立体几何 重点考点讲义-2027届高三数学一轮复习

立体几何 重点考点 【1.立体几何表面积与体积】 考点一 直观图 例1 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ A ） A． B． C． D． 练1如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点 （1）画出梯形水平放置的直观图 （2）求这个直观图的面积. 解析：（1）在梯形中， ，画出梯形的直观图，如图中梯形所示， （2）过点作于点.易得， 所以梯形的高， 所以梯形的面积为， 即梯形水平放置的直观图的面积为. 考点二 最短路径 例2 小蚂蚁的家住在长方体的处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，，，小蚂蚁从点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是（ D ） A． B． C． D． 练2已知圆锥的母线长为，圆锥的底面圆半径为，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．【】 考点三 表面积与体积 例3 已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ A ） A． B． C． D．135 练3若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为是（ C ） A． B． C． D． 例4 已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，，则此正三棱锥的体积为（ A ） A． B． C． D． 练4埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为（ B ） A． B． C． D． 练5在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（ ）【B】 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 由题意知，，，平面， 因为， 所以， 故选：． 例5 已知圆柱的母线长是2，它的两个底面圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为（ D ） A． B． C． D． 例6 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ B ） A． B． C． D． 练6已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知与圆锥底面所成的角为，则圆锥的表面积为 ． 例7 南水北调工程缓解了北方一些地方水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时候，增加的水量约为（ C ）（） A． B． C． D． 练7如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则 ． 例8 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（ A ） A．600π B．300π C．900π D．450π 练8已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 ．【4】 例9 点A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为 ．【】 练9已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（ B ） A．4 B．3 C．2 D．0.5 考点四 外接球与内切球 例10 表面积为的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是，则这个正四棱柱的表面积等于（ B ） A． B． C． D． 练10已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的体积是（ B ） A． B． C． D． 例11 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是（ A ） A．16 B．20 C．24 D．32 练11已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的表面积为（ C ） A． B． C． D． 例12 长方形中，，，沿对角线将翻折，则三棱锥的外接球体积是 ．【】 练12三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（ B ） A． B． C． D． 例13 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的半径为（A） A． B． C． D． 练13已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为 ．【】 例14 在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．【】 练14 在三棱锥中，，则三棱锥外接球体积为 ．【】 例15 三棱锥中，平面，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（ C ） A． B． C． D． 练15 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，面，，，且三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则三棱锥的外接球的表面积为（ C ） A． B． C． D． 例16 三棱锥中，面面，且与都是等边三角形，，则三棱锥外接球的体积为 ．【】 练习16 已知四棱锥，底面为矩形，，平面平面，为正三角形．则四棱锥的外接球的体积为（ ）【A】 A． B． C． D． 例17 已知四面体中 PA=4，AC=，PB= BC=，平面PBC，则四面体的内切球半径与外接球半径的比（ B ） A． B． C． D． 练17若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则=（ B ） A． B． C． D． 练18若圆锥的底面直径为，母线长为，则其内切球的表面积为 ．【9π】 【2.点线面位置关系】 考点一 三点共线、三线共点、四点共面 例1 在正方体中，设线段与平面交于点，求证：，，三点共线． 【详解】 如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1． ∴BD1⊂平面A1BCD1． 同理BD1⊂平面ABC1D1．∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1． ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1． 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1．∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线． 练1如图所示，在正方体中，，分别是和的中点，，分别为和的中点，对角线与平面交于点，求证：，，三点共线. 【解析】 试题分析：由于两点确定一直线，所以即证点在线上，而证明点在线上的方法是证点是两平面的公共点，直线是这两个平面的交线. 试题解析： EF∥DB，确定平面BF， ⇒P∈平面BF. 同理，Q∈平面BF，所以P，H，Q∈平面BF，A1C1∥AC，确定平面A1C， P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，所以P，H，Q∈平面A1C. 根据公理3，P，H，Q三点一定在平面BF与平面A1C的交线上，故P，H，Q三点共线. 例2 如图，在长方体中，，点，分别在上(不包含端点)，且. 证明： （1），，，四点共面； （2）直线交于一点. 【详解】 证明：（1）如图，连接. 因为，所以，所以. 由长方体的性质可知，所以.故A，，E，F四点共面. （2）由（1）可得，则四边形是梯形， 故直线与直线必相交，记. 因为，且平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以.即直线交于一点. 练2已知长方体中，，分别为和的中点．求证： （1），，，四点共面； （2）、、三线共点． 证明：（1）连接A1B，D1C， 因为M，N分别为AA1和AB的中点，所以MNA1B，因为A1D1BC，A1DBC， 所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C，所以MND1C， 所以MN与D1C确定一个平面，所以M，N，C，D1四点共面． （2）因为MNA1B，且A1B， 所以直线D1M与CN必相交，设D1MCNK， 因为KD1M，D1M平面AA1D1D， 所以K平面AA1D1D，又因为KCN，CN平面ABCD，所以K平面ABCD， 所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，又因为平面ABCD平面AA1D1DAD，所以KAD，所以D1M、DA、CN三线共点． 【3.平行证明】 考点一 线面平行的判定定理 例1 图，直三棱柱中，是的中点．证明：平面． 练1 已知直三棱柱的底面中，，，，O是的中 点， D是AC的中点，M是的中点，证明：平面． 例2 如图，四棱锥的底面为直角梯形，， 为的中点，求证：． 练2 在正方体中，、分别是、的中点．求证：平面． 例3 如图，在等腰直角三角形中，是斜边上的高，以为折痕把折起，使点到达点的 位置，且，、、分别为、、的中点，为的中点，求证：平面． 解：因为三角形是等腰直角三角形，是斜边上的高，所以，即， 因为，所以是等边三角形， 因为、分别为、的中点，所以、是的中线，， 因为为中点，为的中点，所以， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面. 练3 已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在 边上，且．证明：平面． 解：连接延长交于点，连接，， 因为是的重心，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面； 考点二 线面平行的性质定理 例4 已知四棱锥的底面是平行四边形，是的中点．点在上，过和的平面与平 面交于，求证． 练4 如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形为菱形，是边长 为2的等边三角形，，点为的中点.若平面与平面交于直线，求证：． 【详解】 （1） 证明：在三棱柱中，，平面 . 所以平面，且平面平面平面 所以，所以. 练5 如图，四棱锥中，底面是矩形，在上，且面.求证:是的中点. 证明：连交于，连是矩形， 是中点. 又面，且是面与面的交线，是的中点. 考点三 面面平行的判定定理 例5 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点．求证：平面平面． 练6 如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是 上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？ 考点四 面面平行的性质定理 例6 如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，， 的中点，，，设是的中点，证明：平面． 练7 如图，在四面体中，平面平面，分别为的中点， ，．若为上任一点，证明：平面． 例7 如图，四边形为菱形，，∥，为等边三角形，且平面与平 面无公共点.求证：∥平面． 【详解】 （1）因为平面与平面无公共点，所以平面∥平面， 因为∥，所以四点共面， 因为平面平面，平面平面， 所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 练8 如图,矩形平面,平面与棱 交于点G．求证：． 【详解】（1）证明：由题知，矩形，，， 且平面，平面，， 平面，平面，，平面平面， 平面与棱交于点G，且平面， 平面平面，平面平面，平面平面，故，得证; 【4.垂直证明】 考点一 线面垂直的判定定理 例1 如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，．为中点，求证：平面． 【解析】（1）∵四边形为菱形，，连结， 则为等边三角形， 又∵为中点，∴，由，∴， ∵底面，底面，∴， 又∵，∴平面． 练1 如图，在直角梯形中，，E是的中点，O是与 的交点．将沿折起到图中的位置，得到四棱锥．求证：平面． 证明：在题图1中， 因为，E是的中点，，所以．所以在题图2中，，， 又，所以平面， 又，所以平面． 例2 如图，在三棱锥中，，，、分别是线段、的中点，，．证明：直线平面． 证明：，为的中点，，∴， 又∵为的中点，∴，且， ，∴，即，   ，∴， ，平面平面， 练2 如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．求证：平面． 【详解】连接．∵四边形为菱形，，∴是等边三角形． ∵为的中点，∴，． 又∵，∴，，∴，∴， ∵，∴，． 又，平面，平面，∴平面． 例3 如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面． 求证：平面． 因为且， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以，又因为平面，平面，所以， 又，所以平面； 练3 如图，在长方体中，，，为中点，为中点． 求证：⊥平面． 例4 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，． 证明：平面． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为平行四边形，所以，所以， 因为，，平面，所以平面． 练4 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为的中点． 求证：平面． 【详解】证明：∵平面，平面，∴． ∵四边形是正方形，∴， 又，平面，∴平面， ∵平面，∴． ∵，∴， 又，平面，∴平面． 考点二 线面垂直的性质定理 例5 如图，三棱柱中，．求证：． 练5 如图所示，四棱锥中，平面，，，， ．求证：． 【详解】 如图，取中点，连结，， 因为，， 所以为正三角形，所以． 又因为为等腰三角形，所以， 所以、、三点共线，所以． 又平面，平面， 所以，， 所以平，平面，所以． 考点三 面面垂直的判定定理 例6 如图，平面，四边形是矩形，，，分别是，的中点． 求证：平面平面． 【详解】底面是矩形，平面， ，，，平面，平面 平面， 平面， 又，平面 ， 、分别是、的中点，，，面平面, 又平面，平面平面． 练6 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为 与的交点，为的中点，平面．设是的中点，证明：平面平面． 【详解】 因为分别为和的中点，所以， 所以，又平面， 平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 例7 如图，垂直于所在的平面，为的直径，，，，，点为线 段上一动点．证明：平面平面． 【详解】 证明：因为垂直于所在的平面，即平面，平面， 所以，又为的直径，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以，因为，， 所以平面，又平面，所以平面平面． 练7 如图1，在直角梯形中，，，，E是AB的中点． 沿DE将折起，使得，如图2所示． 在图2中，M是AB的中点，点N在线段BC上运动（与点B，C不重合）．在图2中证明：平面平面． 【详解】中，，时中点，故， ，，，故平面， 平面，故，又，， 故平面，平面，故，， 故平面，平面，故平面平面． 考点四 面面垂直的性质定理 例8 如图，在四棱锥中，经过的平面与、分别交于点与点，且平面平面 ，，平面．求证：平面平面． 【详解】 平面ABFE，平面PCD，平面平面 ，，， 平面平面PCD，， 平面平面，平面ABFE 平面PCD，又平面PAD中，平面平面． 练8 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形， 是的中点．证明：平面平面． 【详解】证明：连接， 因为四边形是菱形，则， 因为 ，故为正三角形，所以， 因为平面平面，而平面平面=，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 【5.几何法求夹角和体积】 考点一 异面直线夹角（线线角） 例1 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ A ） A． B． C． D． 练1在长方体中，，，则异面直线与 所成角的余弦值是（ B ） A． B． C． D． 例2 如图，四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是（ D ） A． B． C． D． 练2已知正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ B ） A． B． C． D． 例3 如图，在四面体中，，与所成的角为，、分别为、的中点，则线段的长为 ．或 练3在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若 ，且与所成的角为，则的长为（ C ） A．1 B． C．1或 D．或 考点二 直线与平面夹角（线面角） 例4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题得∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角， 在△PAC中，AC=,PA=, 所以．故选C 练4 直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点， 所以，而面，面，故， 又，面，故面， 则与平面所成角为，若， 所以，，则，故． 例5 如图，平面，分别为的中点． 求与平面所成角的正弦值． 【详解】连接．为的中点，且． 平面平面，∴， ∵，∴， ∵，平面，平面， ∵平面， 易证，又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面．平面．为和平面所成的角． 由得， 在Rt中，，和平面所成角的正弦值为． 练5 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上异于A、B且在直径AB同侧的点，，， P是平面ABC外一点，且．求PC与平面POD成角的正弦值． 【详解】过C作于H，连接PH， ∵，O为AB中点，∴，∴ 且，∴，∴， 又∵平面ABCD，平面ABCD，，∴OP⊥平面ABCD， ∵平面ABCD，所以OP⊥CH， 又∵CH⊥OD，，平面POD，平面POD，∴CH⊥平面POD， ∴CP与平面POD所成角为∠CPH， ∵CH⊥平面POD，平面POD，∴CH⊥PH，所以 ∵△COD为等边三角形，所以，所以， ∴PC与平面POD成角的正弦值为 例6 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，过点P作PH⊥CD的延长线于H，平面．过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点．若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值． 【详解】在中，，， 由余弦定理可得， 因为所以∠PDC＝120°， 在中，， 过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点． 因为所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以在中，， 所以， 设点C到平面PAB的距离为h，则 ，解得， 设PC与平面PAB所成的角为θ， ，即PC与平面PAB所成角的正弦值为． 练6 如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为 线段上一动点．当点F与C点重合，求PB与平面AEF所成角的正弦值．． 【详解】因为，，所以， 又，所以， 由，得, 如图，过点作∥交于点，则，可得， 又，所以， 所以， 设点到平面的距离为， 由，可得， 所以解得， 所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为． 考点三 平面与平面夹角（面面角） 例7 如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得．故选：B． 练7 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，二面角的大小为 ． 【详解】解：四棱锥的底面为正方形，底面， 平面，平面，所以，， 即为二面角的平面角， 又是正方形，所以，二面角的大小为． 例8 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以为棱，以平面与平面为面的二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 【详解】取的中点为，连接，因为与全等，又，， 所以，，因为为的中点，所以，，所以为以为棱，以平面与平面为面的二面角的平面角，在中，，，所以，同理可得，在中，因为，，，所以，所以，所以以为棱，以平面与平面为面的二面角的大小为，故选：C． 练8 如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【详解】解:由题知,平面ABC与平面的夹角即为平面与平面的夹角,取的中点O,连接,如图所示: 因为正三棱柱的所有棱长都为2, 所以所以, 同理可得:,所以, 又,所以, 所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角, 又,所以, 因为,所以,故选:C． 例9 如图，在三棱锥中，，平面． （1）求证：平面平面 （2）若，求二面角的正切值． 【详解】（1）平面 ，平面 平面 平面平面， 平面平面． （2）设是的中点，过于，连接，在中 平面平面平面，平面 又平面是二面角的平面角． 设，则在中， ，所以． 练9 如图，平面四边形中，，，，以为折痕将折起， 使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【详解】（1）证明：由（1）可知，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）解：在平面内，过点P作于F，连接， 由（1）可知，平面平面，又平面平面， 所以平面，因为，由三垂线定理可得，， 则即为二面角的平面角， 在中，由余弦定理可得， 在中，，所以，在等腰中，， 在中，，故二面角的平面角的正弦值为． 考点四 点到平面的距离 例10 如图，正三棱柱中，D是的中点，． （1）求证：直线； （2）求点D到平面的距离． （2）过作于，由题知平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，即的长即为点D到平面的距离， 在直角三角形中，，， 所以点D到平面的距离为； 练10 如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．求点到平面的距离． 【详解】 法一：过作，垂足为， 在正三棱柱中，平面，平面，∴， 在中，，，∴且， 、平面， ∴平面，又平面， ∴且，，、平面， ∴平面，∴线段的长即为点到平面的距离， 在中，，，则由余弦定理，， ∴，∴， ∴点到平面的距离为． 法二：在正三棱柱中，平面，平面，∴， 在中，，，∴且，、平面， ∴平面，设点到平面的距离为， 则由，得， 在中，，，，则由余弦定理，， ∴，∴， 又，∴，∴，∴点到平面的距离为． 例11 如图所示，三棱柱中，侧面是边长为的正方形，是菱形，， 且平面垂直平面，为中点． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【详解】（1）证明：∵正方形BB1C1C，， ∵面⊥面，面面，面，∴B1C1⊥面ACC1A1， 又CM⊂面ACC1A1，∴B1C1⊥CM， ∵ACC1A1是菱形，，∴为等边三角形， ∵M为A1C1中点，∴CM⊥A1C1， 又A1C1∩B1C1＝C1，且A1C1，B1C1⊂面A1B1C1，∴CM⊥面A1B1C1， 又CM⊂面MBC，∴平面MBC⊥平面A1B1C1． （2）解：由（1）可知，B1C1⊥面ACC1A1，∴B1到平面MCC1的距离为B1C1＝2， 由（1）知，CM⊥面A1B1C1， ∵MB1⊂面A1B1C1，∴CM⊥MB1， 在中，， 在中，， ，， 设点C1到平面MB1C的距离为h， ，，， 故点C1到平面MB1C的距离为． 练11 平行四边形中(图1)，，，将以为折痕折起，使得平面 平面，如图． （1）证明：平面平面； （2）已知，点为线段的中点，求点到平面的距离． 【详解】 （1）由余弦定理得， 所以，所以，即， 又平面BD⊥平面BCD，平面BD平面BCD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2）由，则，， ，是中点，所以， 由（1）得，，所以，， 所以，而，所以． 设到平面的距离为， 则， 所以，所以．即到平面的距离为． 【6.空间向量运算】 考点一 空间向量的线性计算 例1 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ）【C】 A． B． C． D． 解：因为为的中点， 所以， 又，， 所以． 故选：． 练1如图，在平行六面体中，，，．点在上，且，则=（ ）【】 A． B． C． D． 例2 已知为空间任意一点，，，，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）【C】 A． B．2 C． D． 练2已知点和不共线三点，，四点共面且对于空间任一点，都有，则 　 　．　【】 例3 空间向量，，，若三个向量，，共面，则可用和表示为　 　．【】 解：空间向量，1，，，0，，，2，，若三个向量，，共面， 设，整理得，1，，0，，2，， 即，解得，， 所以． 练3已知，，，若，，，四点共面，则=（ ）【B】 A．9 B． C． D．3 解：，1，，，2，，，6，，，，，四点共面， ，，6，，1，，2，，解得．故选：． 例4 已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝　 　，z＝　 　．【1 ， 3】 解：根据题意知：，. 故； 故答案为：；. 练4已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是（ ）【A】 A． B． C． D． 例5 设，是两个空间向量，若，，，则=（ ）【C】 A． B． C． D． 解：，， ，． 故选：． 练5已知，，若，则实数，的值分别是（ ）【A】 A．1， B．， C．1，2 D．，2 解：，，，，，， 若，则，解得，． 故选：． 例6 已知向量，，且与平行，则的值是（ ）【D】 A． B． C．﹣3 D．3 练6已知，，若，则实数，的值分别是（ ）【A】 A．1， B．， C．1，2 D．，2 解：，，，，，， 若，则，解得，． 故选：． 练7若，，三点共线，则的值为（ ）【A】 A．0 B． C．1 D． 解：因为，1，，，，，由题意，得，所以， 所以，，所以． 故选：． 考点二 空间向量的数量积 例7 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点，，分别是，，的中点，设，，，为空间向量的一组基底，计算： （1）； （2）． 解：（1）由题意，，，， 则，，，，， ； （2）， ， ， 即． 练8已知四面体，，，，，则　 　．【5】 解：根据题意，四面体，，，，， 则 ； 则；故答案为：5． 例8 （运用基底求模长）二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________. 【答案】4 【详解】依题意，，且有，而， 所以. 练9如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______． 【答案】 【详解】由题意可知，，则∠BFC为二面角的平面角， 故．又，故异面直线BF，ED所成角也为． ∵，∴，∴． 故答案为： 例9 （投影向量）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ．【】 解：向量，，则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 ，，0，，0，，故答案为：，0，． 练10已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ． 【，0，】 解：向量，0，，，2，，则，，， 所以向量在向量上的投影向量为： ，，0，，0，，0，， 故答案为：，0，． 例10 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）【A】 A．2 B． C．4 D． 解：向量，1，，，3，，且与夹角的余弦值为， ， 解得．故选：． 练11已知，，与为坐标原点）的夹角为，则的值为（ ）【C】 A． B． C． D． 解：，，， ，，则，．故选：． 例11 长方体中，，，是的中点，是的中点．则异面直线与所成角的余弦值为（ ）【B】 A． B． C． D． 解：依题意，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则 故选：B． 练12 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）【B】 A． B． C． D． 解：如图，分别以边，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，. 设异面直线与所成角为.则， ∴异面直线与所成角的余弦值为.故选:B. 例12 在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（ ）【D】 A． B． C． D． 解：以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，设， 所以， 则， 当时，的最小值为. 故选：D. 练13已知、、，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是（ ）【D】 A． B． C． D． 解：∵点在直线上运动，∴， ∴ ， ∴时取最小值，点坐标为， 故选：D． 例13 在长方体中，，，点在上，在上且为中点． （1）求、两点间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 解：（1）建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，，， 因为，所以， 得 ， 又为中点，所以， 所以； （2）， ， 所以， ， 所以直线与直线不垂直． 练14 如图，直三棱柱底面中，，，棱，，分别是，的中点． （1）求的长度； （2）求证：． 解：（1）以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 所以，，， 所以的长度为； （2）则，， ， ，∴A1B⊥C1M. 例14 如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A． B．BD⊥平面ACC₁ C．向量 与的夹角是60° D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】利用空间向量法，通过计算线段长度、向量夹角、线线角以及证明线面垂直等知识确定正确答案. 【详解】以为空间一组基底. ， ， 所以，A选项正确. 由于四边形是菱形，所以， ，， 所以，即，由于，所以平面，B选项正确. ，三角形是等边三角形， 由图可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角，C选项错误. ， ， 所以. ，， 所以. . 设直线与直线所成角为，则，D选项正确. 故选：C 练15（多选）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得. 【详解】 ，故A错误； 由题可知，，， ∴，∴，故B正确； 因为，， 则 ，故C错误，D正确． 故选：BD. 【7.空间向量应用】 考点一 距离问题 例1 已知直线的方向向量为，点，在上，则点到的距离为___________.【】 练1 已知空间中的三个点,点到直线的距离为___________.【】 例2 在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，侧面为等边三角形，､分别为､的中点，平面，，，，.求到平面的距离______________.【】 【答案】取的中点，连接， 在梯形中，，､分别为､的中点， 则为梯形的中位线，， ，， 平面，以点为坐标原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间坐标系，则､､､， 所以，， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以，平面的一个法向量为， 又，所以，点到平面的距离为， 因此，点到平面的距离为. 练2 如图，在四棱锥中底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，则直线PA到平面BDE的距离为__________.【】 练3 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )【】 A． B． C． D． 【答案】 建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则， 即，解得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 练4 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）【】 A． B． C． D． 【答案】 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,, ，，, 设(x，y，z)，,， 则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0， ＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x， 令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)， ∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝， ∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝. 故选：A. 考点二 夹角问题 例3 正方体，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 练5 如图，直三棱柱，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 解：如图所示，建立空间直角坐标系． 不妨取，则． ，，，． ，，． ． 例4 如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点． (1)空间向量建系求证：平面； (2)若F为中点，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为在三棱柱中，面ABC，， 所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系， 因为， 所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴，平面，所以平面； (2)设与平面所成角为， 由(1)知平面的法向量为， F为中点，∴，， ∴，即与平面所成角正弦值为. 练6 在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）空间向量建系证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1）略 （2）以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则,,,; ,, 设为平面的一个法向量，则, 令，可得； 设直线与平面所成角为，则. 练7 （线面平行的性质定理）如图，是的直径，动点P在所在平面上的射影恰是上的动点，，D是的中点，与交于点E，F是上的一个动点． （1）若平面，求的值； （2）若F为的中点，，求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（线面平行的性质定理：推出交线平行再用相似） （1）因为平面，所以，所以． 因为D，O分别为的中点，所以点E为的重心，所以，即 （2）如图所示建立空间直角坐标系． ∴． ∵． ∴ 设平面的法向量为 ，∴令，∴ 直线与平面所成角的余弦值为． 例5 如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，. (1)空间向量建系求证：平面； (2)点M在线段上运动，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【解析】(1)略 (2)以为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，. 设为平面的法向量， 则得取，则， 易知为平面的一个法向量， ， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 练8 如图，在三棱锥中，，，，. (1)空间向量建系证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【解析】(1)略 (2)解：取的中点，连接，因为，所以，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，以的中点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，显然为平面的法向量， 设是平面的法向量，则，即， 令，得，所以，显然二面角为锐二面角，故所求二面角的平面角为. 练9 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，. (1)建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标； (2)若与平面所成角为，求二面角的大小. 【解析】(1)证明：因为平面，平面，平面， 所以，， 又由，所以、、两两垂直， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，所以， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，取，可得，即， 所以平面的一个法向量的坐标为. (2)解：因为，，，平面，平面，所以平面，所以为在平面上的射影， 所以与平面所成角即为， 因为与平面所成角为，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以平面的法向量， 由（1）得，所以， 因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为. 例6 如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，. （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.【.】 【答案】解：（1）因为是直径，所以， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 所以平面，， 在中，， 由（1）知， 当且仅当时，等号成立. 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，. 则，，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， ∴，取，则 ， 设平面的一个法向量为， 则，即， ∴，取，则， ∴， ∴二面角的余弦值为. 练10 如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段为圆锥底面的直径，在底面内以线段为直径作，点P为上异于点A，O的动点. （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：∵垂直于圆锥的底面，圆锥的底面， ∴，∵为的直径，∴， ∵面，，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r， ∴圆锥的侧面积，底面积， ∴依题意，∴，∵，∴， 则在中，，∴， 如图，在底面作的半径，使得， ∵，， ∴以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，，， 在三棱锥中，∵，∴面积最大时，三棱锥的体积最大，此时，∵的半径为1，∴， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设二面角的平面角为，由图得为钝角， ∴，∴二面角的余弦值 考点三 动点问题 例7 如图，在棱长为的正方体中，为中点． (1)求二面角的大小； (2)探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【解析】(1)如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，．所以， 设平面的法向量，所以，即， 令，则，，所以， 连接，因为，，，平面， 平面，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为． (2)假设在线段上存在点，使得平面， 设，， ， 因为平面，所以，即 所以，即解得 所以在线段上存在点，使得平面， 此时点为线段上靠近点的三等分点． 练11 如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点． (1)求平面ADE与平面BCE所成的二面角的余弦值； (2)在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE？如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由． 【解析】(1) 设AB中点为O，连接OE，OD，因为平面ABCD⊥平面ABE，△ABE为等边三角形， ∴AB⊥OE，OE⊂平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB． 所以OE⊥平面ABCD，所以OE⊥OD． 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），B（－1，0，0），D（0，0，1），C（－1，0，1），E（0，，0）， 所以． 设平面ADE的法向量为＝（x1，y1，z1）， 则即 令z1＝1，则x1＝1，，所以， 同理可求得平面BCE的一个法向量为， 设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ，则， 所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为． (2)假设存在Q（x2，y2，0）满足题意，因为，所以， 又， 所以依题意有即 解得易知点在△ABE内， 所以△ABE内存在点，使PQ⊥平面CDE，此时． 例8 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）证明：连接，在中，因为，，，所以. 因为点是的中点，所以. 在中，，，，由余弦定哩，有， 所以，所以. 在中，，，满足， 所以，又， 所以平面. （2）如图，以点为坐标原点，建立空间肖角坐标系，则，，，设，， 在中，，而，得，所以. 平面的一个法向量为，直线与平面所成角为. 因为， 所以. 因为. 所以， 得，所以或(舍)，所以. 练12 如图，在平面四边形中，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面． （1）证明：； （2）若为的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【解析】（1）证明：∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴ 又∵，，平面， ∴平面，而平面，∴； （2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，轴，设，取， 则 由 设平面的法向量为 ，可取 设直线与平面所成的角为， 则，∴或 当时，由，设平面的法向量为 则，可取 由可取平面的法向量，设二面角的平面角为 则，所以 同理，当时，则可取，则，所以 综上可得，二面角的大小为或 例9 如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点． （1）已知点在棱上，且平面平面，试确定点的位置并说明理由； （2）设点是线段上的动点，当点在何处时，直线与平面所成角最大？并求最大角的正弦值． 【详解】 （1）为中点，证明如下： 分别为中点， 又平面平面 平面 又，且四边形为平行四边形， 同理，平面，又 平面平面 （2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系 则， 设直线与平面所成角为，则 取平面的法向量为则 令，则 所以 当时，等号成立 即当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值． 练13 如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点，，且平面，平面． (1)证明：平面； (2)若，点是直线上的动点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【解析】(1)证明：平面，平面，且平面平面， ，又为的中点，为的中点， 又平面，同理可得，且为的中点， 平面，平面，，则， ，，，而，、平面，平面； (2)解：如图，以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，过点B且与AP平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设，则，设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则，则，令，则， 所以为平面PBC的一个法向量. 设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为θ，则. 当时，;当时，， 当且仅当，即时，取得最小值，取得最大值，最大值为. 所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为. 1 2 3 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何重点考点 【1.立体几何表面积与体积】 考点一直观图 例1如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的 面积是() 4.2+ B.1+W2 2 0 C.2+2 2 D.1+2 O'4) 练1如图，四边形ABCD是一个梯形，CD/IAB,CD=A0=1,三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点 (1)画出梯形ABCD水平放置的直观图 (2)求这个直观图的面积. 考点二最短路径 例2小蚂蚁的家住在长方体ABCD-AB,CD的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C处，三条 棱长分别是A4=2,AB=3,AD=4,小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C的最短距离 是() A.53 B.3V5 C1小蚂蚁奶奶家 4 C.√29 D.√41 小蚂蚁家 练2已知圆锥的母线长为3cm,圆锥的底面圆半径为lcm,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发，沿圆锥侧面 爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为_一cm. 考点三表面积与体积 例3已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ 1 A 30w34 B 60√34 C. 30W34+135 D.135 练3若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为是（) 3 6 A.2 B.3 C.2 D.6 例4已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中OB'=O'C', 0A=3 则此正三棱锥的体积为（） y A. 2v5 3 B.2N5 3 √5 B O C C.6 D.2 练4埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为 边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底 边上的高的比值为() A.5+1 B.5-1 C.5+1 D 2 V5-1 3 练5在《九章算术》中将底面为矩形组有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥P-ABCD为阳 马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（) 4.10+23 B.10+2V5 6+213 D.6+2V5 例5已知圆柱的母线长是2，它的两个底面圆周在直径为2W6的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为() A.4v5π B.8+6W5π C.10v3m D.(10+45x 2 例6已知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（) A.5 B.3 C.23 D.√6 练6已知圆维的顶点为，底面圆周上的两点八、8满足AS18为等边三角形，目面积为45 3,又知SA与圆锥底 45 面所成的角为，则圆锥的表面积为 例7南水北调工程缓解了北方一些地方水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2,将该水 库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时候，增加的水量约 为（)（√7≈2.65） 4.1.0x10m3 B.1.2x10°m C.1.4x10°m D.1.6x10°m3 C-ABB 练7如图，三棱台 BC-AB,C的上.下底边长之比为：2，记三棱 体积为 B C V= 三棱台ABC-AB,C的体积为'，则V 例8圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这 个圆台的侧面积为（)】 A.600π B.300π C.900π D.450m 练8已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 例9点A,B,C在球O表面上，AB=2,BC=2V3,∠ABC=90°，若球心O到截面ABC的距离为2V2,则 该球的体积为】 练9已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（ 3 A.4 B.3 C.2 D.0.5 考点四外接球与内切球 例10表面积为324π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于 () A.567 B.576 C.240 D.49π 32 练10已知正方体的外接球的体积是3，则这个正方体的体积是（） 64 64N3 64 64V3 A.27 B.9 C.9 D.27 例11已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是（) A.16π B.20π C.24π D.32π 练11已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P-ABCD的底面面积为6，侧面积为 6W ,则球○的表面积为（） 8.28V6 3π C.16 D.32r 例12长方形ABCD中，AB=1,AD=2,沿对角线BD将△ABD翻折，则三棱锥A-BCD的外接球体 积是 S-ABC 练12三棱锥 的顶点都在同一球面上，且 S4=4C=SB=BC=22,SC=4,则该球的体积为() B 256 32 π π A 3 B.3 c.16π D.64π 4 例13已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球的半径 为（) 4.3 B.6 36 C D. 9 练13已知正三棱锥P-ABC,点P、A、B、C都在半径为V5的球缅上，若A、PB、PC两两互相垂 ABC 直，则球心到截面 的距离为 例14在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面 积为 练14在三枝维P-ABC中，PA=BC=2√54，PB=AC=10,PC=AB=2④，则三棱锥P-ABC外 接球体积为 创15三棱锥S-AB C中，SB上平面ABC,SB=5,△MBC是边长为N5的正三角形，则三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积为() A.3i B.Si C.9 D.12 练15《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖懦.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥面 ABC,PA=AB=2,AC=4,且三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则三棱锥P-ABC的外接 球的表面积为（) A.12π B.16π C.20π D.24π 例16三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC,且△PBC与△ABC都是等边三角形，PB=2W3,则三棱 锥外接球的体积为一 练习16已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD为矩形，AB=2BC=2,平面SMD⊥平面4BCD,△S1D为正三角 形.则四棱锥S-ABCD的外接球的体积为（) 32√3 B.l65 C. 32V5 163 A. D. 27 27 9 9 例17已知四面体P-ABC中PA=4,AC=2V7,PB=BC=2√3，PA⊥平面PBC,则四面体P-ABC的 内切球半径与外接球半径的比（) 2 3W2 A.16 B.16 3W2 √2 C.8 D.8 练17若一个正四面体的表面积为S,其内切球的表面积为S,,则S2=（) 6 63 4 4v5 A,π B.π C.3 D.元 6 练18若圆锥的底面直径为，母线长为，则其内切球的表面积为 【2.点线面位置关系】 考点一三点共线、三线共点、四点共面 例1在正方体ABCD-A,B,C,D,中，设线段A,C与平面ABCD交于点Q,求证：B,Q,D三点共线， D Q 练1如图所际，在正方体1BCD-ABCD中，E,F分别是B,C和DC的中点，P,卫分 D 别为EF和BD的中点，对角线AC与平面EFDB交于H点，求证：P,H,O三点共线 6 H 例2如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，BC=CC,点E,F分别在BC,CC上（不包含端点），且CE=CF. 证明： D (1)A,D,E,F四点共面 AE,DF,DC (2)直线 交于一点 D 练2已知长方体1BCD-ABCD中，M,N分别为4和AB的中点，求证： D C A (①)D,M,N,C四点共面 B M D (2)DM、DA、CN三线共点 【3.平行证明】 考点一线面平行的判定定理 例1图，直三楼姓BC-AB,C中，D是AB的中点.证明：BC∥平面ACD C B D 练1已知直三棱柱1BC-AB,C的底面△1BC中，∠C=90°，BC=V2 D BB=2,O是8的中点，D是HAC的中点，M是CC的中点，证明：OD∥平面B,CC 例2如图，四棱锥P-ABCD BC∥AD,∠BAD=90°，AD=PD=2AB=2BC=2 的底面为直角梯形， M为PA的中点，求证： BMI∥PCD C B D M 练2在正方体1BCD-ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点.求证：EF∥平面B,DD D 例3如图，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD为折痕把△ACD折起，使点A到达点P的 位置，且2PD=60,E、F.H分别为P0、BC、PD的中点，G为CF的中点，求证： GHI 平面 DEF. H D G 练3已知正方形ABCD的边长为2，沿AC将△ACD折起 至 G+ △ACP位置（如图），G为△PAC的重心，点E在 边BC上，且CE=2EB.证明：GE∥平面PAB. 考点二线面平行的性质定理 P-ABCD 例4已知四棱锥 的底面是平行四边形，M是PC的中点.点C在DM上，过C和1P的平面与平 GH 面BDM, AP∥GH ，求证 D 练4如图，在三校柱1BC-AB,G中，侧面4ACC上底面ABC,四边形11CC为菱形，△MBC是边长 为2的等边=角形，∠AAC=60,点O为4C的中点若平面4BC与平面ABC交于直线'，求证： 1//AB A1 B1 A B P-ABCD」 ABCD 练5如图，四棱锥 中，底面 是矩形，M在PC上，且 PA∥MBD 面 求证M是PC的中点 9 考点三面面平行的判定定理 例5已知直三棱柱 ABC-A B.C1 的所有棱长都相等，且D,EF分别为 BC,BB,AA 的中点.求证： B,FC∥ 平面 平面EAD C B 练6如图所示，在正方体 BCD-A8,CD中，0为底面4BCD的中心，P是DD的中点，设P是CC, 上的点，问：当点P在什么位置时，平面D,B∥平面PA0? D B 考点四面面平行的性质定理 例6如图，平 PACL平面ABC,△MBC是以AC为斜边的等腰直角三角形， E,F,O 分别为PA,PB AC ,MC=16,PA=PC=10,设C是OC的中点，证明 FG//BOE 的中点 平面 E G 1 0 ABCD ABC⊥ACDE、F、G AB、AD、AC 练7如图，在四面体 中，平面 「平面 分别为 的中点， 1C=BC,∠1CD=90°，若P为G上任-点，证明： EP∥BCD 平面 例7如图，四边形ABCD为菱形， ∠ABC=120,MN,AC,△BMD为等边三 AMD CN 角形，且平面与平 面BNC ABM 公共点求证：平面 ACFE,AE=1,AE⊥ABCD,AB∥CD,∠BAD=90°，AB=L,AD=CD=2 练8如图，矩形 平面 1DF与棱交 平面 于点G.求证：AG∥DF. G 【4.垂直证明】 考点一线面垂直的判定定理 ABCD-ABCD AA⊥ ABCD 例1如图所示，在四棱台 中， 底面， 四边形 A D D M ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=A4=2AB=2.M为CD中点，求证：AM⊥平面AA4B,B. 练1如图1，在直角梯形ABCD中，4D1/BC,∠BAD=0,AB=BC-4D=a,E是AD的中点，O是1C与 听的交点.行△4B5沿90折起到图之中4所的位，得到四按雀4-6C 40C E,求证：CD上平面 A4) E D 图1 图2 例2如图，在三棱锥D-ABC中，AB⊥BD,BC ICD,M、N分别是线段AD、BD的中点，MC=1, AB=BD=√2.证明：直线MN⊥平面DBC. D 一B 练2如图O,在菱形46CD中，∠A=60且1B=2,E为4D的中点.将△4B5沿E折起使D= 5,得到 如图②所示的四棱锥A-BCDE.求证：BC⊥平面ABE. 2 Dy M B 图① 图② 例3如图，四边形ABCD是矩形，AB=1,AD=V2,E是AD的中点， BE与AC交于点F,GFL平面ABCD.求证：AF⊥平 1 练3如图，在长方体1BCD-ABCD中，M=D,CD=V2AD,N为CD中点，M为DC中点 ANM 求证：BD⊥平面 例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD,AP L BD. 证明：BC⊥平面PBD, D B 练4如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PM=AD,F为PD的中点.13 求证：AF⊥平面PDC. 考点二线面垂直的性质定理 例5如图，三棱柱ABC-A,B,C1中，AA,⊥BC,A,B⊥BB,.求证：AC⊥CC. P-ABCD中，PD上平面 ABCD PD=AD=AB∠BAD=6O° 练5如图所示，四棱锥 CD=BC=1 ∠BCD=120° PB⊥AC .求证： 考点三面面垂直的判定定理 例6如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点. 求证：平面MWD⊥平面PCD. D 1 4 练6由四棱 ABCD-AB,CD截去三棱锥 -BCD 后得到的几何体如图所示.四边形1BCD为正方形，O为 C与D的交点，E为AD的中点，AE士平面4BCD,设M是OD的中点，证明：平面 AEM⊥ 平面 BCD A1 不 Bi t A B 例7如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB=3 ,BC=4,PA=3V2,AE⊥PB,点F为线 段BC上一动点.证明：平面AEF⊥平面PBC. ABCD,AB∥CDAB⊥BCAB=2BC=2CD=4 练7如图1，在直角梯形 中， ,E是AB的中点.沿DE将 △ADE折起，使得AE⊥BE,如图2所示.在图2中，M是AB的中点，点N在线段BC上运动（与点B,C不重 合)，在图2中证明：平面EMN1平面ABC. 15 A D M E B B 图1 图2 考点四面面垂直的性质定理 例8如图，在四棱锥P-ABCD中，经过AB的平面与PD、PC分别交于点E与点F,且平面ABFE⊥平面 PCD,AE⊥CD,CDII平面ABFE.求证：平面PAD⊥平面 : PCD ----4 C B 练8如图，在三棱柱6CA8G中，平面4BC4平面 CCA,∠ABC=90°，AB=BC 四边形1C℃ 是菱 ∠AAC=60°，0AC BCCB⊥ B B 形， 是的中点.证明：平面 平面 〉---y--------- BOA A 16 【5.几何法求夹角和体积】 考点一异面直线夹角（线线角） 例1在正方体ABCD-AB,CD,中，P是CD的中点，则异面直线AP与BA所成角的余弦值为() 2 1 A.6 B.6 C.3 D.3 练1在长方体 BCD-ABC0中，2DD-60,∠CDC=30,则异面直线0与 B DC 所成角的余弦值是（) .② B. 3 4 4 例2如图，四面体ABCD中，BD=2V2,AC=2,M、N分别为BC、AD的中点，MN=1,则异面直线AC与 BD所成的角是() A.号 B.2 C.6 练2已知正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱） 18C-4BC中，8=21B,点是4C的中点，则异面直线 CE与8所成角的余弦值为() V15 A. B. V85 10 10 17 D.⑤ 3 17 例3如图，在四面体A-BCD中，AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°，M、N分别 为AB、CD的中点，则线段MN的长为 练3在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.若 AC=BD=2,且AC与BD所成的角为60°，则EG的长为() A.1 8.岭 C.1或6 考点二直线与平面夹角（线面角） 例4在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=V6,则PC与平面 ABCD所成角的大小为() A.30 分5 C.60 D.90 注48C-48G中，4B=1C=M,BLAC,则18与平面BC BCC B 练4直三棱柱 所成的角为() c. D. 例5如图，DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°，P,Q分别为AE,AB的中点. 求AD与平面ABE所成角的正弦值， D P 练5如图，AB是⊙O的直径，C,D是圆周上异于A、B且在直径AB同侧的点，AB=2,∠DAB=∠ABC=60° ，P是平面aC外点且4-PB-C=5求C与平面oD成的正致值 8 例6如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD=BC=1,过点P作PH⊥CD的延长线于H,PH⊥ 平面ABCD.过H点作HGDA,且HG与BA的延长线交于G点. P E 若PC=3,求PC与平面PAB所成角的正弦值. D G B 练6如图，PA垂直于00所在的平面，4C为00的直径，B=3,8C=4,PA=35,4ELPB,点F为 线段BC上一动点.当点F与C点重合，求PB与平面AEF所成角的正弦值.· 考点三平面与平面夹角（面面角） 例7如图，在长方体ABCD-ABCD中，BB,=BC,P为CD的中点，则二面角 B-PC,-C的大小为() .30 B. 45 C60 D. 90° D P B A D B 19 练7如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD,二面角B-SD-C的大小为 D C 例8已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=√5，BC=2,则以BC为棱，以平面BCD与平 面BCA为面的二面角的大小是() c. 2π B.3 D.3 BC1 练8如图，正三棱柱 BC-AB,C的所有棱长都为2，则平面ABC与平面 夹角的余弦 值为() 1 B 2W7 7 D.分 7 7 例9如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC. (I)求证：平面PAC⊥平面PBC (2)若AC=BC=PA,求二面角A-PB-C的正切值. 练9如图，平面四边形ABCD中，BC⊥CD, 2 0 AB=AD=BC=3 BD=23 3,以BD为折痕将△ABD折起， 使点A到达点的位 置，且PC-6 (I)证明：平面BCD⊥平面PBC; (2)求二面角P-BD-C的平面角的正弦值 考点四点到平面的距离 例10如图，正三棱柱ABC-AB,C中，D是BC的中点，AB=a. B AD⊥BC1 (1)求证：直线 ACC (2)求点D到平面 的距离. 练10如图，正三棱柱 ABC-ABC AB D 的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点.求点C到平面A 的距 离 B D 例11如图所示，三棱柱ABC-AB,C1中，侧面BB,CC1是边长为2的正方形，ACC1A是菱形，∠CAA=60° 21 且平面BB,CC1⊥垂直平面ACCA,,M为AC中点. ()）求证：平面MBCL平面4B,C: 2)求点C到平面MB,C 的距离 练11平行四边形1BCD 中（图1）∠A=60,B=2AD,将A1BD以BD为折痕折起，使得平面 A'BD⊥ BCD 2 平面 ,如图 A D A B 图1 图2 A'BC⊥ A'BD (1)证明：平面 平面 C、MDB 2)已知1D=1,点M为线殿1C的中点，求点C到平面 A'C 的距离。 【6.空间向量运算】 考点一空间向量的线性计算 例1如图，在三棱锥O-ABC中，D是BC的中点，若OA=ā，OB=b,OC=c,则AD等于() A.-a+b+c B.-a+b-c c.a++ 2 练1如图，在平行六面体MBCD-ABCD中，M=a,B=b,D=c.点P在AC上，且4P:PC=2:3 则 F=() A 2 33 32 2 -ā+-b+二G A.5a+55 a+二b+二G B.555 2a+26+2c 3a-26-2。 D C.-5 55 D.a-56-5 例2已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，且BP=mOA+OB+OC,则 m的值为() A.-1 B.2 C.-2 D.-3 MA--104+14B+0C 练2已知点M和不共线三点A，B,C四点共面且对于空间任一点O,都有 4 2 则 九= 例3空间向量a=(11,1),b=(1,0,山，c=(1,2,m),若三个向量a,万，c共面，则a可用6和表示为 练3已知PA=(21,-3到，PB=(-12,3),PC=(76,,若P,A,B,c四点共面，则=() A.9 B.-9 C.-3 D.3 例4已知向量ā，b,c是空间的一组单位正交基底，向量a+b,ā-b,c是空间的另一组基底，若向量p在 基底a,b,c下的坐标为(2,1,3)，p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则x-y= 23 练4已知点A在基底 a,b,c 下的坐标为8,6,4，其中ā=i+j，6=j+k,=k+i,则点 A在基底 , 下的坐标是() 4. 12,14,10 10,12,14 C. 14,12,10 D. 4,3,2 B 例5设a,6是两个空间向量，若1a1,万=(0,2,1)，a=b1eR),则元=() 4. 5 5 D. 3 练5已知a=(1,-1,2,五=(-1m,”川，若a=6,则实数m,n的值分别是() A.1,-2 B.-1,-2 C.1,2 D.-1,2 例6已知向量a=(1,1,0),万=(-1,0,2)，且c=(4,6,4)与ka+b平行，则k的值是() 2 A. B.5 C.-3 D.3 练6已知a=(1,-l,2,6=(-1,n,若a=6,则实数m,n的值分别是() A.1,-2 B.-1,-2 C.1,2 D.-1,2 练7若4m+1,n-13),B(2m-2m,C(m+3,n-3,9列三点共线，则m+n的值为() A.0 B.-1 C.1 D.-2 考点二空间向量的数量积 例7如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E,F,G分别是AB,AD,CD的中 点，设AB=a,AC=b,AD=c,a,b,c为空间向量的一组基底，计算： 2 EF.BA (1) lEG] (2) 练8已知四面体P-ABC,∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°，MB1,1AC2,|MP3,则 IAB+AP+AC 例8（运用基底求模长）二面角Q-I-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别在半平面，B内，AC1I, BD⊥I,且AB=AC=2,BD=4,则CD的长 B -B --D 练9如图，在大小为60的二面角A-EF-D中，四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形，则B,D两点间的 距离是 A E D 例9已知空间向量4=(1,01，万=(2，-1,2)，则向量乃在向量Q上的投影狗量是 练10已知空间向量0=(3,0，.4)，万=(-3,21，则向量乃在向量Q上的投影向量是 25 例10已知向量a=(31,2),万=(-1,3，t),且a与方夹角的余弦值为7，则，的取值可以是（） A.2 B.-2 C.4 D.±2 练1已知41,0.0)，B0,-1山，O1+A05与00为坐标原点)的夹角为30°，则的值为() 6 6 B.tv6 6 c *9 例11长方体ABCD-ABCD中，AB=2,AD=AA=1,E是CD的中点，F是AB的中点.则异面直 线BE与DF所成角的余弦值为() 5 1 1 1 A.3 B.3 C.3 D.9 练12在长方体1BCD-ABCD中，MB=AM=2,AD=1,E为CC的中点，则异面直线BD与AE所 成角的余弦值为() V6 V6 √5 3V18 A.18 B.18 C.18 D.18 例12在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱长为2，点M为棱DD'上一点，则AM·BM的最小值为() 只1 92 93 D只 练13已知4L2,3)、B(2,12）、P12),点P在直线OP上运动，当1-Q5取最小值时，点P的坐标是( 111 444、 448 c.33'3 D.3'3'3 例13在长方体BCD-ABCD中，AB=AD=2,MA=4,点M在 2 6 AG上MC=24M,N在DC上且为DC中点. 0)求M、N两点间的距离： 2)判断直线MN与直线BD是否垂直，并说明理由。 练14如图，直三楼柱1BC-4B,C底面A1BC中，CA=CB=1,∠BC1=90°，楼4=2，M,N分 别是48，AA的中点 (I)求BW 的长度； (2)求证： AB⊥C,M 例14如图，在平行六面体ABCD-ABCD1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中不正确的是（) A.4C=6V6 D B.BDL平面ACC A C.向量BC与4从的夹角是60 D D.直线BD1与AC所成角的余弦值为 VG 6 练15（多选）如图，在三棱柱18C-48G中，M,N分别是 BBC上的点，且 BM=2AM CN=2BN AB=aAC=万AA=E∠BAC=90°∠BAA=∠CAA=60° 设 ，若 C N B AB=AC=AA=1 则下列说法中正确的是（) 3 3 B.Mi-5 C.AB⊥BC D.cos 【7空间向量应用】 考点一距离问题 例1已知直线1的方向向量为a=(-1,0,1),点A=(1,2,-1),在1上，则点P=(2,-1,2)到1的距离为 练1已知空间中的三个点1L,00)B2,l-)C(0,-1,2),点C到直线4B的距离为 例2在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、 PD的中点，PM⊥平面ABCD,ABCD,AD⊥AB,PD=CD=2,AB=1.求B到平面MNC 的距离 练2如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC 的中点，则直线PA到平面BDE的距离为 D 2 8 练3在棱长为的正方体 BCD-ABCD,中，则平面1，C与平面4CD之间的距离为） 5 √5 2W3 3 A.6 B.3 C.3 D.2 练4如图，在棱长为2的正方体ABCDA BCD,中，E为BC的中点，点P在线段DE上，点P到直线CC的距离 的最小值为() A. 5 D 5 A 5 B. C.10 5 D.10 P 考点二夹角问题 例3正方体ABCD-AB,CD,点E,F分别是BB,CD,的中点，则异面直线EF与DA所成角的余弦值为 练5如图，直三棱柱16C-48C,4C1BC,且C4=CC=V5CB,则直线8C与直线4 1所成角的余弦值为 () B A.5 c.25 D.5 5 8. 3 5 15 A 例4如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥面ABC,AB=BC=2BB=2, ∠ABC=90°，D为BC的中点. AB∥TADC (1)空间向量建系求证： ”平面 2若F为1C中点，求4厂与平面 ADC 所成角的正弦值. 29 练6在三棱锥P-ABC中，PA上平面MC,∠B1C=90°，D,E, 分别是楼AB BC CP】 的中 AB=AC=2 PA=4 BC⊥平面PAE (1)空间向量建系证明： (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值 B 2 练7（线面平行的性质定理）如国，是O0的直径，动点P在©0， ⊙O ：所在平面上的射影恰是上的动点 C,PC=AB=2,D是PA的中点，PO与BD交于点E,F是PC上的个动点 PC (I)若CO//平面BEF,求FC的值； (2②)若F为P的中点 PC BC=AC,求直线 D 与平面 BEF 所成角的余弦值， E 3 0 例5如图所示，在梯形ABCD中，AB‖CD,∠BCD=120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD, AD=CD=BC=CF=1 (1)空间向量建系求证：EF⊥平面BCF; 2点M在线段EG上运动，且M-化，求平面M4B与平面CB所成说二 E 面角的余弦值 练8如图，在三棱锥A-BCD中， AB=AC= 2,8C=CD=2,0=厘 2,∠BCD=90° (1)空间向量建系证明：平面ABC⊥平面BCD; (2)求二面角D-AB-C的大小 练9如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD,∠DAB=45°，AD⊥BD, AB=2 (1)建立空间坐标系，写出平面PCD的一个法向量的坐标； (2)若PB与平面APD所成角为45°，求二面角B-PC-D的大小 D 31 例6如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面， DCIEB·DC=EB'AB=4an∠EB 4 ACD ()）证明：平面4DE上平面 C-ADE D-AE-B (2)当三棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值， .⊙O 练10如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段1B为圆锥底面◇0的直径，在底面内以 段10为直径作⊙M, ,⊙M ,点P为上异于点A,0的动点 S SAP⊥ SOP (1)证明：平面 平面 S-APO A-SP-B (2)当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值！ M B 考点三动点问题 例7如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为AD中点. D-BD-E (1)求二面角 的大小： 3 2)探究线段8C上是否存在点F,使得DF∥平面05？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由 练11如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABII CD,AB⊥BC,△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面 ABE,AB=2CD=2BC=2,P为CE中点. C (1)求平面ADE与平面BCE所成的二面角的余弦值； (2)在△ABE内是否存在一点Q,使PQ⊥平面CDE?如果存在，求PQ的长；如果不存在， D 说明理由 B 例8如图，在四棱维p-ABCD中，底面18CD是边长为，的菱形，∠APB-号，∠ABC 3′PB=2V5 ,PC=4,点M是AB的中点 CM⊥PAB (1)求证： 平面 √6 CN (2)线段CD上是否存在一点N,使得直线PN与平面PMD所成的角的正弦值为8，若存在，求出的ND 值，若不存在，请说明理由. D M--==E- N 练12如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=BC,AD⊥AC, B 33 将△ACD沿AC翻折，使点D到达点S的位置，且平面SAC⊥平面ABCD, (1)证明：BS⊥BC; 若F为的中点，直线s与平面4R所成角的正弦值为4，求二面角S二BC一D的大 例9如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD,AD//BC,∠ABC=90°，AD=1, PA=AB=BC=2,M是棱PB中点. 们已知点F在棱BC上，且平面1E/平面PCD ,试确定点的位置并说明理由； 2)设点是线段CD上的动点，当点V在何处时，直线 N PAB 与平面 所成角最大？并求最大角的正弦 值 B D 练13如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,平面u经过棱PC的中点E,与棱PB,AC 分别交于点F,D,且BC∥平面a,PA/∥平面Q. (1)证明：AB⊥平面0； (2)若AB=BC=PA=2,点M是直线EF上的动点，求平面MAC与平面PBC所成锐二 面角的余弦值的最大值， D 4