3 (三) 三角函数与解三角形、平面向量（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形、平面向量核心考点，按向量运算、三角函数性质、解三角形应用的逻辑层次整合知识，通过小题限时练和大题规范练，结合考点梳理、方法指导（如向量垂直的数量积应用、三角函数恒等变换技巧）、真题训练（2024新课标Ⅰ卷及2025各地模拟题），帮助学生构建知识网络，突破难点。 讲义以核心素养为导向，创新采用“一题多解”（如三角函数求值中法一拆角公式、法二诱导公式对比）和“图像分析”（如三角函数图像平移与单调性判断），培养学生数学思维与数学眼光。设置基础巩固与综合应用分层练习，配合真题解析与即时反馈，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

(三)　三角函数与解三角形、平面向量　▶ 对应学生用书P114 [小题限时练3] (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分) 一、单选题 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：选D.因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以＝0，解得x＝2. 2.(2025·广东广州三模)已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值为(　　 ) A. B.－ C. D.－ 解析：选C.法一：由cos α＝，α是锐角，得sin α＝＝. 因为α，β是锐角，所以a＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(a＋β)＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 法二：由已知可得cos(α＋β)＝－cos α，所以α＋α＋β＝π， 所以cos β＝cos(π－2α)＝1－2cos2α＝1－2×＝. 3.(2025·北京丰台二模)已知向量a，b满足＝1，＝2，且a2＝a·b，则a与b的夹角为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.因为a2＝a·b，＝1，＝2，则＝·cos〈a，b〉， 所以1＝2cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝， 因为〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝. 4.(2025·甘肃庆阳三模)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，若＝a，＝b，则＝(　　 ) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a－b 解析：选B.因为E为AB的中点，所以＝＋＝＋＝a＋b. 5.(2025·山西太原三模)在△ABC中，A＝45°，BC＝，AB＝AC，则△ABC的面积是(　　 ) A. B. C.3 D.12 解析：选C.由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 得AC2＋AC2－2×AC2cos＝10，解得AC＝2，则AB＝3. 所以△ABC的面积为S△ABC＝AB·AC·sin A＝×2×3×＝3. 6.如图，为测量某公园内一山的高MN，选择公园内某点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M的仰角∠MAN＝45°，C点的仰角∠CAB＝30°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝50 m，则山高MN＝(　　 ) A.50 m B.50 m C.75 m D.75 m 解析：选B.在Rt△ABC中，由sin∠CAB＝可得AC＝100 m， 在△MAC中，由正弦定理得＝，即MA＝＝50 m， 在Rt△MAN中，sin∠MAN＝，则MN＝50sin 45°＝50 m. 7.(2025·广东茂名二模)若tan(α＋)＋＝3，则sin 4α＝(　　 ) A. B.－ C.－ D.－ 解析：选C.因为tan＋＝3， 所以＋＝3， 所以＝3， 所以sincos＝，所以sin(2α＋)＝， 所以sin 4α＝－cos 2＝－1＋2sin 2(2α＋)＝－1＋＝－. 8.(2025·黑龙江牡丹江模拟)函数f(x)＝2sin(0＜ω＜1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法错误的是(　　 ) A.ω＝ B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D.函数y＝g在上单调递减 解析：选C.对于A选项，由图可知，函数f(x)的图象过点， 所以f＝2sin＝2，所以sin(＋)＝1， 所以＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋6k，k∈Z， 因为0＜ω＜1，所以ω＝，故A正确； 对于B选项，f(x)＝2sin，令x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋kπ，k∈Z， 所以f的图象关于(－＋kπ，0)(k∈Z)对称， 当k＝0时，函数f关于对称，故B正确； 对于C选项，将f向左平移个单位长度，得到g＝2sin＝2sin(x＋)＝2cos x， 则g的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故C错误； 对于D选项，函数y＝g＝2cos(2x＋)， 当x∈时，2x＋∈［，］⊆[0，π]， 所以函数y＝g在上单调递减，故D正确. 二、多选题 9.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知f＝sin，则下列说法正确的是(　　 ) A.f在区间上单调递增 B.将函数f的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，则曲线C关于原点对称 C.若f是偶函数，则φ＝＋(k∈Z) D.若f在区间上恰有3个零点，则ω∈ 解析：选ACD.对于A，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋，即f(x)的单调递增区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z)，故A正确. 对于B，将函数f(x)＝sin(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得曲线C的解析式为g＝sin［2(x＋)－］＝sin＝sin. 因为g＝sin的定义域为R，g＝sin＝≠0，则g不是奇函数，故曲线C不关于原点对称，故B错误. 对于C，若f＝sin＝sin(2x＋2φ－)是偶函数，则2φ－＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝＋(k∈Z)，故C正确. 对于D，由f＝sin＝0，可得2ωx－＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z). 因为x∈[0，π]，当k＝0时，x1＝＝；当k＝1时，x2＝＝；当k＝2时，x3＝＝；当k＝3时，x4＝＝. 因为f(ωx)(ω＞0)在区间[0，π]上恰有3个零点，所以解得≤ω＜，所以ω∈［，)，故D正确. 10.(2024·广东佛山模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，下列选项正确的是(　　 ) A.若A＝，则S＝3 B.S的最大值为3 C.AM＝3 D.角A的最小值为 解析：选ABC.若A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得12＝24－bc，所以bc＝12，则三角形面积S＝bcsin A＝×12×＝3，A正确； 由基本不等式可得24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，由余弦定理可得cos A＝＝＝，则S＝bcsin A＝bc＝≤＝3，B正确； 因为BC边上的中点为M，所以＝＋)，而a2＝b2＋c2－2bccos A，即12＝24－2bccos A，则bccos A＝6，所以｜｜＝＝ ＝＝3，C正确； 因为24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，所以由余弦定理得cos A＝＝＝≥，又0＜A＜π，且函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以0＜A≤，D错误. 11.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形组成)，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部(包括边界)的动点，则(　　 ) A.＝－ B.·＝ C.若P为EF的中点，则在上的投影向量为－ D.｜＋｜的最大值为 解析：选AD.设正六边形ABCDEF的中点为O，因为＝－＝－，故A正确； 由题意可知CE⊥EF，若P为EF的中点，所以在上的投影向量为－，故C错误； 如图，建立平面直角坐标系， 则A(－，－)，B(，－)，C(1，0)，D(，)，E(－，)，F(－1，0)， 可得＝(，)，＝(0，)，所以·＝，故B错误； 设P(x，y)，可知－1≤x≤，0≤y≤，则＝(，)，＝(x＋1，y)， 可得＋＝(x＋，y＋)，则｜＋｜＝， 可知当x＝，y＝，即点P与点D重合时，｜＋｜的最大值为，故D正确. 三、填空题 12.(2025·江西南昌三模)在边长为1的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，则·＝　　　　. 解析：根据题意画图为： 因为＝＋＝＋＝＋＋＝＋， 所以＝＋＝＋＋＝－， 所以·＝·(－)＝－＝. 答案： 13.(2025·广东广州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝2，b＋c＝2acos B＋2acos C，则△ABC的面积为　　　　. 解析：由＝2，根据余弦定理，则＝2，解得bc＝1， 同理，由b＋c＝2acos B＋2acos C，则b＋c＝2a·＋2a·， 通分可得b＋c＝， 由bc＝1，则b＋c＝(b＋c)[(a2－(b－c)2]， 化简可得b2＋c2－a2＝1，易知cos A＝，则sin A＝， 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝. 答案： 14.(2025·北京二模)设函数f＝2sin(2x＋)，则使得函数f在区间上存在最大值的一个φ值为　　　　. 解析：因为f＝2sin，则f(x＋φ)＝2sin， 令2x＋2φ＋＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝－－φ＋kπ，k∈Z， 因为f在区间上存在最大值， 所以0＜－－φ＋kπ＜，k∈Z， 则－＋kπ＜φ＜－＋kπ，k∈Z， 又＜，即－＜φ＜，所以－＜φ＜－或＜φ＜， 所以符合题意的一个φ值为－(答案不唯一). 答案：－(答案不唯一) [大题规范练2] (每题10分) 1.(2025·湖南长沙一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－bcos C＝csin B，a＝2，c＝6，D为边AC上的靠近点C的三等分点. (1)求角B； (2)求. 解：(1)由正弦定理有sin A－sin Bcos C＝sin Bsin C， 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 代入化简，得sin Ccos B＝sin Bsin C， 因为C∈(0，π)，故sin C≠0，所以tan B＝，B∈(0，π)， 故B＝. (2)由题可知＝＋， 故｜｜2＝＝(｜｜2＋4·＋4｜｜2)＝×(36＋4×6×2×＋4×4)＝， 故＝. 2.(2025·陕西西安模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＝. (1)求证：B＝2C； (2)若△ABC为锐角三角形且c＝1，求a的取值范围. 解：(1)证明：因为cos B＝，所以cos B＝， 所以2sin Ccos B＝sin A－sin C＝sin－sin C＝sin Bcos C＋sin Ccos B－sin C， 即sin C＝sin Bcos C－sin Ccos B＝sin， 因为B，C∈，所以B－C∈， 又因为sin C＝sin＞0，所以C，B－C∈， 所以C＝B－C或C＋B－C＝B＝π(舍去)， 所以只能B＝2C. (2)由题意＝＝，所以a＝＝＝＝4cos2C－1， 因为△ABC为锐角三角形，所以解得＜C＜， 从而cos C的取值范围是(，)， 所以a＝4cos2C－1的取值范围是. 3.(2025·广东中山模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxcos ωx－(ω＞0). (1)当ω＝1时，求函数f(x)在上的值域； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝bc，若f(x)的最小正周期是2π，f＝0，a＝，AD＝，求△ABC的面积. 解：(1)f(x)＝sin2ωx＋sin ωxcos ωx－＝(1－cos 2ωx)＋sin 2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin， 当ω＝1时，f(x)＝sin，又x∈(0，)，故2x－∈， 又y＝sin x在上单调递增，在单调递减，且sin＝－，sin＝1，sin＝， 故函数f(x)在上的值域为. (2)由(1)知，f(x)＝sin，由其最小正周期为2π， 可得＝2π，又ω＞0，解得ω＝，则f(x)＝sin； 由f＝0，即sin＝0， 又A∈，可得－∈，则－＝0，即A＝， 又b＋c＝bc， 在△ABC中由余弦定理可得cos A＝， 即＝＝， 将b＋c＝bc代入上式可得：bc＝－2bc－3，即＝0， 解得bc＝2，或bc＝－(舍去)； 故△ABC的面积为sin A·bc＝××2＝. 4.(2025·北京东城二模)已知函数f(x)＝4sincos ωx＋b. (1)若f(x)的最小值为，求b的值； (2)若f＝，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数f(x)存在且唯一，求f(x)在区间［0，］上的取值范围. 条件①：f(x)的图象关于x＝－和x＝对称； 条件②：f(x)在区间上单调，且f(x)的图象关于点对称； 条件③：f(x)的最小正周期T≥π，且f＝－. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)f(x)＝4sincos ωx＋b＝4(sin ωx＋cos ωx)cos ωx＋b＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＋b＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b＝2sin＋＋b， 因为f(x)的最小值为，所以－2＋＋b＝，所以b＝2. (2)因为f＝，所以2sin＋＋b＝，解得b＝－， 所以f(x)＝2sin， 若选择条件①：函数f(x)＝2sin(2ωx＋)的图象的对称轴为2ωx＋＝＋nπ， 所以2ω×＋＝＋n1π， 所以ω＝－，n1∈Z， 因为2ω×＋＝＋n2π，所以ω＝1＋6n2，n2∈Z， 所以－＝1＋6n2，即n1＝－1－5n2， 因为ω＞0，故ω＝1＋6n2，且n2∈N，对应的n1＝－1－5n2满足题意， 所以函数f(x)存在且不唯一； 若选择条件②：因为f(x)在区间上单调，所以－≤T＝·， 所以ω≤1，又ω＞0，所以0＜ω≤1， 因为f(x)的图象关于点对称， 所以f＝2sin＝0， 所以ω＋＝kπ，所以ω＝， 所以0＜≤1，解得＜k≤1， 因为k∈Z，所以k＝1，即ω＝1， 所以f(x)＝2sin，此时当x∈时，2x＋∈， 故f(x)在上单调递减，故ω＝1符合题设要求. 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1，所以f(x)∈； 若选择条件③：因为f(x)的最小正周期T≥π，所以≥π， 所以ω≤1，又ω＞0，所以0＜ω≤1， 因为f＝－，所以f＝2sin［2ω×＋］＝－， 所以－ω＋＝－＋2k1π或－ω＋＝－＋2k2π， 所以ω＝1－3k1或ω＝－3k2(k2∈Z)， 当0＜1－3k1≤1时，0≤k1＜，因为k1∈Z，所以k1＝0，此时ω＝1， 当0＜－3k2≤1时，≤k2＜，因为k2∈Z，所以不存在满足不等式的k2，此时ω无解，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin， 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1，所以f(x)∈. 学科网（北京）股份有限公司 $