精品解析：江西省赣州市安远县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024-2025学年度下学期期中练习 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项．） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A. B. C. D. 或 4. 如图，中，平分，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A. B. C. D. 6. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 8. 如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是___________． 9. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的周长为___________． 11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 12. 如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）． 14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°． （1）求∠BAC的度数． （2）若BD=1，求AD的长． 15. 如图，在中，对角线交于点O，． （1）求的面积： （2）求的长． 16. 在如图1中，四边形是矩形，，如图2中，四边形是矩形，，请你只用无刻度的直尺画出两个图中的边的垂直平分线． 17. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， （1）求证：BE=BF； （2）求BE的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）连接，则是__________三角形，请写出推理过程． （2）点C到的距离是__________． 19. 对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． （1）___________，___________； （2）若，求x的值． 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. [教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… （1）请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： （3）如图3，在四边形中，点，，，分别是，，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 在矩形中，，E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，其中． （1）根据题意可得___________；___________；（用含t的式子表示） （2）若G，H分别是上的点且，，求证：四边形是平行四边形． （3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形为矩形． （4）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形为菱形，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期中练习 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项．） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念，即被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意； B、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故此选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和运算法则，熟练掌握运算法则和基本性质是解题关键． 根据二次根式的除法和加法运算法则、性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算错误，不符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算正确，符合题意． 故选：D． 3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 故选：A． 4. 如图，中，平分，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形对边平行得，结合角平分线得定义，求角解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴． ∴， 故选：B． 5. 已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 利用平行四边形对边平行且相等，结合坐标平移规律求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴； ∵，沿轴方向， ∴点是点向左平移个单位（因为长度为3）． ∴向左平移个单位，横坐标，纵坐标不变，即， 故选：C． 6. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理以及正方形的性质，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2024次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知， “生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2024次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2025； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 8. 如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 9. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，先整理，再比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质是解题的关键； 根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为8； 故答案为：8． 11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是___________． 【答案】或2或 【解析】 【分析】此题考查的是等腰直角三角形的性质、矩形的性质和全等三角形的判定及性质． 设，则，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，利用矩形的性质和全等三角形的判定及性质分别列出方程即可求出结论． 【详解】解：设，则， ①若中，，时，如下图所示 ∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 即； ②若中，，时，如下图所示，过点G作于M 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 即； ③若中，，时，如下图所示，过点F作于H 易知：，，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得： 即； 综上：的长为或2或 故答案为：或2或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值、计算二次根式的除法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°． （1）求∠BAC的度数． （2）若BD=1，求AD的长． 【答案】（1）∠BAC=75° （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理计算即可． （2）根据直角三角形30度角的性质求出AB=2，再利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=60°，∠C=45°， ∴∠BAC=75°． 【小问2详解】 解：在Rt△ABD中，∵BD=1，∠BAD=90°-∠B=30°， ∴AB=2BD=2， ∴AD=． 【点睛】本题考查了直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 15. 如图，在中，对角线交于点O，． （1）求的面积： （2）求的长． 【答案】（1）48 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质和勾股定理先求出的长，再根据平行四边形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形的性质可得，然后利用勾股定理求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， ∴． 16. 在如图1中，四边形是矩形，，如图2中，四边形是矩形，，请你只用无刻度的直尺画出两个图中的边的垂直平分线． 【答案】如图所示即为所求作： 【解析】 【分析】根据垂直平分线的判定和性质“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，矩形的性质，等腰三角形“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴是等腰三角形，则， 连接并延长交于点， 在中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线，且是等腰三角形， ∴根据等腰三角形的“三线合一”可知，是的垂线，且平分，即是线段的垂直平分线， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴， ∵是等腰三角形， ∴平分线段，即，且， ∴直线是线段的垂直平分线； 如图2所示， ∵四边形是矩形，， ∴，，即， ∴连接交于点，连接交于点，连接， 同理可得，是等腰三角形，， 连接并延长交于点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质的综合，掌握上述知识的综合运用是解题的关键． 17. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， （1）求证：BE=BF； （2）求BE的长． 【答案】（1） 证明：在长方形ABCD中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论； （2）在Rt△BAE中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在长方形ABCD中，，由折叠知， 设，那么， 在Rt△BAE中，， 即． 解得，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）连接，则是__________三角形，请写出推理过程． （2）点C到的距离是__________． 【答案】（1）直角， 理由：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，即， ． 19. 对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． （1）___________，___________； （2）若，求x的值． 【答案】（1），4 （2） 【解析】 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：，4； 【小问2详解】 解：由可得：， 解得：． 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 【答案】 （1）证明：，， 四边形OCED是平行四边形， 矩形ABCD， ，，， ， 平行四边形OCED是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可． （2）解直角三角形求出BC=2，AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可． 【详解】（1） 略 （2）在矩形ABCD中，，，， ， ， 连接OE，交CD于点F， 四边形OCED为菱形， ∴F为CD中点， 为BD中点， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. [教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… （1）请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： （3）如图3，在四边形中，点，，，分别是，，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：如图1，延长至点，使得，连接， ∴， ∵点是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，． （2） （3） 证明：如图3，连接， ∵点，，，分别是，，的中点， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）如图1，延长至点，使得，连接，先利用证明，再证明四边形是平行四边形，可证明结论； （2）如图2，根据点，，分别是，，的中点，可得出，，，，再根据，，由平行的性质可求出，再利用勾股定理即可求出的长； （3）如图3，连接，根据点，，，分别是，，的中点，可得，；，，由平行线的性质和等量代换可推出，，最后利用平行四边形的判定即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的长为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 在矩形中，，E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，其中． （1）根据题意可得___________；___________；（用含t的式子表示） （2）若G，H分别是上的点且，，求证：四边形是平行四边形． （3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形为矩形． （4）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形为菱形，直接写出答案． 【答案】（1）， （2） 解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 由（1）可得：， ∴； ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的动点问题，涉及了各类四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据A，C的运动方向和速度即可求解； （2）证即可； （3）连接，作，推出四边形是矩形，得到，，；若四边形为矩形，则，据此即可求解； （4）连接，作，则垂直平分；结合，推出垂直平分，四边形为菱形；得到此时，根据即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：，， 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴或 若四边形为矩形，则， ∴，解得：；或，解得：； 即：当或时，四边形为矩形 【小问4详解】 解：取的中点，作，连接，如图所示： 则垂直平分， ∵ ∴即， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴四边形为菱形， 此时，， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，解得 即：当时，四边形为菱形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $