命题大赛 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试--2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 人教A版2019必修第一册第二章单元卷，以原创生活情境题（如文具店利润、果园篱笆设计）为亮点，覆盖二次函数、不等式等核心知识，适配高一单元复习，培养数学建模与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二次函数解析式（题3）、基本不等式（题4）、解二次不等式（题5）|结合校园销售情境，基础与应用结合| |多选|3/18|含参数二次不等式解集（题11）|分类讨论k值，考查逻辑推理| |填空|3/15|二次不等式恒成立求参数（题13）|聚焦不等式性质应用| |解答|5/77|饮品店利润函数及最值（题16）、果园面积不等式与最值（题19）|原创生活实践题，体现数学建模与运算能力|

高一数学单元检测试卷 人教A版2019必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 年级：高一 时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.  2.  3.【原创】校园文具店某种笔记本进价每本2元，售价为x元/本（2<x≤5）时，每日销售量为10-2x本，则每日利润y关于售价x的函数解析式为( ). A. y=(x-2)(10-2x) B. y=x(10-2x)-2 C. y=10x-2x2 D. y=(x+2)(10-2x) 4. 若正实数a,b满足a+b=4，则ab的最大值为( ). A. 2　 B. 4　 C. 8　 D. 16 5. 不等式 x2-5x+6>0 的解集为( ). 6. 【原创】 7. 已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2)，则a+b=( ). A. -1 　B. 0　 C. 1　 D. 2 8. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。 9. 下列不等式恒成立的有( ). 11.【原创】关于不等式 x2-(k+1)x+k<0，下列说法正确的有( ). A. k=1时，不等式无解 B. k>1时，解集为 (1,k) C. k<1时，解集为 (k,1) D.对任意实数k，不等式都有解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.  13. 关于x的不等式x2-2x+m>0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________。 14.已知一元二次不等式x2+ax+b<0的解集为(-2,3)，则不等式bx2+ax+1>0的解集为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 16.（15分）【原创】 某饮品店一款奶茶每杯成本4元，市场调查表明：售价x元/杯（6≤ x≤ 12）时，每日销量为40-2x杯。 (1) 写出每日利润W关于售价x的函数关系式； (2) 求售价定为多少时，每日利润最大，并求出最大利润。 17.（15分） 18.（17分） 已知关于x的一元二次不等式 (x-2)(ax-2)>0，其中aϵ R。 (1) 当a=1时，求不等式的解集； (2) 当a>0时，解此关于x的不等式。 19.（17分）【原创】 某果农计划用总长为40m的篱笆围建一个矩形果园，果园的一边利用现有的旧墙（旧墙长度足够长），另外三边用篱笆围成。设垂直于旧墙的一边长为x m，平行于旧墙的一边长为y m，果园的面积为S m2。 (1) 写出y关于x的函数关系式，并求x的取值范围； (2) 若果农希望果园的面积不小于192m2，求x的取值范围； (3) 若果农在果园内再修建一条垂直于旧墙的篱笆分隔带（材料与原篱笆相同），要使果园面积最大，求此时垂直于旧墙的边长x及最大面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元检测试卷 人教A版2019必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 年级：高一 时长：120分钟 满分：150分 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 答案：A 2. 答案：B   3.答案：A 解析：利润=(售价−进价)×销量，y=(x−2)(10−2x) 4. 答案：B 解析：正实数a,b满足a+b=4，由基本不等式 ab ≤ [(a+b)/2]² = 4，当且仅当a=b=2取等号。 5. 答案：B 解析：x²−5x+6>0 ⇒ (x−2)(x−3)>0 ⇒ x<2 或 x>3。 6.  答案：C 7. 答案：B 解析：不等式ax²+bx+2>0解集为(-1,2) 方程ax²+bx+2=0两根为-1、2 由韦达定理： -1×2 = 2/a ⇒ a = -1 -1+2 = -b/a ⇒ b = 1 a+b = -1+1 = 0，对应选项B。 8.答案：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。 9. 答案：ACD 10答案：ABC 11. 答案：ABC 解析：x²−(k+1)x+k < 0 ⇒ (x−1)(x−k) < 0 A：k=1，(x−1)²<0，无解 ，A正确。 B：k>1，解集为(1,k)， B正确。 C：k<1，解集为(k,1) ，C正确。 D：错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.   13. 解析：该不等式对任意xϵR恒成立，即二次函数y=x2-2x+m的图象恒在x轴上方，故∆= (-2)2 - 4m < 0，解得m>1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 16.（15分） 17.（15分） 19.（17分）解析： (1)由题意，篱笆总长为：2x + y = 40，所y= 40 - 2x。 由实际意义：x>0 且y= 40 - 2x>0，得 0 < x< 20。 (2) 果园面积S = xy=x(40-2x) = -2x2 + 40x由S ≥192，整理得x2 - 20x + 96 ≤0， 解得8≤x≤12，结合0 < x< 20，故xϵ [8,12]。 (3)修建一条垂直于旧墙的分隔带后，篱笆总长变为：3x +y = 40（垂直于旧墙的篱笆有3条：左右两边+中间分隔带），所以 y = 40 - 3x，此时果园面积： S= -3x2 + 40x,这是一个开口向下的二次函数，对称轴为： 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 能力层级 难度 对应课标要求 1 单选题 5 一元二次不等式求解、集合的交集运算 理解 易 能解简单的一元二次不等式，会用集合表示解集并进行基本集合运算 2 单选题 5 分式不等式转化为整式不等式求解 掌握 易 能将分式不等式转化为一元二次不等式求解 3 单选题 5 一元二次函数的实际应用（利润问题） 应用 易 能根据实际问题情境建立一元二次函数模型 4 单选题 5 基本不等式（和定积最大） 掌握 易 能利用基本不等式求简单最值 5 单选题 5 一元二次不等式的标准求解 理解 易 能解一元二次不等式并写出解集 6 单选题 5 一元二次不等式的解与函数单调性 / 最值问题结合 综合 中 等 能结合不等式解集与基本不等式求函数最值 7 单选题 5 一元二次不等式解集与方程根的关系、韦达定理 理解 中 等 能根据一元二次不等式的解集反求参数 8 单选题 5 基本不等式的“乘1法”求最值 应用 中 等 能利用“乘1法”结合基本不等式求最值 9 多选题 6 不等式恒成立问题、基本不等式适用条件辨析 理解 中 等 能判断不等式的恒成立性，辨析基本不等式的适用条件 10 多选题 6 一元二次不等式的解集与参数、判别式的关系 理解 中 等 能根据一元二次不等式的解集、判别式判断参数范围 11 多选题 6 含参数的一元二次不等式的分类讨论 掌握 中 等 能对含参数的一元二次不等式进行分类讨论求解 12 填空题 5 一元二次不等式的标准求解 理解 易 能解一元二次不等式并写出解集 13 填空题 5 一元二次不等式恒成立问题 掌握 中 等 能利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题 14 填空题 5 一元二次不等式解集与参数的关系、逆向求解不等式 应用 难 能根据已知不等式的解集，反求参数并求解新的不等式 15 解答题 13 一元二次不等式求解、集合的包含关系（含参数） 应用 中 等 能解一元二次不等式，会利用集合包含关系求参数范围 16 解答题 15 一元二次函数的实际应用、二次函数最值 应用 中 等 能建立一元二次函数模型解决利润问题，并求最值 17 解答题 15 基本不等式的应用（和定积最大、乘1法求最值） 应用 中 等 能利用基本不等式求积的最大值和和的最小值 18 解答题 17 含参数的一元二次不等式的分类讨论 综合 难 能对含参数的一元二次不等式进行完整的分类讨论求解 19 解答题 17 一元二次函数的实际应用（面积问题）、不等式求解、二次函数最值 综合 难 能建立一元二次函数模型解决实际问题，结合不等式与二次函数性质求最值 $