f(1,2)DD′＝a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长eq \r(3)a，底面半径2a； 圆锥的母线长2a，底面半径a. ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq \r(3)a＝4eq \r(3)πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq \r(3)＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq \r(3)a＝4eq \r(3)πa3. V锥＝eq \f(1,3)S′h＝eq \f(1,3)·π·a2·eq \r(3)a＝eq \f(\r(3),3)πa3. ∴V＝V柱－V锥＝4eq \r(3)πa3－eq \f(\r(3),3)πa3＝eq \f(11\r(3),3)πa3. 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减，求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． [变式训练] 3．(1)如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A.eq \f(500π,3) cm3　　　 B.eq \f(866π,3) cm3 C.eq \f(1 372π,3) cm3 D.eq \f(2 048π,3) cm3 (2)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积S为(　　) A．54 B．54＋2π C．54＋π D．54＋3π 解析：(1)设球的半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积为V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×53＝eq \f(500π,3)(cm3)． (2)器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积S＝6×(3×3)－π×12＋eq \f(1,2)×(4π×12)＝54－π＋2π＝54＋π. 答案：(1)A　(2)C 球的切、接问题 [例4]　一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积． [思路点拨]　选取适当的截面，找出球的半径，利用平面几何知识解决问题． [解析]　(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有eq \f(4,3)πR3＝972π，∴R＝9， ∴SE＝2R＝18. ∵SD＝16，∴ED＝2. 连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12eq \r(2). ∵AB⊥SD，D为AB中点，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq \r(2). ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4eq \r(2)×12eq \r(2)＝96π. (2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， ∵△SAB的周长为2×(12eq \r(2)＋4eq \r(2))＝32eq \r(2)， ∴eq \f(1,2)r×32eq \r(2)＝eq \f(1,2)×8eq \r(2)×16，解得r＝4. 故圆锥内切球的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(256,3)π. 球与几何体的切、接问题的解题思路 1．球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解． 2．解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系． [变式训练] 4．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为eq \r(6)，则这个半球的体积为　________　. 解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为eq \r(6)，所以CC′＝eq \r(6)，OC＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(6)＝eq \r(3). 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝OC ′2，即(eq \r(6))2＋(eq \r(3))2＝R2， 所以R＝3.故V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3＝18π. 答案：18π 5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.eq \f(7,3)πa2 C.eq \f(11,3)πa2 D．5πa2 解析：B　[如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD＝eq \f(\r(3),2)a，AO＝eq \f(2,3)AD＝eq \f(\r(3),3)a，OO2＝eq \f(a,2)，∴AOeq \o\al(2,2)＝eq \f(1,3)a2＋eq \f(1,4)a2＝eq \f(7,12)a2，故该球的表面积S球＝4π×eq \f(7,12)a2＝eq \f(7,3)πa2.] 1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为(　　) A．4∶9　　　　　 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4 解析：C　[设球的半径为r，则圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则eq \f(4,3)πr3＝eq \f(1,3)π(3r)2h，解得h＝eq \f(4,9)r，所以圆锥的高与底面半径之比为eq \f(4,27).] 2．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A.eq \f(2\r(3)π,3) B．2eq \r(3)π C.eq \f(7\r(3)π,6) D.eq \f(7\r(3)π,3) 解析：D　[设上、下底面半径为r′，r，母线长为l， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(πr′2＝π，,πr2＝4π，,πr′＋r·l＝6π，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r′＝1，,r＝2，,l＝2.)) 圆台的高h＝eq \r(l2－r－r′2)＝eq \r(3)， ∴V圆台＝eq \f(1,3)(π＋eq \r(π·4π)＋4π)eq \r(3)＝eq \f(7\r(3)π,3).] 3．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了eq \f(5,3) cm，则这个铁球的表面积为　________　 cm2. 解析：设该铁球的半径为r，则由题意得 eq \f(4,3)π×r3＝π×102×eq \f(5,3)，解得r3＝53，∴r＝5 ∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2) 答案：100π 4．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq \f(R,r)＝　________　. 解析：水面高度上升r，则圆柱体积增加πR2·r， 恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此得eq \f(4,3)πr3＝πR2·r，∴eq \f(R,r)＝eq \f(2\r(3),3). 答案：eq \f(2\r(3),3) 5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 解：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S，高为h，则ΔAEF的面积为eq \f(1,4)S， 令V1＝＝eq \f(1,3)·h·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,4)＋S＋\f(S,2)))＝eq \f(7,12)hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－eq \f(7,12)hS＝eq \f(5,12)hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5. $