重庆市第一中学校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 本卷以核心素养为导向，通过古希腊正多面体（正四面体与正八面体）文化情境、二进制概率科技应用，构建基础（复数、集合）、能力（椭圆、解三角形）、创新（导数、立体几何与圆锥综合）的梯度试题，适配高中月考阶段性检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、集合、等比数列、抛物线|第6题以正多面体结构考查空间观念| |多项选择题|3/18|线性回归、函数零点与单调性|第9题通过二手房数据考查数据意识| |填空题|3/15|向量、排列组合、数列与圆|第13题小球分配问题考查运算能力| |解答题|5/77|解三角形、椭圆、二进制概率、正方体与圆锥、导数|第17题结合二进制科技背景考查推理能力，第18题正方体与圆锥综合题考查几何直观|

数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上｡ 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑｡如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号｡回答非选择题时,将答案写在答题卡上｡写在本试卷上无效｡ 3.试卷由整理排版｡考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回｡ 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1.已知,则= A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 2.已知集合,,则A∪B= A.[0,4) B.(0,3) C.{0,1,2,3} D.{1,2,3} 3.记Sn为正项等比数列的前n项和.若则 A. B. C.2 D.-2 4.设a>0且a≠1,b>0且b≠1,若则a+9b的最小值是 A.3 B.6 C.9 D.18 5.已知则 A. B.7 C. D.-7 6.正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派,正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类.将正四面体的棱的中点相连,内部会形成一个完美的正八面体,这一结构是空间对称性的经典体现.如图,在正四面体ABCD中,连接各棱的中点构造出正八面体PMNEFQ,若该正八面体的相对顶点连线则正四面体ABCD的高为 A. B. C. D. 7.设抛物线E:的焦点为F,过点F的直线与E交于A､B两点,若AB中点的纵坐标为2,|AB|=8,则p= A. B.2 C. D.1 8.设函数向左平移个单位后得到函数,若点P,Q,R是函数f(x)与g(x)的图象上从左至右依次相邻的三个交点,且则 A. B. C. D. 二､多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系,甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积x(单位:平方米)和销售价格y(单位:万元)的数据(i=1,2,⋯,80),已知其中有一套房源的数据为点P(100,220),且根据数据求得的线性经验回归方程为,该线性回归方程对应的相关系数为r,对应的决定系数则下列结论正确的是 A.r<0 B.数据点P对应的残差的绝对值为5 C.该样本中二手房的平均建筑面积约为95平方米 D.乙房产研究机构也对这组数据进行处理,得到非线性经验回归方程,其决定系数为0.则甲机构选取的模型拟合效果更好 10.设函数,则 A.当m=0时,f(x)只有一个零点 B.当m=0时,f(x)在定义域内单调递增 C.对于任意实数m,f(x)的图象都是中心对称图形 D.若f(x)存在极值点,则一定存在两个 11.平面直角坐标系xOy中,直线,直线:y=-x,动点P(x0,y0)满足过点P分别作､的垂线,垂足分别为A､B,若|PA|·|PB|=2,则 A.动点P的轨迹方程为 B.四边形PAOB的周长可以为 C.直线AB与直线OP的斜率之积为2 D.的最大值为 三､填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.在等腰直角△ABC中,点D是斜边AC上靠近点A的三等分点,若则m=________. 13.把7个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少放2个球,则甲､乙､丙三个小球放在同一个盒子里的情况有种________. 14.平面直角坐标系中,曲线上有一系列点对以为圆心的圆与x轴都相切,且圆与圆彼此外切.若且记数列的前n项的和为,则使得恒成立的最小正整数m为________. 四､解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 在△ABC中,已知 (1)求△ABC的面积; (2)若求△ABC的周长. 16.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的图象经过点且椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0). (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于A,B两点,求|OA|·|OB|的值. 17.随着AI技术的发展,计算机科学受到越来越多人关注,计算机内部数的计算采用的是二进制.一般的,k位二进制数可以表示为其中并约定比如全体3位二进制数构成的集合为设全体n位二进制数构成的集合为A,其中正整数n≥2,从集合A中等可能的取出一个二进制数,设这个二进制数中数码0出现的次数为ξ. (1)若n=5,求概率P(ξ>2); (2)若n=2026,记ξ=k的概率为pk,当k·pk取得最大值时,求k的值. 18.(本小题满分17分) 已知正方体的棱长为2,点O1,O分别为上下底面的中心,圆锥OO1的顶点为O,圆锥底面为正方形的内切圆,M为AD中点,如图所示. (1)设点Q在圆锥OO1的底面圆周上运动. (i)求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值; (ii)若证明:CQ∥平面A1OB. (2)设平面A1BCD1和圆锥OO1侧面的公共点构成集合Ω,若P∈Ω,求PM的最小值. 19.(本小题满分17分) 已知函数(其中e为自然对数的底数, (1)求f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程; (2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围; (3)若,求实数a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $■▣■■■■口▣ 数学答案 题号 4 8 9 10 11 12 13 14 答案 B BCD ACD AD 18 507 2→cosA= 1 1 15.(1)设角4，B,C的对边分别为abc,则由已知： bc=15,bccosA=- 2,因为A∈(0，可 4 所以 号A4Bc的面积S二2cn42X15X冫店 24 (2）由余弦定理a=VB2+c2-2bcc0sA=B+c2+15=7， 所以 62+c2=34→6+c2-2bc=34→b+c=V34+26c=8,所以△ABC的周长1=a+b+c=15 13 1.(1)由已脑国的焦点华标分别为00心F(10,段L引 由椭圆的定义可知 2a=PF1+r-0-+3-0j+++目-0=4 所以a=2,结合c=1可知b=Va2-c2=√5，所以 方程为+1 （2)设过F的直线方程为x5+1,与苦+号-1联得5矿+29-0，设4对少e。 由 韦 达 定 理 乃*525 -9 5,5=5 oo-**--}-} -4写4写-60++5话=60+++5话，代入韦达定理整理得 1o4o8-o号号5厘 5 17.(1)5位二进制数形如1a,aa4,由于每个a,(位=1,2,3,4)有0,1两个取值，所以全体5位二进制数总量 为2=16个.其中满足5>2的二进制数有5个，分别为100,101010010011000)， 所以 E>2-8 (2)2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上，每个数位出现0的概 25 2025 率为2，所以O出现的次数服从二项分布，即 8202s =c·-c( 所以 2025 kp,= ，记f)=kC025 则 最大等价于 f(k) 最 f化+_k+C型_k+1。 20251 k(2025-)!_2025-k 大 f)=kCa=k`+2024- 2025！ 所 以 f(k+1)>f(k)台2k<2025台k=0,12,1012 此时f内单 调递增； fk+)<f)台2k>2025台k=1013,1014,2025,此时f()单调递减，所以f013)为最大值.综上，当k·P 取得最大值时求k的值为1013 18.(1)(i)解：由于O01平面ABCD,所以O0为平面ABCD的法向量，设直线OO和平面ABCD所成 角为8， 则sin8=|cos(0g00)l=cos∠000 因为00上平 面 4caa01g0m0o08g号6 ,所以直线00和平面BCD所成角的正弦植为5 数学参考答案·第1页（共3页） ■▣■■■■口▣ (i)证明：因为cQ=C+CQ=2+cQ=万→CQ=5,因为圆锥底面圆 的半径r=1,所以90+产=CQ台5+P=5,所以0G100,结合QG180可 知B,D,共线.所以CQc平面CBD.下面证明平面CBD∥平面AOB,由于 BD∥BD→BD∥BO,结合BOS平面AOB,BDz平面AOB,所以BD∥平面4OB, 由于A,C∥AC→AO∥OC,显然4O=OC,所以AOCO为平行四边形，所以CO∥A0, 结合AOs平面AOB,COz平面AOB,所以CO∥平面AOB,由于BD,CO为平面 CBD中的两条相交直线，所以平面CBD∥平面A,OB,因为CQc平面CBD,所以CQ∥平 面AOB (2)解：以0为原点，建立如图坐标系，此时41，-12)B110)C(-110)M(0-10)O(002), 设Pn)，则P在圆锥侧面上台O丽=c”少O网=@02)的夹角余弦值为号5，即 22 2N5 22 4 2V2+y2+22 ①，设平面4BCD的法向量为u=(ab,c)， 由 B4·u=0∫-2b+2c=0 0→I=(0,1)，P在平面4BCD上台BP·i=0→y+z=1②， BC.=0 -2a=0 PM=V2+0+102+z 结 合 ①② 可 得 -0-+2-+2- PM=14 52-22+3 4115 z-5)+55,取等条件(2) 5 所以PM的最小值为5 19.(1)f'(x)=e-2m,因为(0,1)为切点，所以切线斜率k=f'(0)=e°-2a.0=1,所以切线方程为y=x+1. (2)由已知f'(x)=e-2m≥0在R上恒成立，记F(x)=e-2m,则F(x)≥0在R上恒成立，F'(x)=e-2a, 若a>0,则F'(x)>0→x>ln2a,此时F()单调递增；F'(x)<0→x<n2a,此时F(x)单调递减，所以 F0m=F0a2a=e”-2ah2a=2a0-h2o),具需F)m20→2a0-lh2a203a所以0<a若a<0, 2 则F'(x)>0→F(x)单调递增，注意到x→-o时F(x)→-o,不合题意；若a=0,则F(x)=e>0,符合题意.综 上实数。的取值范围为[0引 (3)由于我们讨论f(I)f(2),f10)的大小关系，所以不妨设x∈[1，+)，由第(2)问可知当 a 时f)单调递增.当a<0时，f()=e-2m在xe,+)时f"()>0,仍有f()单调递增，所以当2均有f) 在几，+0)单调递增，此时 2/0-fu+-2/u+D-f0]-=f0o-f0=fao+f 所以 a>sf(x)=e'-2ax=x -2a f0)=0→e-a=0→a=e,这与2矛盾，此时无解.若2，则 ,记 0x)=-2a 则f0与8)在x1时同号 g0的=-”>0=0在山+)单调递增，此时30。-200：注您到 x→+0时)→+0，所以存在名>1，使得8)=0，若xe山，)→)<0→f"(因<0；若 x∈(+)→g)>0→f"()>0,所以f()在Lx)单调递减，在(。，+0)）单调递增，设k≤x,≤k+1,其中 keN*,等价于≥g6♪8)g(k+),即2k2k+0(),①若k≥10，则f0>f2)>>f00, 数学参考答案·第2页（共3页） ■▣■■■■口▣ 含0-f+外2/0-f+明-f0-f00-fo+0. elo 此时： f(10)=0→a= 所以 100 >ee0 由(*)可知2k20，矛盾，此时无解。 ②若1长k≤9且fk+1f,则：f0>f2)>…>ffk+)<fk+2)<<fI0), 20-0+川-2/0-f+训2/*0-f01=f0+f0-2w 此时 ,由已知f网=0，即 -.0a=京，猫入)可得.永0- e e2 Q= ,验证f(k+f()台fk+1≥0成立.故4 符合题意·国若1≤k9且fk+<f因，则同理可得： ②/0-fG+=f0+fao-2fk+D→fk+D=0sa=3 ,带入(*)可得： 。e1 2亚k+1下2依+0→ke红2 e ,由于f(k+)<f)台f)>0,逐一验证可知只有 有=a=子符合.综上 实数a的值为4. 数学参考答案·第3页（共3页）