第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章单元测试卷（含答案） （满分：150分 时间：120分钟） 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于 的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 若正实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 函数 的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 已知 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2 12. 设函数 ，若对任意实数 ，都有 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 方程 有两个相等实根 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式 的解集是 __________。 14. 若 ，则 的最小值为 __________。 15. 已知集合 ， ，则 __________。 16. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 __________。 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17.（10分）解下列不等式： （1） （2） 18.（12分）已知正实数 满足 。 （1）求 的最大值； （2）求 的最小值。 19.（12分） 已知函数 。 （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若对任意R，都有恒成立，求实数的最大值。 20.（12分）某工厂生产某种产品，固定成本为2万元，每生产1千件产品的可变成本为 万元。若该产品售价为每千件3万元，设产量为 （单位：千件， ）。 （1）写出利润 （单位：万元）关于 的函数表达式； （2）问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 21.（12分）已知关于 的不等式 的解集为 。 （1）判断 的符号，并说明理由； （2）求不等式 的解集。 22.（12分）设 ，且 。 （1）证明： ； （2）若 ，求 的最小值，并指出取到最小值时 的值。 参考答案 一、单项选择题 1. C 2. B 3. B 4. B 5. D 6. C 7. C 8. B 二、多项选择题 2. ABC 10. ABCD 11. BC 12. ABCD 三、填空题 3. 4. 3 5. 6. （或“任意实数”） 四、解答题 17. （1）解集： （2）移项得 ，解集： 18. （1）由 ， ，当 时，最大值为 （2）由 ，得 当且仅当 ，代入得 ， 所以最小值为 。 19. （1） ， 与 对比得 （2） 因 对所有 成立， 且当 时取到等号， 所以 的最小值为 ， 故要使 恒成立，必须 ， 因此 的最大值为 。 20. （1）成本 = ，收入 = ，利润 （2）当 时， 万元 21. （1）因解集为有限区间，抛物线开口向下，故 （2）由解集知： 是方程 的根， 由韦达定理： ； 代入新不等式： ，两边除以 ，不等号变向： 解集： 22. （1） ，又 ， 所以 ，当且仅当 取等 （2） 当且仅当 ，结合 得 最小值为 9。 学科网（北京）股份有限公司 $