精品解析：江苏南京市秦淮区2025-2026学年第二学期第一阶段学业质量检测七年级数学试卷

2025－2026学年第二学期第一阶段学业质量监测七年级数学试卷 （满分：100分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 苏科版新教材的编写非常注重数学史内容的融入．下列是我国古代数学研究中使用到的一些图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 割圆术示意图 B. 杨辉三角 C. 赵爽弦图 D. 河图 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 已知 ， 则的值为（ ） A. 11 B. 6 C. 5 D. 1 4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 计算结果为的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是（ ） A. B. C. D. 8. 用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 清代诗人袁枚创作了一首诗（苔）：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000083米，用科学记数法表示为______． 10. ________． 11. 计算结果中不含的一次项，则______． 12. 将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则________． 13. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________． 14. 算式的运算依据是________． 15. 如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________． 16. 已知，那么代数式的值为______． 17. 已知，，若用含的代数式表示，则__________． 18. 如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 求代数式的值，其中，． 21. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图1中画出； （2）将绕点按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出； （3）线段和的关系是________． 22. 当，时，试说明． 小丽做如下尝试： ，， ________，________， ， ∴……． （1）阅读上述材料并填空； （2）请完成小丽说理的后面步骤． 23. 如图，数轴上点，分别表示数，． （1）______0，______0（用“”、“”和“”填空）； （2）比较与的大小，并说明理由． 24. 已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； （2）如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 25. 如图，一个小长方形的长为，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长______，宽______．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求m与n的数量关系． 26. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期第一阶段学业质量监测七年级数学试卷 （满分：100分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 苏科版新教材的编写非常注重数学史内容的融入．下列是我国古代数学研究中使用到的一些图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 割圆术示意图 B. 杨辉三角 C. 赵爽弦图 D. 河图 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 已知 ， 则的值为（ ） A. 11 B. 6 C. 5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果即可得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“一项相同，另一项互为相反数”的形式． 【详解】选项A： 将第二个括号提取负号，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项B：，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项C： 将第二个括号提取负号并调整顺序，得： 其中符合平方差公式，结果为，再乘以负号得，故能用平方差公式计算． 选项D： 将第一个括号改写为，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 5. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，进而利用角的和与差计算求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 6. 计算结果为的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不合题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不合题意； 、，该选项不合题意； 故选：． 7. 如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将这正方形的面积用两种方式表示，即可进行解答． 【详解】解：∵该正方形边长为， ∴该正方形面积为， ∵该正方形面积等于两个正方形加上两个矩形， ∴该正方形面积为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用面积表示多项式的乘法，解题的关键是将该正方形的面积用两种方式表示出来． 8. 用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． ∴． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 清代诗人袁枚创作了一首诗（苔）：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000083米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. ________． 【答案】 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则把化为，再逆用积的乘方运算法则求解． 【详解】解： ． 11. 计算结果中不含的一次项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可得到答案． 【详解】解：，且的计算结果中不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 12. 将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________． 【答案】10 【解析】 【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， 则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC， 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 14. 算式的运算依据是________． 【答案】幂的乘方法则 【解析】 【详解】解：根据幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用公式表示为（为正整数）， 故算式的运算依据是：幂的乘方法则． 15. 如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16. 已知，那么代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与整体代入求值，需正确计算出代数式并整体代入是解决本题的关键． 先使用多项式乘多项式的运算法则计算代数式，再将整体代入即可求解． 【详解】解：∵代数式， 又∵， ∴代入上式有， ∴代数式的值为． 故答案为： ． 17. 已知，，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】利用整数指数幂运算，幂的运算性质，整式乘法，完全平方公式和平方差公式，逐步化简计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 求代数式的值，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行化简，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 21. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图1中画出； （2）将绕点按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出； （3）线段和的关系是________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （3）根据旋转的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 当，时，试说明． 小丽做如下尝试： ，， ________，________， ， ∴……． （1）阅读上述材料并填空； （2）请完成小丽说理的后面步骤． 【答案】（1）5；3； （2） 解：∵，， ∴__5__，__3__， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用同底数幂的除法求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴__5__，__3__， ∴， ∴……． 【小问2详解】 略 23. 如图，数轴上点，分别表示数，． （1）______0，______0（用“”、“”和“”填空）； （2）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：，理由如下： ． 因为，， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）根据题意，利用作差法进行计算即可． 【小问1详解】 解：由所给数轴可知，且， 则，． 【小问2详解】 略 24. 已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； （2）如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查中心对称的性质，准确识别出正六边形的对称性是解题的关键，在作图过程做要善于利用正六边形对称中心点． （1）连接并延长，交正六边形的边于点，点即为所求； （2）取正六边形顶点，找到点关于点对称的顶点，连接并延长交正六边形的边于点，连接并延长交正六边形的边于点，连接，连接并延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，一个小长方形的长为，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长______，宽______．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求m与n的数量关系． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． （1）利用图形和整式的加减即可求解； （2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）表示出大长方形的面积和阴影不符的面积，然后结合求解即可． 【小问1详解】 解：大长方形的长，宽； 【小问2详解】 解： ∴阴影部分的面积为； 【小问3详解】 解：，阴影部分的面积为 ∵ ∴ ∴ ∴． 26. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $