解三角形 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

解三角形 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 规律与方法 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．(2026·贵州六盘水·模拟)已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 2．(2026·四川雅安·模拟)在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(2026·云南·模拟)在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 4．(2026·海南海口·模拟)在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 5．(2026·湖北十堰·模拟)在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 6．(2026·湖北孝感·模拟)在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 多解问题】 规律与方法 三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [注意]　上表中A为锐角时，a<bsin A，无解． A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解． 1．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用正（余）弦定理判断三角形形状】 规律与方法 判定三角形形状的两种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 2.（2026·江西上饶·二模）在中，，，分别为，，的对边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三个选项都有可能 3.（2026高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4.（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 5.（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 6.（多选 2022高三·全国·专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 7.已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 三角形的面积公式及应用】 规律与方法 1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。 1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若，求的面积． 2.（教材必修二P54 T22）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若a=2，的面积为，求的周长. 3.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 4．（2023·浙江·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：； （2）若△ABC的面积为，求B． 5．在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【题型5 解三角形的最值与范围】 规律与方法 解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 1.（2020•新课标Ⅱ）△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 2．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且的面积. （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 3.（2026·四川成都·二模）已知分别是锐角的角的对边，． (1)求证：； (2)求的取值范围． 4.（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 5.（2026·四川广安·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且，记． (1)若，求的最小值； (2)若，求的取值范围. 6．（2023·湖北黄冈·模拟预测）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角. （1）若，求A的大小； （2）求的最小值. 7．（2023·河北·模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 【题型6 三角形的中线、角平分线、垂线】 规律与方法 1、解三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 2、解三角形中线的应用 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 3、解三角形垂线的应用 （1）分别为边上的高，则 （2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 1．（2024·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. （1）求A； （2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 2.（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数． （1）求在上的值域； （2）已知锐角中，，，且，求边上的中线的长． 4.（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 5．（2023·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． （1）求； （2）若，边上的高线长，求． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且． （1）求角的取值范围； （2）若，求中边上的高的取值范围． 【题型7 多边形的解三角形问题】 规律与方法 1、把多提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解； 2、寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 2．（2023·广东梅州·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，设． （1）当时，求BD的长； （2）求BD的最大值． 3．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面凸四边形中，. （1）求； （2）若，，求. 4.（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 5.（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 6.（2022·河南·模拟预测）2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，. (1)求步行道BE的长度； (2)若沿海的区域为绿化带，，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积. 【题型8 解三角形的实际应用】 规律与方法 实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义。 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用． 1．（23-24高三上·贵州安顺·期末）西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 4．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 . 5．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米. 6.（多选 2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 课后作业： 1.在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝ 且b<c，则b＝(　　) A．3　　　　　　　　 　 B．2 C．2 D． 3.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　) A． － B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（    ） A．65 B．17 C． D． 6.（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 9.（多选 2026·新疆·二模）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 10（多选 2026·河北邯郸·二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 11.（多选 2026·江苏南京·一模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当最小时， D．当时， 12.（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 13.（2025·山东聊城·模拟预测）在中，点分别在边上，，且，则 . 14.（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 15.（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 16．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为 （1）求角； （2）已知边的中点为，且，求面积的最大值. 18.（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 19.（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 规律与方法 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．(2026·贵州六盘水·模拟)已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由面积公式可知，即，解得，由余弦定理可知，.故选：C 2．(2026·四川雅安·模拟)在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由正弦定理得，又，所以，即，因为为钝角三角形，则，所以，由正弦定理得，又，则，又因为，由余弦定理得.故选：A. 3．(2026·云南·模拟)在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理，得，即．又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意．故选：D． 4．(2026·海南海口·模拟)在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设外接圆的半径，外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理,，，，即，，，即， ，，，则，，.故选：B 5．(2026·湖北十堰·模拟)在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【详解】因为，，所以.由正弦定理可知，，所以，，又，所以，所以.由余弦定理知，，所以，即.又，所以，所以.故选：D. 6．(2026·湖北孝感·模拟)在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， ，由正弦定理可知， 即， 因为，故，所以， 所以.故选：D. 【题型2 多解问题】 规律与方法 三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [注意]　上表中A为锐角时，a<bsin A，无解． A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解． 1．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 2.（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，由有两解，得， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 4.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 【题型3 利用正（余）弦定理判断三角形形状】 规律与方法 判定三角形形状的两种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】C 【解析】由于, 故为钝角，进而三角形为钝角三角形故选：C 2.（2026·江西上饶·二模）在中，，，分别为，，的对边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三个选项都有可能 【答案】D 【详解】在中，，由余弦定理得， 整理得，则，因此， 显然之一可以是钝角，也可以是直角，这两个角还可以都是锐角. 3.（2026高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 4.（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 5.（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由已知条件、正弦定理和余弦定理，二倍角公式可得，再结合正弦函数的性质即可判断. 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 6.（多选 2022高三·全国·专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】ACD 【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，因为，所以， 所以， 因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确； 对于B：由及正弦定理，可得， 即，所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错； 对于C：由及正弦定理化边为角， 可知，即， 因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确； 对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确； 故选：ACD. 7.已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理，得，∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴.综上，实数k的取值范围是. 故选：C 【题型4 三角形的面积公式及应用】 规律与方法 1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。 1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，，． 所以，即， 所以， 于是．故，所以 （2）由（1）可知， 于是． 故据正弦定理，，得，因此. 故的面积. 2.（教材必修二P54 T22）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若a=2，的面积为，求的周长. 【解析】（1）由及正弦定理得 . 因为， 所以. 由于， 所以. 又，故. （2）由题得的面积，故①. 而，且，故②， 由①②得, 故的周长为6. 3.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 4．（2023·浙江·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：； （2）若△ABC的面积为，求B． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由，△ABC的内角A，B，C， 则， ，， ， ， ， . （2）由题意，结合正弦边角关系有，且， ， ， 而，所以. 5．在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求； （2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积． 法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解. 【详解】（1）由正弦定理知． ∴，∵，∴， ∴，，∴． （2）法一：由（1）知，，∴． ∴，∴，∴． 法二：由（1）知，，∴． 由正弦定理可得． ∴． 【题型5 解三角形的最值与范围】 规律与方法 解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 1.（2020•新课标Ⅱ）△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 【解答】解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC， 由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，即为b2+c2﹣a2＝﹣bc， 由余弦定理可得cosA，由0＜A＜π，可得A； （2）由题意可得a＝3，又B+C，可设Bd，Cd，d， 由正弦定理可得2， 可得b＝2sin（d），c＝2sin（d）， 则△ABC周长为a+b+c＝3+2[sin（d）+sin（d）]＝3+2（cosdsindcosdsind）＝3+2cosd， 当d＝0，即B＝C时，△ABC的周长取得最大值3+2． 另解：a＝3，A，又a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2（b+c）2， 由b+c＞3，则b+c≤2（当且仅当b＝c时，“＝”成立）， 则△ABC周长的最大值为3+2． 2．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且的面积. （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵，∴.∵，∴，又∵，∴. （2）∵， ∴ .∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范围为. 3.（2026·四川成都·二模）已知分别是锐角的角的对边，． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结合余弦函数在上单调递减的性质，证明； （2）利用正弦定理将转化为角的正弦比值，再结合（1）中的结论，将表达式统一用角表示，根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角的不等式组，确定角的取值范围，进而求出的取值范围. 【详解】（1）对已知等式， 由正弦定理角化边得：， 整理得：， 再由余弦定理：， 对比得， 因为是锐角三角形，，则， 因为余弦函数在单调递减，所以，得证； （2）由，内角和得， 因为是锐角三角形， 所以：， 由正弦定理： ， 令，则， 因为函数在时单调递增， 而，，所以， 故的取值范围为. 4.（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【解题思路】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【解答过程】（1），由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； （2）锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 5.（2026·四川广安·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且，记． (1)若，求的最小值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）首先化简的表达式，根据角的关系转化为角的三角函数，确定角的范围，进而求出的最小值； （2）首先将的表达式转化为边的比值，根据，确定，求出，然后根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围. 【详解】（1） 因为，则， 又因为，所以， 所以， 所以， 当取最大值时，取得最小值， 因为，所以， 故当时，取得最小值． （2）由， 因为，所以， 因为，则， 即，； 又， 化简得， 两边同除以，得， 即， 则，解得； 所以的取值范围为. 6．（2023·湖北黄冈·模拟预测）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角. （1）若，求A的大小； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 由正弦定理可得， 所以 ， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. （2）由（1）可知：由 ，可得，， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．（2023·河北·模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 则， 整理得， 注意到，则，可得，即， 所以. （2）因为，则， 且为锐角三角形，则，解得， 又因为， 当时，则，则， 所以； 当时，则，则， 所以； 当时，则，则 所以； 综上所述：的取值范围. 【题型6 三角形的中线、角平分线、垂线】 规律与方法 1、解三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 2、解三角形中线的应用 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 3、解三角形垂线的应用 （1）分别为边上的高，则 （2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 1．（2024·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. （1）求A； （2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故， 又，所以，则， 因为，所以. （2）因为， 所以， 又平分，所以， 所以， 则，即 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为. 2.（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数． （1）求在上的值域； （2）已知锐角中，，，且，求边上的中线的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） ， 因为，所以，所以， 所以在上的值域为. （2）记的角A，B，C所对的边为a，b，c， 因为为锐角三角形，所以，， 又，所以，即. 因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以. 4.（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 5．（2023·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． （1）求； （2）若，边上的高线长，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由已知得 ，； （2），，， ，，， ， ，， 又，， ， ，， . 6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且． （1）求角的取值范围； （2）若，求中边上的高的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为， 所以， 所以，，又， 所以，整理可得， 所以或(舍去)， 所以，又为锐角三角形， 所以，所以； （2）由题可知，即， 又，所以， 所以， 由，可得， 所以，所以， 即中边上的高的取值范围是. 【题型7 多边形的解三角形问题】 规律与方法 1、把多提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解； 2、寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 2．（2023·广东梅州·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，设． （1）当时，求BD的长； （2）求BD的最大值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】（1）在中，． 在中，因为，由余弦定理得， ， 因此． （2）在中，． 在中，因为， 由余弦定理得， ， 所以． 所以当，即时，BD最长，的最大值为． 3．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面凸四边形中，. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1）；（2）4 【解析】（1）由已知得：， 故， 所以． 因为， 故，由三角形内角范围知； （2）由，，故为边长为4的等边三角形， 在中，，由正弦定理得， 故， 由于， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即，得. 4.（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. 【详解】（1）因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. （2）在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. （3）设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 5.（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【详解】（1）设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. （2）在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 6.（2022·河南·模拟预测）2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，. (1)求步行道BE的长度； (2)若沿海的区域为绿化带，，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积. 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、距离测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】(1)由正弦定理及勾股定理可求解; (2)由余弦定理、基本不等式及三角形面积公式可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理知， ∴，解得. ∵，，∴， ∴. ∵为等腰三角形， ∴，，即步行道的长度为. （2）在中，由余弦定理知， ∴， ∴，即， 当且仅当时，等号成立，此时，即的最大值为. ∵的周长为， ∴绿化带的周长最大为， 此时绿化带的面积. 【题型8 解三角形的实际应用】 规律与方法 实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义。 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用． 1．（23-24高三上·贵州安顺·期末）西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 故A正确.故选：A. 2.（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【知识点】高度测量问题 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 【答案】A 【解析】如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处， 点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上，则即观赏时的视角. 依题意，不妨设，则， 在中，由余弦定理， ， 因，则，当且仅当时，即时等号成立， 由可得， 则，则， 因函数在上单调递减，故得， 即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为.故选：A. 4．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 . 【答案】2 【解析】设，则， 设，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以拦截点距离海岸线的最远距离为2. 5．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米. 【答案】 【解析】如图，在中，，，， 由正弦定理，得到，所以， 6.（多选 2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】四个选项可分两大类AD与BC，对A先解两个直角三角形、得，进而在中用余弦定理可得；对B选项，通过举反例判断可得， C选项与B同理判断可得，D选项与A选判断项相同. 【详解】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中：①； 在中：②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 课后作业： 1.在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】，由正弦定理可得.故选：D. 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝ 且b<c，则b＝(　　) A．3　　　　　　　　 　 B．2 C．2 D． 解析：选C．由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b<c＝2，所以b＝2.选C． 3.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　) A． － B． C． D． 解析：选C．由sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝＝，故选C． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 5.（2025·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（    ） A．65 B．17 C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式求得，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为，又，所以， 由余弦定理得，，所 以． 故选：C． 6.（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 7.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】利用两次余弦定理即可求解. 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则，故选：B 8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：选B．在△ABC中，因为3acos A＝bcos C＋ccos B，所以3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝. 因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为.故选B． 9.（多选 2026·新疆·二模）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BCD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可. 【详解】A，由余弦定理可得为锐角， 但角度不确定，可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B，由余弦定理可得到为钝角，故一定是钝角三角形，B正确； C，因为，由正弦定理可得，即， 又均为的内角，所以，一定为等边三角形，C正确； D，因为，由正弦定理可得，即， 所以，又均为的内角，所以，即一定为等腰三角形，D正确； 故选：BCD 10（多选 2026·河北邯郸·二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】A利用辅助角公式化简，求出三角函数值域；B根据判断；C利用余弦定理得出，根据取等条件即可求出；D设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，利用求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，则， 故，故A错误； 因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确； 由余弦定理得，等号成立时， 因为，故为等边三角形，故C正确； 当时，由正弦定理可知，的外接圆半径， 设外接圆圆心为，则， 则， 等号成立时三点共线且在直线同侧， 故的最大值为，故D正确. 11.（多选 2026·江苏南京·一模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当最小时， D．当时， 【答案】ABC 【知识点】利用导数研究方程的根、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据三角形面积公式即可判断选项A；根据正弦定理及选项A可得到，结合基本不等式即可判断选项B；根据三角形面积公式及正弦定理得到，设，则，求出取最大值，得到此时取最小值，即取最小值，进一步化简即可判断选项C；结合诱导公式、二倍角公式、导数及已知条件，即可判断选项D. 【详解】选项A：由得，， 则，所以，故A正确. 选项B：由正弦定理，得，所以， 即，整理得. 又，当且仅当时，等号成立， 所以（，时取等号），故B正确. 选项C：由正弦定理可知，，， ， 所以. 又，则，设，则，. 则 . 当，即时，取最大值，此时取最小值，即取最小值. 代入中得，，即，也即. 因此，当最小时，，故C正确. 选项D：当时，，又，所以， 则. 若，则，即， 所以，此时，， 若，即，由结合C选项的推导可得， 设， 则, 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 又，所以在上有两个零点， 所以在上有两个解， 所以不一定成立，故D错误. 12.（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【知识点】高度测量问题 【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 13.（2025·山东聊城·模拟预测）在中，点分别在边上，，且，则 . 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式以及等面积和余弦定理，解方程组可得结果. 【详解】记，如下图所示： 则；因，， 则；故①， 在中，由余弦定理，，可得②， 将①代入②得，即，解得或（舍）； 即. 故答案为：2. 14.（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 15.（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解； （2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 16．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在中，，，则， ， 在中，由正弦定理得， . （2）在和中，由余弦定理得 ， ， 得，又，得， 则，， 四边形ABCD的面积 . 17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为 （1）求角； （2）已知边的中点为，且，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， ，即，所以， 又，所以，所以，即. （2）因为，所以， 由余弦定理，解得， 又，所以， 所以 当且仅当时取等号，所以， 因为，所以面积的最大值为. 18.（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 【答案】(1)最小正周期为，增区间为 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间； （2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长． 【详解】（1）由 ， 则的最小正周期， 令时，解得， 故函数的增区间为； （2）因为，则， 由于，则，所以，解得， 又，则， 又由于，得， ，解得． 19.（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $