精品解析：江西赣州市安远县2025—2026学年度下学期期中考试 八年级数学试卷

2025—2026学年度下学期期中考试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式，熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数是解决此题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故A选项计算错误； B、，故B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、，故D选项计算错误， 故选B． 3. 已知x是正整数，是整数，则x的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，对原式变形得解． 【详解】解： ∴． 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4. 下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 相等，且互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【详解】解：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 5米 B. 7米 C. 8米 D. 12米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形，，， ∴ ∴这棵树原高：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答． 6. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：， 解得 ，即这个多边形的边数是6． 8. 一个三角形的三边长是，，，则这个三角形的面积是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 这个三角形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，推出，根据，求出即可. 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大. 10. 如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为_________度． 【答案】45 【解析】 【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案． 【详解】解：连接AC， 由勾股定理得：AC2=22+12=5， BC2=22+12=5， AB2=12+32=10， ∴AC2+BC2=5+5=10=BA2， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠ABC=45°， 故答案为：45． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角． 11. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由，，利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，点P的坐标为，点O位于x轴的正半轴上，若是等腰三角形，则点Q的坐标为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本部考查了勾股定理，过点P作轴于点A，分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， 当时， ∵点P的坐标为， ∴， ∴； 当时， 设，则， 则， 即， 解得， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， 综上所述，点Q的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 在中，． （1）若，，求的长． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴． 15. 在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图中画出的中点； （2）在图中的对角线上取两个点，使． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和无刻度的直尺按要求画图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接交于点，然后连接，延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，然后连接，延长交于点，连接交于点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小杰的解答从第____步出现了错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）二 （2） 解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简． （1）根据二次根式和绝对值的性质分析即可； （2）先正确化简二次根式和绝对值，再算加减即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴小杰的解答从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 略 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 对于新运算※，*规定如下：，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【小问1详解】 解：由定义，，代入，， 得 ． 【小问2详解】 解：由定义，，代入，， 得 ． 19. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】（1）米 （2）14米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 20. 如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求t的值． （2）当四边形是矩形时，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，进一步求解即可． （2）根据矩形的性质，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，再由即可证明结论； （2）延长交于点H，证明四边形是平行四边形，得到，， 由（1）得四边形是平行四边形，则，进而得到，求出，，由勾股定理得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：椅子最高点A到地面的距离为． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）12 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中考试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x是正整数，是整数，则x的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 相等，且互相垂直平分 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 5米 B. 7米 C. 8米 D. 12米 6. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 8. 一个三角形的三边长是，，，则这个三角形的面积是 __________． 9. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 10. 如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为_________度． 11. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 12. 如图，点P的坐标为，点O位于x轴的正半轴上，若是等腰三角形，则点Q的坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 在中，． （1）若，，求的长． （2）若，，求的长． 15. 在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图中画出的中点； （2）在图中的对角线上取两个点，使． 16. 若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小杰的解答从第____步出现了错误； （2）请你写出正确的解答过程． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 对于新运算※，*规定如下：，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 20. 如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求t的值． （2）当四边形是矩形时，求t的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $